2024年電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考答案

高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)作業(yè)1

第1章函數(shù)

第2章極限與持續(xù)

(一)單項(xiàng)選擇題

1.下列各函數(shù)對中，(C)中的兩個函數(shù)相等.

A./(x)=(Vx)2,g(x)=xB.于(x)=E,g(x)=x

工2_]

C./(x)=Inx3,g(x)=31nxD./(x)=x+l,g(x)=--------

x-1

分析:判斷函數(shù)相等的兩個條件(1)對應(yīng)法則相似(2)定義域相似

A、/(x)=(?)2=x,定義域｛x|xNO｝；g(x)=x,定義域?yàn)镽

定義域不同樣，因此函數(shù)不相等；

B、/(x)=V^=|x|,g(x)=x對應(yīng)法則不同樣，因此函數(shù)不相等；

C、/(x)=lnx3=31nx,定義域?yàn)椋鹸|x>。｝,g(x)=3111元,定義域?yàn)椋?|%>0｝

因此兩個函數(shù)相等

r2-1

D、/(%)=%+1,定義域?yàn)镽；g(x)=--------=%+1,定義域?yàn)椋鹸IX￡凡XW1｝

X1

定義域不同樣，因此兩函數(shù)不等。

故選C

2.設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?-8,+8)，則函數(shù)/(x)+/(—X)的圖形有關(guān)(C)對稱.

A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸

C.y軸D.y=x

分析:奇函數(shù),/(—x)=—以X)，有關(guān)原點(diǎn)對稱

偶函數(shù),/■(-%)=/(%)，有關(guān)y軸對稱

y=/(x)與它的反函數(shù)y=廣1(%)有關(guān)y=%對稱,

奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域有關(guān)原點(diǎn)對稱

設(shè)g(%)=/(%)+/(—％),貝Ig(r)=/(—％)+/(力=g(%)

所認(rèn)為g(x)=/(x)+/(-x)偶函數(shù)，即圖形有關(guān)y軸對稱

故選C

3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(B).

A.y=ln(l+x2)B.y=xcosx

ax+「,”、

C.y=-----------D.y=ln(l+x)

分析：A、y(-x)=ln(l+(-x)2)=ln(l+x2)=y(x),為偶函數(shù)

B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-y(x),為奇函數(shù)

或者x為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)

C、=a7=y(x),所認(rèn)為偶函數(shù)

D、y(-x)=ln(l-%),非奇非偶函數(shù)

故選B

4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(C).

A.y=x+1B.y=—x

—1,X<0

C.y=xD.y

1,%>0

分析:六種基本初等函數(shù)

(1)y=c(常值)------常值函數(shù)

(2)、=丁以為常數(shù)一一幕函數(shù)

(3)y=>0,Qw1)-----指數(shù)函數(shù)

(4)y=log。x{a>0,aw1)-----對數(shù)函數(shù)

(5)y=sinx,y=cos%,y=tanx,y=cotx---三角函數(shù)

y=arcsinx,[-l,l],

(6)y=(2rccosx,[-l,l],---反三角函數(shù)

y=Cretanx,y=arccotx

分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故D選項(xiàng)不對

對照比較選C

5.下列極限存計(jì)算不對時(shí)的是(D).

V2

A.lim——二1B.limln(l+x)=0

一00%+2光一>o

「sinx八

C.lim--=0D.limxsin—=0

X—>00JQX—>00X

分析:A、已知lim2=0(〃>0)

2

X

2--

—二--------=limC=i

%-00x+2②x2%-②1+0

---1---

22i4

XX+X

B、limln(l+x)=ln(l+0)=0

x^O

初等函數(shù)在期定義域內(nèi)是持續(xù)的

「sinx「1.八

C、lim-----=lim—sinx=。

x—><x>XX—>00X

%-8時(shí)，上是無窮小量,sinx是有界函數(shù),

x

無窮小量x有界函數(shù)仍是無窮小量

.1

1sin-].

D、limxsin—=lim—令％=--->0,%>oo,則原式=lim^5_=l

isxis1xt

x

故選D

6.當(dāng)x.0時(shí)，變量(C)是無窮小量.

sinx1

A.------B.一

xx

,1

C.xsin—D.ln(x+2)

x

分析;lim/(x)=0,則稱/(x)為xfa時(shí)的無窮小量

A、lim2吧=1,重要極限

—0X

lim^=8,無窮大量

B、

Xx

limxsin—=0,無窮小量xX有界函數(shù)sin，仍為無窮小量

C、

%x

D、limln(x+2)=ln(0+2)=In2

故選C

7.若函數(shù)/(x)在點(diǎn)/滿足(A),則/(冗)在點(diǎn)與持續(xù)。

B./(%)在點(diǎn)/的某個鄰域內(nèi)有定義

A.lim/(x)=/(x0)

D.lim/(x)=lim/(x)

C.lim/(x)=/(x0)

XT■光0玷X—>%o

分析:持續(xù)的定義：極限存在且等于此點(diǎn)的函數(shù)值，則在此點(diǎn)持續(xù)即:r/(月=/(%0)

持續(xù)的充足必要條件lim/(%)=J(x0)<4>lim/(%)=lim/(%)=/(x0)

X-X—^與+X—XXJQ-

故選A

（二）填空題

X2-9

1.函數(shù)f(x)=-—J+ln(l+x)的定義域是—{%|x>3)

x-3

分析:求定義域一般遵照的原則

(1)偶次根號下日勺量20

(2)分母時(shí)值不等于0

(3)對數(shù)符號下量（真值）為正

(4)反三角中反正弦、反余弦符號內(nèi)的量,絕對值不不小于等于1

正切符號內(nèi)日勺量不能取版"±?（左=0,1,2）

然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域

Jr2_Q

f(x)-----------Hln(l+x)規(guī)定

x-3

^2-9>0x>3或x<-3

x-3^0得<%w3求交集c3

l+x>0x>-1

定義域?yàn)閧%|x>3}

2.已知函數(shù)/(x+1)=x?+x,貝1/(X)=X2-X

分析:法一，令r=x+l得％=，一1

則/⑺=(/—1)2+Q_1)=產(chǎn)一則/⑴=f_x

法二,/(x+l)=x(x+l)=(x+l-l)(x+l)因此=

3.1im(l+—)A=___________________.

as2x

分析：重要極限+=6,等價(jià)式比11(1+%)：=6

XJXfO\7

推廣lim/(x)=oo則lim(l+—1)""=e

x—a\7x-^a

]

lim/(x)=。則lim(l+=e

x—>tz'/xfa

2xx——

1x1

lim(l+—)=lim(l+—)2=/

2x2x

「i

4.若函數(shù)/。0=1(1+%尸，x<0,在尤=0處持續(xù)，則左=e

1+左，x>0

分析：分段函數(shù)在分段點(diǎn)/處持續(xù)=lim/(%)=lim/(x)=/(x0)

limf(x\-lim(x+左)=0+左二左

%.o+'7%.o+'7

i因此k=e

lim〃x)=lim(l+x)%=e

[x+1,x>0

5.函數(shù)y=<的I間斷點(diǎn)是_____x=0_________.

sinx,x<0

分析:間斷點(diǎn)即定義域不存在時(shí)點(diǎn)或不持續(xù)的點(diǎn)

初等函數(shù)在其定義域范圍內(nèi)都是持續(xù)的

分段函數(shù)重要考慮分段點(diǎn)的持續(xù)性(運(yùn)用持續(xù)的充足必要條件)

lim/(x)=lim(%+1)=0+1=1

不等,所認(rèn)為x=0其間斷點(diǎn)

limf(x)=limsinx=0

6.若lim/(%)=A,則當(dāng)xf/時(shí),/(%)—A稱為xf/時(shí)的)無窮小量，

Xf%0______________

分析:lim(/(x)-A)=lim/(x)-limA=A-A=0

X^>XQx—>AOX^>XQ

所認(rèn)為/(%)-Ax-項(xiàng))時(shí)改|無窮小量

(二)計(jì)算題

1.設(shè)函數(shù)

%>0

=<

x<0

求：/(-2),/(0),/(l).

解：/(-2)=-2"(0)=0,"l)=3=e

2元一1

2.求函數(shù)y=1g——日勺定義域.

QV—1

解：y=lgT」故意義，規(guī)定解得《

則定義域?yàn)閤|x<0或x>—

3.在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一種底邊與半圓的直徑重疊，另一底邊的兩個端

點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積體現(xiàn)成其高的函數(shù).

解：

設(shè)梯形ABCD即為題中規(guī)定的梯形，設(shè)高為h,即OE=h,下底CD=2R

直角三角形AOE中，運(yùn)用勾股定理得

AE=V0L42-OE2=-PT

則上底=2AE=2底—林

,4.sin3%

4.求lim-----

%-。sin2%

sin3xcsin3x

-------x3x

解:lim”亙i.3尤3r3133

==hrm------x--一-x—=—

sin2xiosin2x-XTOsin2x2122

--------x2x

2x2x

5.求lim---------

sin(x+1)

左力「x2—1「(x—l)(x+1)[.X-1

解:hm------------tlim--------------二lim———

%"sin(%+l)sin(x+1)2Tsm(x+1)

x+1

公卡tan3%

6.求rlim------.

左刀「tan3%「sin3x1「sin3%1.1

解：lim--------=lim--------?--------=lim--------x---------xo3=lx-x3o=o3

D尤％-。xcos3%%-。3xcos3%1

2

+rV1+x-1

7.求lim------------.

a。sin%

Jl+/_1(Jl+%、-1)(Jl+%2+])%2

解?hm---------------=hm---------1--------------------------=lim-1---------------------

“一。sin%1°(y/l+x2+l)sinx(V1++1)sinx

0

=0

"(l+l)xl

Y—1

8.求lim

x+3

ii--(i--r[(i+—rr1

解：lim(-—)，=lim(—f)'=lim——=lim———

X—>00x+3x—>003%—003、Yx—>001—

1+-(1+-)[(1+-)3]3

XXX

3

,...%2—6x+8

9?求vlim—；---------

I%2-5x+4

鏟X2-6X+8..(x-4)(x-2)x—24-22

角單：lrim—----------=lim^------*-----W-lim------=-------=—

x-5x+4(x-4)(x-l)3%_]4-13

10.設(shè)函數(shù)

(x-2)2,x>1

f(x)=<x,-1<X<1

x+1,x<-1

討論了(%)的持續(xù)性，并寫出其持續(xù)區(qū)間.

解：分別對分段點(diǎn)X=-1,X=1處討論持續(xù)性

(1)

lim/(x)=limx=-l

%--1+'/%--1+

lim/(%)=lim(%+1)=-1+1=0

因此1叫/(%)w1岬/(%),即/(%)在%=-1處不持續(xù)

Q)

lim/(x)=lim(x-2)2=(l-2)2=l

=limx=l

/(1)=1

因此lim/(%)=lim〃%)=/⑴即/(%)在％=1處持續(xù)

x―>1+x―>1—

由(1)(2)得/(%)在除點(diǎn)工=一1外均持續(xù)

故〃龍)時(shí)持續(xù)區(qū)間為(-。。，―1)(―L”)

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第二次作業(yè)

第3章導(dǎo)數(shù)與微分

(一)單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)/(0)=0且極限lim△效存在，則limdD=(C).

x—>0%x—>0%

A./(0)B./XO)

C.f\x)D.Ocvx

/a。-2/-

2.設(shè)/(x)在x0可導(dǎo)，則lim=(D

o2h

A.-2/U)B.r(%)

C.2尸(x0)D.-/U)

3.設(shè)/(x)=eA,則lim)(l+W-/⑴=(A).

NFOAx

A.eB.2e

1r1

C.—eD.-e

24

4.設(shè)/(x)=x(x—D(x—2)…(x—99),則/■'(())=(D).

A.99B.-99

C.99!D.-99!

5.下列結(jié)論中對的的是(C).

A.若/(x)在點(diǎn)/有極限，則在點(diǎn)項(xiàng))可導(dǎo).

B.若/(x)在點(diǎn)持續(xù)，則在點(diǎn)了0可導(dǎo).

C.若/(x)在點(diǎn)/可導(dǎo)，則在點(diǎn)/有極限.

D.若/'(%)在點(diǎn)/有極限，則在點(diǎn)與持續(xù).

(二)填空題

2?工A

sm5

1.設(shè)函數(shù)/"(x)="XxX”，則「70)=0.

0,x=0

2.設(shè)于6)=e2x+5e",則叟出a=2mx+5_

dxJCJC

3.曲線/(x)=?+1在(1,2)處日勺切線斜率是左=g

4.曲線/(%)=5111%在(：，1)處的切線方程是＞=等》=等(1—7)

5.設(shè)＞=則V=2x2](i+in%)

6.設(shè)y=xlnx,貝Iy"=’

X

(三)計(jì)算題

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)V：

2a-

y，=(%2+3)1+#/

(2)y=cotx+x2Inxyr=-esc2x+x+2xlnx

2,2xlnx+x

(3)y二——

Inx

cos%+2",九(一sin九+2"In2)-3(cosx+2x)

(4)y=y二

x3x4

12

sinx(——2x)-Qnx-x)cosx

lnx-x2

⑸y--——----------------------------

sinxsinx

,43sin%i

(6)y=%'4-sinxlnxy=4x--------cosxlnx

x

si.nx+x?,3"(cosx+2x)-(sinx+x2)3xln3

(7)y=y;

3X32X

X1

,%el

(8)y=extanx+lnxy=etanx+---------+—

cosxx

2,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y：

6y=eQ

⑵y=Incosx3

,3

,-SinA：c2c23

y=---------3x=-3xtanx3

cosx

(3)y=xyl

f

y=18y=-X

(5)y=cos2ex

yr=-exsin(2ex)

(6)y=cose*

y'=-2xexsinex

(7)y=sin〃xcosnx

yr=〃sin"Txcosxcosnx-nsmnxsin(nx)

sinx2

(8)y=5

y=2xln5cosx25sinx2

“^sin2x

⑼y二e

.?

y'=sin2xesm、

⑩y=_r'2+eA2

22

y'=x"(x+2xlnx)+2xe'

xe*

?y=xe+e

y，=xe"(-----FexInx)+ee"ex

x

3.在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y'：

(l)ycos%=e2y

yrcosx-ysinx=2e2yyr

f_ysin%

'cos九-2e2y

(2)y=cosylnx

V=siny.y，Inx+cosy」

x

,cosy

y-

x(l+sinylnx)

%

(3)2xsiny——

y

八，c.2yx-x2y,，/八/2yx八.

2xcosy.y+2siny=------------y(2xcosy+-)=^--2smy

一yy-y

,2xy-2ysiny

y--------------------

2A72cosy+x?

(4)y=x+Iny

一+l

y

(5)lnx+ey=y2

—+eyyr=2yyr

x

y'=

x(2y-ey)

(6)V+1=e*siny

2yyr=excosy.y'+siny.e

,esiny

y=-----------

2y-excosy

⑺e>=e%-y3

eyyr=ex-3y2yr

>'==+3/

ey

^)y=5x+2y

yr=5x]n5+yr2y}n2

,5*ln5

y-

-1-2^2

4.求下列函數(shù)的微分dy：

(1)y=cotx+cscx

-1COSX\7

dy=(.2)dx

cos2Xsinx

Inx

(2)y=

sinx

—sinx-lnxcosx

dy=—-------------------dx

sin%

⑷y=ylr~^

V1+x

兩邊對數(shù)得：lny=1[ta(l-x)-ln(l+x)]

y31-x1+x

,1/l-xz11、

y=——:——(——+——)

-3Vl+Xl-x1+X

⑸y=sin2ex

dy=2smexexexdx=sin(2ex)exdx

(6)y=tanex

dy=sec23x2dx=3x2exsec2xdx

5.求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):

(Dy=xlnx

y'=1=Inx

7

X

⑵y=xsinx

y'=xcosx+sinx

y"=-xsinx+2cosx

(3)y=arctanx

1

v=l+x2

2x

y"

"(l+x2)2

⑷y=3J

y=2%3'2ln3/=4x23%2ln23+21n3-

(四)證明題

設(shè);'(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證/''(■￥)是偶函數(shù).

證：由于f(X)是奇函數(shù)因此/(—X)=—/(%)

兩邊導(dǎo)數(shù)得：廣(—%)(—1)=-f\x)=>f'(-x)=f(X)

因此/''(X)是偶函數(shù)。

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第三次作業(yè)

第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

(一)單項(xiàng)選擇題

L若函數(shù)/(x)滿足條件(D),則存在，使得第6)=—.

b-a

A.在(a,份內(nèi)持續(xù)B.在(a,A)內(nèi)可導(dǎo)

C.在(a,0內(nèi)持續(xù)且可導(dǎo)D.在［凡句內(nèi)持續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

2.函數(shù)/(x)=/+4x—1的單調(diào)增長區(qū)間是(D).

A.(—8,2)B.(-1,1)

C.(2,+oo)D.(-2,+oo)

3.函數(shù)了=/+4》—5在區(qū)間(—6,6)內(nèi)滿足(A).

A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降

C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升

4.函數(shù)/(x)滿足尸(x)=0斷點(diǎn),一定是/(X)改|(C).

A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)

C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)

5.設(shè)/(x)在(a,內(nèi)有持續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，尤oe(a,b),若/(x)滿足(C),則/(%)在X。取

到極小值.

A./u)>o,ruo)=oB.r(xo)<o,r(xo)=o

c.r(xo)=O，r(xo)>OD.r(無o)=O,/〃(x°)<O

6.設(shè)/(x)在(a,。)內(nèi)有持續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f\x)<0,f\x)<0,則/(%)在此區(qū)間內(nèi)是

(A).

A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹日勺

C.單調(diào)增長且是凸的D.單調(diào)增長且是凹的

(二)填空題

1.設(shè)/(%)在(a,。)內(nèi)可導(dǎo)，/e(a,6),且當(dāng)x<%0時(shí)f'(x)<0,當(dāng)x>須,時(shí)

f'(x)>0,則x0是/(%)的極小值點(diǎn).

2.若函數(shù)/(尤)在點(diǎn)/可導(dǎo)，且為是/O)的極值點(diǎn)，則/'(%)=_Q_________.

3.函數(shù)y=ln(l+x2)的單調(diào)減少區(qū)間是(-oo,0).

4.函數(shù)/(x)=e，時(shí)單調(diào)增長區(qū)間是(0,+8)

5.若函數(shù)/(x)在［a,句內(nèi)恒有/'(x)<0,則/(%)在［a,切上的最大值是/(a).

6.函數(shù)/(%)=2+5x-3/時(shí)拐點(diǎn)是x=0.

(三)計(jì)算題

1.求函數(shù)y=(x+l)(x—5)2的單調(diào)區(qū)間和極值.

令y=(x+1)2(%+5)2=2(x-5)0-2)

二＞駐點(diǎn)x=2,%=5

X(—oo,2)2(2,5)5(5,+8)

y+極大-極小+

y上升27下降0上升

極大值：/(2)=27

極小值：/(5)=0

2.求函數(shù)y=f—2x+3在區(qū)間［0,3］內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值.

令:y'=2x-2=0nx=l(駐點(diǎn))

/(0)=3"3)=6/(1)=2

=＞最大值/(3)=6

n最小值/(1)=2

3.試確定函數(shù)丁=。必+法2+5+〃中歐|凡/7,0,』，使函數(shù)圖形過點(diǎn)(-2,44)和點(diǎn)

(1,—10),且x=—2是駐點(diǎn)，x=l是拐點(diǎn).

44=-8Z?+4b-2%+da=1

-10=a+b+c=db=-3

0=12〃-4b+cc=16

0=6〃+2/?d=-24

4.求曲線y2=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)時(shí)距離最短.

解：設(shè)p(x,y)是V=2x上的點(diǎn),d為p到A點(diǎn)的距離，則:

d=J(x—2)2+/=J(X—2)2+2無

令d，=2(x-2)+2=xT=

'24x-2尸+2xJ(x-22+2x

V=2x上點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。

5.圓柱體上底的中心到下底的邊緣的距離為L,問當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體

積最大？

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

V=成2"=乃—九2M

令；丫'=》山(—2丸)+1—力2]=萬[工2_3丸2]=0=L=

R=2:當(dāng)h=g,R=時(shí)其體積最大。

6.一體積為V的圓柱體，間底半徑與高各為多少時(shí)表面積最??？

設(shè)園柱體半徑為R,高為h,則體積

222

V=7iRh表面和=2兀Rh+2兀R

S衣回積=2—+2^/?

令；S'=—2VR-2+4欣=0

7.欲做一種底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器,怎樣做法用料最省?

解：設(shè)底連長為x,高為h。貝lj：

-=2,,62.5

62.5=xhnh=——

x

°o250

側(cè)面積為：S=x2+4xh=x2+—

X

250

令S'=2x------=0nJ=125n%=5

答:當(dāng)?shù)走B長為5米，高為2.5米時(shí)用料最省。

（四）證明題

1.當(dāng)%>。時(shí)，證明不等式x>ln(l+x).

證：由中值定理得:1n(1+X)=足(1+")—1n1=,<](?,?>0)

X(1+X)-11+J

n"Q+1<1=>x>ln(l+x)(當(dāng)x>0時(shí))

x

2.當(dāng)％>0時(shí)，證明不等式e'>x+1.

為(x)=e*-(x+1)

/'(x)=/-1〉0(當(dāng)x>0時(shí))n當(dāng)x>0時(shí)/(x)單調(diào)上升且/(0)=0

二/(x)>0,即e*>(x+1)證畢

《高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》第四次作業(yè)

第5章不定積分

第6章定積分及其應(yīng)用

（一）單項(xiàng)選擇題

1.若/（x）的一種原函數(shù)是工，貝4/（無）=（D）.

X

A.InlxlB.----

xXX3

2.下列等式成立的是(D).

Aj/,(x)dx=/(x)B.f4(%)=/(%)C.djf(x)dx=/(x)D

，J/(x)dx=f(x)

3.若/(x)=cosx,貝!JJfr(x)dx=(B).

A.sinx+cB.cosx+cC.-sinx+cD.—cosx+c

4.A

x2/(x3)dx=(B).

dx

A")BQ1/(X)|/(%3)

5.若|/(x)dx=尸(x)+c,則J；/(Vx)d%=(B

).

A.F(Vx)+cB.2F(Vx)+cC.F(2A/X)+cD.

6.由區(qū)間[a,加上的兩條光滑曲線y=和y=g(x)以及兩條直線工=。和％=匕所

圍成的平面區(qū)域的面積是(C