復(fù)習(xí)課正余弦定理的綜合應(yīng)用課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

正、余弦定理的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)課1.理解單元知識架構(gòu)，能建構(gòu)本單元知識體系.2.能利用正、余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解決有關(guān)三角形的綜合問題.4.能利用正、余弦定理解決實際應(yīng)用問題.目標(biāo)一：理解單元知識架構(gòu)，能建構(gòu)本單元知識體系.任務(wù)：根據(jù)下列問題回顧本單元知識，建構(gòu)單元知識框圖.問題：1.正、余弦定理是什么？它們是如何推導(dǎo)的？有哪些變形？2.正、余弦定理適用于解決什么三角形問題？3.利用正、余弦定理解決的實際測量應(yīng)用有哪些？歸納總結(jié)目標(biāo)二：能利用正、余弦定理解三角形.任務(wù)1：利用正、余弦定理解下列三角形.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2,BC＝,點D在BC邊上,∠ADC＝45°，求AD的長度．解：在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝

，由余弦定理，得

∴sinC=在△ADC中，由正弦定理，得歸納總結(jié)解三角形的一般思路：

分析出所求解三角形中，哪些元素已知，還需要哪些元素，并確定選擇或構(gòu)造哪些三角形來求解，再利用正余弦定理求解.目標(biāo)三：能利用正、余弦定理解決有關(guān)三角形的綜合問題.任務(wù)1：利用正、余弦定理判定三角形的形狀.在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀．解：∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2b2sinAcosB＝2a2cosAsinB，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得

判斷三角形形狀的兩種途徑:(1)通過正弦定理、余弦定理,化邊為角(如:a=2RsinA,a2+b2-c2=2abcosC等),利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷；(2)通過正弦定理、余弦定理,化角為邊,如:

等,通過代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.歸納總結(jié)解：(1)由正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB，又A＝π－(B＋C)，∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsinC＝sinCsinB，∵sinC≠0，∴cosB＝sinB且B為三角形內(nèi)角，∴B＝

任務(wù)2：利用正、余弦定理求解三角形邊、角、面積.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；

(2)若b＝2，求△ABC的面積的最大值．(2)法1：由正弦定理知同理，∴當(dāng)

即

時，S△ABC有最大值法2：由余弦定理b2=c2+a2-2cacosB，得4=c2+a2-根據(jù)均值不等式得2ca-

≤ac2+a2-=4，解得

∴S△ABC有最大值

1.求解三角形中的邊、角、面積的解題策略：

在已知條件中涉及了三角形的一些邊角關(guān)系，由于正弦定理和余弦定理都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的等式，通過定理的運用能夠?qū)崿F(xiàn)邊角互化，在邊角互化時，經(jīng)常用到三角函數(shù)中兩角和與差的公式及倍角公式等．歸納總結(jié)2.求解三角形面積的取值范圍的解題方法：

(1)通過正弦定理，化邊為角，利用三角函數(shù)求范圍.

(2)通過余弦定理，化角為邊，利用均值不等式求范圍.目標(biāo)三：能利用正、余弦定理解決實際應(yīng)用問題.任務(wù)：利用正、余弦定理解決下列實際問題.

如圖，在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12海里的B處水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時10海里的速度沿南偏東75°方向前進(jìn)，若紅方偵察艇以每小時14海里的速度，沿北偏東45°+α方向攔截藍(lán)方的小艇，若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．解：如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍(lán)方的小艇，則AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2(舍去)故AC＝28海里，BC＝20海里．解得故紅方偵察艇所需的時間為2小時，角α的正弦值為

根據(jù)正弦定理得應(yīng)用解三角形知識解決實際問題四步曲：(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與