新教材高中數(shù)學(xué)人教B版學(xué)案7-2-1三角函數(shù)的定義

7．2任意角的三角函數(shù)7．2.1三角函數(shù)的定義[課程目標(biāo)]1.理解并掌握任意角三角函數(shù)的定義．2．理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)．3．通過任意角三角函數(shù)的定義，認(rèn)識到銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，加深對特殊與一般關(guān)系的理解．[填一填]1．任意角的三角函數(shù)以角α的頂點O為坐標(biāo)原點，以角α的始邊的方向作為x軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy(如圖所示)，并且使∠xOy＝90°.在角α終邊上任取一點P(x，y)，則OP的長度記為r＝eq\r(x2＋y2).(1)稱eq\f(y,r)為角α的正弦，記作sinα，即sinα＝eq\f(y,r)，定義域為{α|α∈R}；(2)稱eq\f(x,r)為角α的余弦，記作cosα，即cosα＝eq\f(x,r)，定義域為{α|α∈R}；(3)稱eq\f(y,x)為角α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)，定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).這三個對應(yīng)法則都是以α為自變量的函數(shù)，分別叫做角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)．2．三角函數(shù)在各個象限的符號[答一答]1．如何理解三角函數(shù)的定義？提示：(1)各三角函數(shù)都是以實數(shù)為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，其關(guān)系如圖所示．這樣，三角函數(shù)就像前面研究的其他基本初等函數(shù)一樣，都是以實數(shù)為自變量的函數(shù)了．(2)設(shè)角α是一個任意大小的角，在角α的終邊上任取一點P(x，y)，P到原點的距離|OP|＝r，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).eq\f(y,r)，eq\f(x,r)，eq\f(y,x)這三個比值的大小都與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，而只與角的大小有關(guān)，這是因為：如圖△OQQ1∽△OPP1，∴eq\f(QQ1,OQ)＝eq\f(PP1,OP)，eq\f(OQ1,OQ)＝eq\f(OP1,OP)，….2．一個角的正弦、余弦、正切在各個象限的符號如何？提示：三角函數(shù)值的符號是根據(jù)三角函數(shù)定義和各象限內(nèi)坐標(biāo)符號導(dǎo)出的．從原點到角的終邊上任意一點的距離r總是正值．根據(jù)三角函數(shù)定義知：正弦值符號取決于縱坐標(biāo)y的符號，余弦值的符號取決于橫坐標(biāo)x的符號，正切值則是x、y同號為正，異號為負(fù)．三角函數(shù)值在各象限的符號判別記憶規(guī)律如下：一全正、二正弦、三正切、四余弦(“一全正”是指角的終邊在第一象限時，各種三角函數(shù)值的符號全為正號；“二正弦”是指第二象限僅正弦為正；“三正切”是指第三象限僅正切為正；“四余弦”是指第四象限僅余弦為正)．類型一求三角函數(shù)值命題視角1：利用定義求三角函數(shù)值[例1]如圖，∠AOP＝eq\f(π,3)，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，P，Q都為角的終邊與單位圓的交點，求：(1)點P的坐標(biāo)；(2)∠AOQ的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值．[解](1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則x＝cos∠AOP＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，y＝sin∠AOP＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).故點P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(2)∵點P與點Q關(guān)于y軸對稱，∴點Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義可知sin∠AOQ＝eq\f(\r(3),2)，cos∠AOQ＝－eq\f(1,2).利用定義求α的三角函數(shù)值，其關(guān)鍵是求出角的終邊與單位圓的交點P的坐標(biāo)u，v，由三角函數(shù)的定義得sinα＝v，cosα＝u.[變式訓(xùn)練1]在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸的非負(fù)半軸為角的始邊，如果角α，β的終邊分別與單位圓交于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，\f(5,13)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))，那么sinαcosβ＝(B)A．－eq\f(36,65) B．－eq\f(3,13)C．eq\f(4,13) D．eq\f(48,65)解析：sinαcosβ＝eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(3,13)，故選B．命題視角2：取點求三角函數(shù)值[例2]已知θ終邊上一點P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，求sinθ.[解]由題意知r＝|OP|＝eq\r(x2＋9)，由三角函數(shù)定義得cosθ＝eq\f(x,r)＝eq\f(x,\r(x2＋9)).又∵cosθ＝eq\f(\r(10),10)x，∴eq\f(x,\r(x2＋9))＝eq\f(\r(10),10)x.∵x≠0，∴x＝±1.當(dāng)x＝1時，P(1,3)，此時sinθ＝eq\f(3,\r(12＋32))＝eq\f(3\r(10),10).當(dāng)x＝－1時，P(－1,3)，此時sinθ＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3\r(10),10).綜上所述，sinθ＝eq\f(3\r(10),10).在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時，應(yīng)注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上異于原點的任意一點坐標(biāo)a，b，則對應(yīng)角的三角函數(shù)值分別為sinα＝eq\a\vs4\al(\f(b,\r(a2＋b2)))，cosα＝eq\a\vs4\al(\f(a,\r(a2＋b2))).[變式訓(xùn)練2]已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．解：由題意知，cosα≠0.設(shè)角α的終邊上任意一點為P(k，－3k)(k≠0)，則x＝k，y＝－3k，r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|.(1)當(dāng)k>0時，r＝eq\r(10)k，α是第四象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＋3eq\r(10)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0.(2)當(dāng)k<0時，r＝－eq\r(10)k，α是第二象限角，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3\r(10),10)，eq\f(1,cosα)＝eq\f(r,x)＝－eq\f(\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝10×eq\f(3\r(10),10)＋3×(－eq\r(10))＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0.綜上所述，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0.類型二判斷三角函數(shù)值的符號[例3]下列各式：①sin1125°；②taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π；③eq\f(sin4,tan4)；④sin|－1|.其中為負(fù)值的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4[分析]確定一個角的某一三角函數(shù)值的符號關(guān)鍵要看角在哪一象限；確定一個式子的符號，則需要觀察構(gòu)成該式的結(jié)構(gòu)特點及每部分的符號．[解析]對于①，因為1125°＝1080°＋45°，所以1125°是第一象限角，所以sin1125°>0；對于②，因eq\f(37,12)π＝2π＋eq\f(13,12)π，則eq\f(37,12)π是第三象限角，所以taneq\f(37,12)π>0，sineq\f(37,12)π<0，故taneq\f(37,12)π·sineq\f(37,12)π<0；對于③，因4弧度的角在第三象限，則sin4<0，tan4>0，故eq\f(sin4,tan4)<0；對于④，因eq\f(π,4)<1<eq\f(π,2)，則sin|－1|>0.綜上，②③為負(fù)數(shù)．[答案]B對于較“大”的角先利用終邊相同的角轉(zhuǎn)化為較“小”的角即[0，2π內(nèi)的角，再根據(jù)角所在的象限與三角函數(shù)值的符號進(jìn)行判斷.[變式訓(xùn)練3]判斷下列各式的符號：(1)α是第四象限角，sinα·tanα；(2)sin3·cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,4)π)).解：(1)∵α是第四象限角，∴sinα<0，tanα<0，∴sinα·tanα>0.(2)∵eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，∴sin3>0，cos4<0，∵－eq\f(23π,4)＝－6π＋eq\f(π,4)，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,4)))＝taneq\f(π,4)>0，∴sin3·cos4·taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,4)π))<0.類型三由三角函數(shù)值的符號確定角的范圍[例4]已知：cosα<0，tanα<0.(1)求角α的集合；(2)求角eq\f(α,2)的終邊所在的象限；(3)試判斷sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)的符號．[分析]根據(jù)cosα<0，tanα<0.借助三角函數(shù)的符號的判斷原則不難解得．[解](1)∵cosα<0，∴角α的終邊可能位于第二或第三象限或x軸的非正半軸上．∵tanα<0，∴角α的終邊可能位于第二或第四象限．∴角α的終邊只能位于第二象限．故角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z)).(2)∵eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ(k∈Z)，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，eq\f(π,4)＋2nπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋2nπ(n∈Z)，∴eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，eq\f(5π,4)＋2nπ<eq\f(α,2)<eq\f(3π,2)＋2nπ(n∈Z)，∴eq\f(α,2)是第三象限角．(3)由(2)可知，當(dāng)eq\f(α,2)是第一象限角時，sineq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)>0，taneq\f(α,2)>0；當(dāng)eq\f(α,2)是第三象限角時，sineq\f(α,2)<0，coseq\f(α,2)<0，taneq\f(α,2)>0.設(shè)單位圓與角α的終邊交于點Px，y，則由三角函數(shù)定義知eq\a\vs4\al(\f(x,r))＝cosα<0，eq\a\vs4\al(\f(y,x))＝tanα<0，∴x<0，y>0，∴點P在第二象限，即角α為第二象限角，從而eq\a\vs4\al(\f(α,2))為第一或第三象限角.再由符號法則可知3中各值的符號.[變式訓(xùn)練4]若sin2θ>0，且cosθ<0，試確定角θ所在的象限．解：因為sin2θ>0，所以2kπ<2θ<2kπ＋π，k∈Z，所以kπ<θ<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)k＝2m，m∈Z時，有2mπ<θ<2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；當(dāng)k＝2m＋1，m∈Z時，有2mπ＋π<θ<2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z.故θ為第一或第三象限角．由cosθ<0可知，角θ在第二或第三象限或其終邊位于x軸負(fù)半軸上．綜上所述，角θ在第三象限．類型四三角函數(shù)式的化簡求值與證明[例5]化簡：eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(tanx,|tanx|)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中x≠\f(kπ,2)，k∈Z)).[分析]分象限對三角函數(shù)值的符號進(jìn)行討論．[解]因為x≠eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以當(dāng)x是第一象限角時，sinx>0，cosx>0，tanx>0，原式＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝3；當(dāng)x是第二象限角時，sinx>0，cosx<0，tanx<0，原式＝eq\f(sinx,sinx)＋eq\f(－cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1；當(dāng)x是第三象限角時，sinx<0，cosx<0，tanx>0，原式＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(－cosx,cosx)＋eq\f(tanx,tanx)＝－1；當(dāng)x是第四象限角時，sinx<0，cosx>0，tanx<0，原式＝eq\f(sinx,－sinx)＋eq\f(cosx,cosx)＋eq\f(tanx,－tanx)＝－1.綜上可知，eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(|cosx|,cosx)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值為3或－1.求含絕對值的代數(shù)式的值時，要根據(jù)絕對值的意義先去絕對值符號，為此常采用分類討論的思想.本題結(jié)合自身的特點按角x所在的象限進(jìn)行討論.[變式訓(xùn)練5]已知角α的終邊上的點P與點A(m,2m)(m≠0)關(guān)于x軸對稱，角β終邊上的點Q與點A關(guān)于y軸對稱，求sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ解：由題意知P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(m，－2m)、(－m,2m)，且|OP|＝|OQ|＝|OA|＝eq\r(5)|m|，∴sinαcosα＋sinβcosβ＋tanαtanβ＝eq\f(－2m,\r(5)|m|)·eq\f(m,\r(5)|m|)＋eq\f(2m,\r(5)|m|)·eq\f(－m,\r(5)|m|)＋eq\f(－2m,m)·eq\f(2m,－m)＝－eq\f(2,5)－eq\f(2,5)