典中點(diǎn)《11.1-11.2 三角形角的關(guān)系的八種常見(jiàn)題型》素養(yǎng)練

2/2典中點(diǎn)《11.1~11.2三角形角的關(guān)系的八種常見(jiàn)題型》素養(yǎng)練名師點(diǎn)金三角形內(nèi)角和定理與三角形外角的性質(zhì)是解角的有關(guān)計(jì)算及推理論證問(wèn)題時(shí)經(jīng)常使用的理論依據(jù)，利用三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)，要通過(guò)內(nèi)角和外角相互轉(zhuǎn)化，溝通已知和未知，進(jìn)而求出角的度數(shù).題型一三角形內(nèi)角和定理在求角度中的應(yīng)用1.如圖，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分線，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，F(xiàn)D∥EC，∠D=42°.求∠B的度數(shù).題型二三角形內(nèi)角和定理在疊放中的應(yīng)用2.（1）如圖①，有一塊直角三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C.△ABC中，∠A=30°，則∠ABC+∠ACB=，∠XBC+∠XCB=.（2）如圖②，改變直角三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的兩條直角邊XY，XZ仍然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請(qǐng)舉例說(shuō)明；若不變化，請(qǐng)求出∠ABX+∠ACX的大小.題型三三角形內(nèi)角和定理在類(lèi)比思想中的應(yīng)用3.【教材P17習(xí)題T9拓展】如圖，在△ABC中，點(diǎn)P是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn).（1）若∠A=60°，求∠BPC的度數(shù).（2）有一名同學(xué)在解答（1）后得出∠BPC=90°+∠A的規(guī)律，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)給出理由.題型四三角形內(nèi)角和定理在轉(zhuǎn)化思想中的應(yīng)用4.如圖，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù).題型五三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在探究角的關(guān)系中的應(yīng)用5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是外角∠DBC的平分線與外角∠ECB的平分線的交點(diǎn).判斷∠BOC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型六三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在折角中的應(yīng)用6.【原創(chuàng)題】探索歸納：（1）如圖①，已知△ABC為直角三角形，∠A=90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如圖②，已知在△ABC中，剪去∠A后得到四邊形BCEF，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由.（3）若沒(méi)有將∠A剪掉，而是把它折成如圖③的形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由.題型七三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在方程思想中的應(yīng)用7.如圖，AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.（1）求證∠EAC=∠B.（2）若∠B=50°，∠CAD：∠E=1：3，求∠E的度數(shù).題型八三角形內(nèi)、外角的關(guān)系在整體思想中的應(yīng)用8.【2021·衡水第五中學(xué)月考】如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)D是外角∠ACH與內(nèi)角∠ABC平分線的交點(diǎn)，∠BOC=120°.（1）求∠A的度數(shù)；（2）求∠D的度數(shù).

參考答案1.解：FD∥EC，∠D=42°，∴∠BCE=∠D=42°.CE是∠ACB的平分線，∴∠ACB=2∠BCE=84°.又∠A=46°，∴∠B=180°-∠ACB-∠A=180°-84°-46°=50°.點(diǎn)拔：本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，借助平行線把與△ABC無(wú)關(guān)的已知角轉(zhuǎn)化成△ABC中的∠BCE，再結(jié)合角平分線的定義就能進(jìn)一步運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題.2.解：（1）150°；90°（2）不變化.∵∠A=30°，∴∠ABC+∠ACB=150°.∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°.∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC-∠XBC）+（∠ACB-∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=150°-90°=60°.3.解：（1）∵BP，CP分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=(180°-60°)=60°.∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-60°=120°.（2）正確.理由如下：∵BP，CP分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A.∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A.4.解：連接CG，DF.在△COG和△AOB中，∠COG=∠AOB，∴∠6+∠7=∠OCG+∠OGC.在四邊形CDFG中，∠OCG+∠2+∠CDF+∠DFG+∠3+∠OGC=360°，即∠2+∠3+∠6+∠7+∠CDF+∠DFG=360°.在△DEF中，∠EDF+∠EFD+∠5=180°，∴∠EDF+∠CDF+∠EFD+∠DFG+∠2+∠3+∠5+∠6+∠7=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=540°.點(diǎn)拔：連接CG，DF，利用轉(zhuǎn)化思想，將求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的和轉(zhuǎn)化為求四邊形CDFG的內(nèi)角和與△DEF的內(nèi)角和之和.5.解：∠BOC=90°-∠A.理由如下：由題意得∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A.∵BO，CO分別是∠DBC，∠ECB的平分線，∴∠OBC+∠OCB=（∠DBC+∠ECB)=(180°+∠A)=90°+∠A.∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°+∠A)=90°-∠A.6.解：（1）C（2）∠1+∠2=∠A+180°.理由如下：∵∠1，∠2為△AEF的外角，∴∠1=∠A+∠AEF，∠2=∠A+∠AFE.∴∠1+∠2=∠A+∠A+∠AEF+∠AFE.又∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°.（3）∠1+∠2=2∠A.理由如下：∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF.∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF.∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）.又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A.7.（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠EAD-∠CAD=∠EDA-∠BAD=∠B.（2）解：設(shè)∠CAD=x，則∠E=3x.由（1）知∠EAC=∠B=50°，∴∠EAD=∠EDA=x+50°.在△EAD中，∵∠E+∠EAD+∠EDA=180°，∴3x+2（x+50°）=180°，解得x=16°.∴3x=48°，即∠E=48°.8.解：（1）∵∠BOC=120°，∴∠OBC+∠OCB=60°.∵∠ABC，∠AC