2024屆湖南省岳陽(yáng)市高三下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)試題

姓名______準(zhǔn)考證號(hào)______岳陽(yáng)市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)本試卷共19題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、考號(hào)和姓名填寫(xiě)在答題卡指定位置。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，只交答題卡。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知為等差數(shù)列，，，則（）A．6 B．12 C．17 D．244．函數(shù)的極小值點(diǎn)為（）A． B． C．4 D．5．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．若隨機(jī)變量滿(mǎn)足且，則B．樣本數(shù)據(jù)50，53，55，59，62，68，70，73，77，80的第45百分位數(shù)為62C．若事件相互獨(dú)立，則D．若兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為、，則組數(shù)據(jù)的相關(guān)性更強(qiáng)6．已知，則（）A． B． C． D．7．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)是圓上的兩點(diǎn)，若，則的最大值為（）A．16 B．12 C．8 D．4二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)是關(guān)于的方程的兩根，其中．若（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B．為奇函數(shù)C． D．11．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為正方形內(nèi)（包含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．滿(mǎn)足平面的點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的范圍為D．滿(mǎn)足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》著稱(chēng)于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為_(kāi)_____米．13．若曲線(xiàn)上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則稱(chēng)這條切線(xiàn)為曲線(xiàn)的“自公切線(xiàn)”，則下列方程對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)中存在“自公切線(xiàn)”的序號(hào)為_(kāi)_____．①；②；③；④．14．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，其中，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則該橢圓離心率的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15．（本題滿(mǎn)分13分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值．16．（本題滿(mǎn)分15分）用1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則（1）在數(shù)字1，3相鄰的條件下，求數(shù)字2，4，6也相鄰的概率；（2）對(duì)于這個(gè)六位數(shù)，記夾在三個(gè)偶數(shù)之間的奇數(shù)的總個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．17．（本題滿(mǎn)分15分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求的取值范圍．18．（本題滿(mǎn)分17分）已知，設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率之積為4，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn)．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）點(diǎn)為直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)），直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)（不同于點(diǎn)）．證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．19．（本題滿(mǎn)分17分）已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，，，依此類(lèi)推．設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，規(guī)定：若，使得，則稱(chēng)為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”．（1）將該數(shù)列的“佳冪數(shù)”從小到大排列，直接寫(xiě)出前4個(gè)“佳冪數(shù)”；（2）試判斷50是否為“佳冪數(shù)”，并說(shuō)明理由；（3）（?。┣鬂M(mǎn)足的最小的“佳冪數(shù)”；（ⅱ）證明：該數(shù)列的“佳冪數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)．

岳陽(yáng)市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D 2．B 3．C 4．D5．D 6．C 7．A 8．B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．BCD 10．BCD 11．AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12． 13．①②④ 14．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15．（本題滿(mǎn)分13分）（1）證明：因?yàn)榈酌?，平面所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，又因?yàn)?、平面，，所以平面，又平面所以，又因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，所以平面，又平面，所以，由已知得，且所以平面，（2）解：以為原點(diǎn)，以，，所在直線(xiàn)分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，由（1）知平面，所以為平面的一個(gè)法向量，又，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則由得取，則設(shè)二面角的大小為，則所以二面角的正弦值為16．（本題滿(mǎn)分15分）（1）設(shè)“數(shù)字1，3相鄰”，設(shè)“數(shù)字2，4，6相鄰”，則；（2）的所有可能取值為0，1，2，3，因?yàn)?個(gè)偶數(shù)中間共有2個(gè)空隙．由題意知“”表示3個(gè)偶數(shù)相鄰，則，“”表示3個(gè)偶數(shù)中間只插入了1個(gè)奇數(shù)，則，“”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了2個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則；“”表示3個(gè)偶數(shù)中間共插入了3個(gè)奇數(shù)，可分為兩種情形：和，則．所以的分布列為0123的期望為．17．（本題滿(mǎn)分15分）（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，令得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），所以為的一個(gè)根，故有兩個(gè)不同于1的實(shí)根，令，則，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，不符合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以若要滿(mǎn)足題意，只需且，因?yàn)?，所以，又，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為．18．（本題滿(mǎn)分17分）（1）設(shè)，則，由整理得（2）證明：（方法一）設(shè)，，，則即聯(lián)立與曲線(xiàn)的方程得且解得（舍去）或?qū)⒋氲盟裕渲型?，可解得，其中?dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，所以此時(shí)直線(xiàn)的方程為；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的方程為整理得，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（方法二）設(shè)，則由及三點(diǎn)共線(xiàn)得；將上面兩式相除，再平方可得：①因?yàn)椋谇€(xiàn)上，故滿(mǎn)足；②將②代入①可得整理可得③當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)將直線(xiàn)的方程代入曲線(xiàn)得且由韋達(dá)定理得，將上式代入③式可得解得（舍去）或，故直線(xiàn)的方程為當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，易求得此時(shí)的方程為，所以直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（方法三）設(shè)，，，易知直線(xiàn)不垂直于軸，所以設(shè)直線(xiàn)的方程為由及三點(diǎn)共線(xiàn)得；由上式可得，即將，代入可得①因?yàn)?，為曲線(xiàn)上的點(diǎn)，由（1）可知，，所以，即將，代入可得②①②式相減可得又易知，所以，所以直線(xiàn)的方程為，故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)19．（本題滿(mǎn)分17分）（1）解：因?yàn)?，所?為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”；又因?yàn)椋?，所?、3、18也為該數(shù)列的“佳冪數(shù)”；所以該數(shù)列的前4個(gè)“佳冪數(shù)”為：1、2、3、18；（2）解：由題意可得，數(shù)列如下：第1組：1；第2組：1，2；第3組：1，