數(shù)學(xué)教案：-排列組合打印版

課題：10.1加法原理和乘法原理〔1〕教學(xué)目的正確理解和掌握加法原理和乘法原理，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：加法原理和乘法原理歸納．難點(diǎn)：加法原理和乘法原理的準(zhǔn)確應(yīng)用．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法和手段引入師：從本節(jié)課開始，我們將要學(xué)習(xí)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容中一個(gè)獨(dú)特的局部——排列、組合、二項(xiàng)式定理．它們研究對(duì)象獨(dú)特，研究問題的方法不同一般．雖然份量不多，但是與舊知識(shí)的聯(lián)系很少，而且它還是我們今后學(xué)習(xí)概率論的根底，統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及生物的選種等都與它直接有關(guān)．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排調(diào)配的問題，就離不開它．今天我們先學(xué)習(xí)兩個(gè)根本原理．注：這是排列、組合、二項(xiàng)式定理的第一節(jié)課，是起始課．講起始課時(shí)，把這一學(xué)科的內(nèi)容作一個(gè)大概的介紹，能使學(xué)生從一開始就對(duì)將要學(xué)習(xí)的知識(shí)有一個(gè)初步的了解，并為下面的學(xué)習(xí)研究打下思想根底講解為主概念分析1．介紹兩個(gè)根本原理師：請(qǐng)大家先考慮下面的問題。問題1：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船．一天中，火車有4個(gè)班次，汽車有2個(gè)班次，輪船有3個(gè)班次．那么一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同的走法？師：〔啟發(fā)學(xué)生答復(fù)后，作補(bǔ)充說明〕因?yàn)橐惶熘谐嘶疖囉?種走法，乘汽車有2種走法，乘輪船有3種走法，每種走法都可以完成由甲地到乙地這件事情．所以，一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有4+2+3=9種不同的走法．這個(gè)問題可以總結(jié)為下面的一個(gè)根本原理．加法原理：做一件事，完成它可以有幾類方法，在第一類方法中有m1種不同的方法，在第二類方法中有m2種不同的方法，……，在第n類方法中有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法．師：請(qǐng)大家再來考慮下面的問題問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條〔見圖9－1〕，從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？師：〔啟發(fā)學(xué)生答復(fù)后加以說明〕這里，從A村到B村，有3種不同的走法，按這3種走法中的每一種走法到達(dá)B村后，再?gòu)腂村到C村又各有2種不同的走法，因此，從A村經(jīng)B村去C村共有3×2=6種不同的走法．一般地，有如下根本原理：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法．那么，完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．2．淺釋兩個(gè)根本原理師：兩個(gè)根本原理是干什么用的呢？〔計(jì)算做一件事完成它的所有不同的方法種數(shù)〕．〔如果學(xué)生不能較準(zhǔn)確地答復(fù)，教師可以加以提示〕師：比擬兩個(gè)根本原理，想一想，它們有什么區(qū)別呢？〔學(xué)生經(jīng)過思考后可以得出：各類的方法數(shù)相加，各步的方法數(shù)相乘．〕兩個(gè)根本原理的區(qū)別在于：一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān)．一步到位是加法；分步到位是乘法。、師：請(qǐng)看下面的分析是否正確．題1：找1～10這10個(gè)數(shù)中的所有合數(shù)．第一類方法是找含因數(shù)2的合數(shù)，共有4個(gè)；第二類方法是找含因數(shù)3的合數(shù)，共有2個(gè)；第三類方法是找含因數(shù)5的合數(shù)，共有1個(gè)．∴1～10中一共有N=4＋2＋1=7個(gè)合數(shù)．題2：在前面的問題2中，步行從A村到B村的北路需要8時(shí)，中路需要4時(shí)，南路需要6時(shí)，B村到C村的北路需要5時(shí)，南路需要3時(shí)，要求步行從A村到C村的總時(shí)數(shù)不超過12時(shí)，共有多少種不同的走法？第一步從A村到B村有3種走法，第二步從B村到C村有2種走法，共有N=3×2=6種不同走法．生：題1中的合數(shù)是4，6，8，9，10這五個(gè)，其中6既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)3；10既含有因數(shù)2，也含有因數(shù)5．題中的分析是錯(cuò)誤的．生：從A村到C村總時(shí)數(shù)不超過12時(shí)的走法共有5種．題2中從A村走北路到B村后再到C村，只有南路這一種走法．〔此時(shí)給出題1和題2的目的是為了引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用兩個(gè)根本原理的考前須知，這樣安排，不但可以使學(xué)生對(duì)兩個(gè)根本原理的理解更深刻，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力〕師：為什么會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤呢？〔題1的分類可能有問題吧，題2都走北路不符合要求〕．師：〔教師歸納〕進(jìn)行分類時(shí)，要求各類方法彼此之間是相互排斥的，不管哪一類方法中的哪一種方法，都能單獨(dú)完成這件事．只有滿足這個(gè)條件，才能直接用加法原理，否那么不可以．如果完成一件事需要分成幾個(gè)步驟，各步驟都不可缺少，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，而各步要求相互獨(dú)立，即相對(duì)于前一步的每一種方法，下一步都有m種不同的方法，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，就可以直接應(yīng)用乘法原理．也就是說：類類互斥，步步獨(dú)立．〔在學(xué)生對(duì)問題的分析不是很清楚時(shí)，教師及時(shí)地歸納小結(jié)，能使學(xué)生在應(yīng)用兩個(gè)根本原理時(shí)，思路進(jìn)一步清晰和明確，不再簡(jiǎn)單地認(rèn)為什么樣的分類都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互聯(lián)系就用乘法．從而深入理解兩個(gè)根本原理中分類、分步的真正含義和實(shí)質(zhì)〕重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．〔1〕假設(shè)從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？〔2〕假設(shè)從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？〔3〕假設(shè)從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？〔讓學(xué)生思考，要求依據(jù)兩個(gè)根本原理寫出這3個(gè)問題的答案及理由，教師巡視指導(dǎo)，并適時(shí)口述解法〕師：〔1〕從書架上任取一本書，可以有3類方法：第一類方法是從3本不同數(shù)學(xué)書中任取1本，有3種方法；第二類方法是從5本不同的語文書中任取1本，有5種方法；第三類方法是從6本不同的英語書中任取一本，有6種方法．根據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故從書架上任取一本書的不同取法有14種．師：〔2〕從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，需要分成三個(gè)步驟完成，第一步取1本數(shù)學(xué)書，有3種方法；第二步取1本語文書，有5種方法；第三步取1本英語書，有6種方法．根據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，從書架上取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各1本，有90種不同的方法．師：〔3〕從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類方法：第一類方法是數(shù)學(xué)書、語文書各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×5種方法；第二類方法是數(shù)學(xué)書、英語書各取1本，需要分兩個(gè)步驟，有3×6種方法；第三類方法是語文書、英語書各取1本，有5×6種方法．一共得到不同的取法種數(shù)是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，從書架任取不同科目的書兩本的不同取法有63種．【例２】由數(shù)字0，1，2，3，4可以組成多少個(gè)三位整數(shù)〔各位上的數(shù)字允許重復(fù)〕？師：每一個(gè)三位整數(shù)是由什么構(gòu)成的呢？〔三個(gè)整數(shù)字〕師：023是一個(gè)三位整數(shù)嗎？〔不是，百位上不能是0〕師：對(duì)！百位的數(shù)字不能是0，也就是說，一個(gè)三位整數(shù)是由百位、十位、個(gè)位三位數(shù)字組成的，其中最高位不能是0．那么要組成一個(gè)三位數(shù)需要怎么做呢？〔分成三個(gè)步驟來完成：第一步確定百位上的數(shù)字；第二步確定十位上的數(shù)字；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字〕．師：很好！怎樣表述呢？〔教師巡視指導(dǎo)、并歸納〕解：要組成一個(gè)三位數(shù)，需要分成三個(gè)步驟：第一步確定百位上的數(shù)字，從1～4這4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，有4種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)，共有5種選法；第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，仍有5種選法．根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位整數(shù)的個(gè)數(shù)是

N=4×5×5=100．答：可以組成100個(gè)三位整數(shù)．注：教師的連續(xù)發(fā)問、啟發(fā)、引導(dǎo)，幫助學(xué)生找到正確的解題思路和計(jì)算方法，使學(xué)生的分析問題能力有所提高．教師在第二個(gè)例題中給出板書示范，能幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)兩個(gè)根本原理實(shí)質(zhì)的理解，周密的考慮，準(zhǔn)確的表達(dá)、標(biāo)準(zhǔn)的書寫，對(duì)于學(xué)生周密思考、準(zhǔn)確表達(dá)、標(biāo)準(zhǔn)書寫良好習(xí)慣的形成有著積極的促進(jìn)作用，也可以為學(xué)生后面應(yīng)用兩個(gè)根本原理解排列、組合綜合題打下根底。師生共同完成課堂練習(xí)1〕課本練習(xí)1～4．2〕你的桌上擺有一壘32開的書5本和一疊16開的書6本，現(xiàn)從中選取1本，共有多少種不同的選取方法？3〕你的桌上擺有一壘32開的書5本和一疊16開的書6本，現(xiàn)從中選取1本32開的書和2本16開的書，共有多少種不同的選取方法？板演小結(jié)與作業(yè)課堂小結(jié)1、師：什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理呢？〔分類時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理〕2、師：應(yīng)用兩個(gè)根本原理時(shí)需要注意什么呢？〔分類時(shí)要求各類方法彼此之間相互排斥；分步時(shí)要求各步是相互獨(dú)立的〕本課作業(yè)1．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有多少個(gè)？〔提示：按十位上數(shù)字的大小可以分為9類，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45個(gè)個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)〕2．某學(xué)生填報(bào)高考志愿，有m個(gè)不同的志愿可供選擇，假設(shè)只能按第一、二、三志愿依次填寫3個(gè)不同的志愿，求該生填寫志愿的方式的種數(shù)．〔提示：需要按三個(gè)志愿分成三步，共有m〔m-1〕〔m-2〕種填寫方式〕3．在所有的三位數(shù)中，有且只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)共有多少個(gè)？〔提示：可以用下面方法來求解：〔1〕△△□，〔2〕△□△，〔3〕□△□，〔1〕，〔2〕，〔3〕類中每類都是9×9種，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243個(gè)只有兩個(gè)數(shù)字相同的三位數(shù)〕4．某小組有10人，每人至少會(huì)英語和日語中的一門，其中8人會(huì)英語，5人會(huì)日語，〔1〕從中任選一個(gè)會(huì)外語的人，有多少種選法？〔2〕從中選出會(huì)英語與會(huì)日語的各1人，有多少種不同的選法？〔提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既會(huì)英語又會(huì)日語．〔1〕N=5＋2＋3；〔2〕N=5×2＋5×3＋2×3〕教學(xué)反思〔課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改良設(shè)想〕兩個(gè)根本原理一課是排列、組合、二項(xiàng)式定理的開頭課，學(xué)習(xí)它所需的先行知識(shí)跟學(xué)生已熟知的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系很少，通常教師們或者感覺很簡(jiǎn)單，一帶而過；或者感覺難以開頭．中學(xué)數(shù)學(xué)課程中引進(jìn)的關(guān)于排列、組合的計(jì)算公式都是以乘法原理為根底的，而一些較復(fù)雜的排列、組合應(yīng)用題的求解，更是離不開兩個(gè)根本原理，因此必須使學(xué)生學(xué)會(huì)正確地使用兩個(gè)根本原理，學(xué)會(huì)正確地使用這兩個(gè)根本原理是這一章教學(xué)中必須抓住的一個(gè)關(guān)鍵．所以在教學(xué)目標(biāo)中特別提出要使學(xué)生學(xué)會(huì)準(zhǔn)備地應(yīng)用兩個(gè)根本原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題．對(duì)于學(xué)生陌生的知識(shí)，在開頭課中首先作一個(gè)大概的介紹，使學(xué)生有一個(gè)大致的了解是十分必要的．基于這一想法，在引入新課時(shí)，首先是把這一章將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，以及與其它科目的關(guān)系做了介紹，同時(shí)也引入了課題．正確使用兩個(gè)根本原理的前提是要學(xué)生清楚兩個(gè)根本原理使用的條件．而原理中提到的分步和分類，學(xué)生不是一下子就能理解深刻的，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生，幫助他們分析，找到分類和分步的具體要求——類類互斥，步步獨(dú)立．教學(xué)過程中的題1和題2，就是為了解決這一問題而提出的．分類用加法原理，分步用乘法原理，單純這點(diǎn)學(xué)生是容易理解的，問題在于怎樣合理地進(jìn)行分類、分步，特別是在分類時(shí)必須做到既不重復(fù)，又不遺漏，找到分步的方法有時(shí)是比擬困難的，這就要著重進(jìn)行訓(xùn)練．教學(xué)中給出了例題1、例題2．這兩個(gè)題目都是在課本例題的根底上稍加改動(dòng)過的，目的就是要幫助學(xué)生開展思維能力，培養(yǎng)學(xué)生周密思考、細(xì)心分析的良好習(xí)慣．為了幫助學(xué)生在今后能正確運(yùn)用兩個(gè)根本原理解決其它排列組合問題，特別給出了4個(gè)補(bǔ)充習(xí)題，為下面將要進(jìn)行的課打下一個(gè)根底．課題：10.1加法原理與乘法原理〔2〕教學(xué)目的進(jìn)一步理解和掌握加法原理與乘法原理的概念，并能準(zhǔn)確地判斷一些問題是用加法原理或乘法原理，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：兩個(gè)原理的應(yīng)用．難點(diǎn)：加法原理與乘法原理的區(qū)別及運(yùn)用．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法引入〔1〕關(guān)于分類計(jì)數(shù)原理的理解使用分類計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵在予恰當(dāng)?shù)胤诸?，分類時(shí)要做到既不重復(fù)又不遺漏，即如果完成某件事情有n類方法，這n類方法相互之間是獨(dú)立的，無論哪一類方法中的哪一種方法都能獨(dú)立完成這件事情，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)就用分類計(jì)數(shù)原理．(2)關(guān)于分步計(jì)數(shù)原理的理解分步計(jì)數(shù)原理是討論分階段辦事過程中的計(jì)數(shù)問題．使用這個(gè)原理的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)正確選取的程序，確定其所分的步驟，即完成某件事情有n個(gè)步驟，而這n個(gè)步驟缺一不可，當(dāng)且僅當(dāng)這n個(gè)步驟都完成后，這件事情才算完成，而完成每一個(gè)步驟又有假設(shè)干種方法，那么求完成這件事情的方法總數(shù)時(shí)就用分步計(jì)數(shù)原理．講解為主概念分析1、兩個(gè)原理的比擬分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理都是討論“完成一件事，確定完成這件事所有不同的方法種數(shù)”．這里“完成一件事”是抽象的．如果完成一件事的各種方法是互斥的、獨(dú)立的，任選一種方法都能到達(dá)完成這件事的目的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，用分類計(jì)數(shù)原理．所以，分類計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是“獨(dú)立的、一次的”完成一件事．如果完成一件事的各個(gè)步驟是互相聯(lián)系的，依次完成全部步驟才能到達(dá)完成這件事的目的．那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理。所以．分步計(jì)數(shù)原理的特點(diǎn)是“連續(xù)的、屢次的”完成—件事。2．運(yùn)用兩個(gè)原理考前須知(1)審清題意，明確完成怎樣的事件是解題的前提；明白了完成什么事件后，再分析完成這件事可以采用什么方法?這個(gè)方法是否可以分類?是否需要分步?(2)用分類計(jì)數(shù)原理解題時(shí)。首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定—個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)、分類應(yīng)滿足完成這件事的任何一種方法必定屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的方法；其次再計(jì)算。(3)用分步計(jì)數(shù)原理解題時(shí)。首先要根據(jù)問題的特點(diǎn)確定—個(gè)分步的標(biāo)準(zhǔn)，分步要滿足：①完成這件事必需且只需連續(xù)做完這n步，這就是說分別選用這n個(gè)步驟中的n個(gè)方法，對(duì)應(yīng)了完成這件事的一種做法；②做每一步驟時(shí)，選用的方法和做上一個(gè)步驟時(shí)選用的方法是無關(guān)的，并且每個(gè)步驟的完成方法種數(shù)正好是完成這個(gè)步驟所有的方法的種數(shù)，只有滿足這些條件，才能用分步計(jì)數(shù)原理解題。重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】由0、1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．分析分四步完成這件事．第一步，從1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)中取一個(gè)數(shù)字填首位，有5種不同的取法，第二步，從第一步剩下四個(gè)數(shù)和0中取一個(gè)數(shù)排百位有5種不同的取法，第三步，從第二步剩下的四個(gè)數(shù)取一個(gè)數(shù)排十位，有4種不同取法，第四步，從第三步后剩下3個(gè)數(shù)字中取一個(gè)排個(gè)位有3種不同取法．解如圖：第一步先填首位有5種，第二步填百位，有5種排法，第三步填十位，有4種方法，第四步填個(gè)位，有3種方法，故有5×5×4×3種不同四位數(shù)．變題1由0、1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)可以重復(fù)的四位數(shù)?分析第一步排首位有5種排法，第2、3、4步又都各有6種排法．解由分步計(jì)數(shù)原理，共有5×6×6×6＝1080種不同的四位數(shù)．變題2由0、l、2、3、4、5可以組成多少個(gè)數(shù)，(數(shù)字可以重復(fù)，最多是六位數(shù))．分析組成一個(gè)數(shù)可以是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)、六位數(shù)．每一個(gè)數(shù)又如上題按分步計(jì)數(shù)原理完成．[解]一位數(shù)：共有6個(gè)；二位數(shù)，共有5×6個(gè)；三位數(shù)：共有5×6×6個(gè)；四位數(shù)：共有5×6×6×6個(gè)；五位數(shù)：共有5×6×6×6×6個(gè)；六位數(shù)：共有5×6×6×6×6×6個(gè)．故共有5×(6十62十63十64十65)個(gè)不同的數(shù)．變題3不超過2000的自然數(shù)中，各位數(shù)上都不含數(shù)字7的有多少個(gè)?分析此題涉及0～9十個(gè)數(shù)字，又沒有限制是幾位數(shù)，所以應(yīng)分一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)四類情況．整體上分類，每一類中又需分步完成．同時(shí)注意各位數(shù)字都不是“7”，這屬于多重限制問題，需分類．．[解]一位數(shù)：9個(gè)(除7)二位數(shù)8×9(先取首位)三位數(shù)8×9×9(先取首位)四位數(shù)：又分兩類，第一類，首位是l，有1×9×9×9種，第二類，首位是2的有1個(gè)，即2000，故四位數(shù)有93+1個(gè)．故各位數(shù)字均不合“7”，又不超過2000的自然數(shù)有9十8×9十8×92十〔93十1〕＝1459個(gè)．[點(diǎn)撥]判斷“分類”還是“分步”，主要看做一次是否完成整個(gè)事件．這是問題的實(shí)質(zhì)．[例2]四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的比賽；(1)每位學(xué)生必須只參加一項(xiàng)比賽，有多少種參賽方法?(2)每項(xiàng)比賽只許一位學(xué)生參加，有多少種參賽方法?分析(1)完成4名學(xué)生報(bào)名參加3項(xiàng)比賽這件事分四步完成，其中每一名運(yùn)發(fā)動(dòng)報(bào)名參加比賽有3種不同方法，可以看成一步，用分步計(jì)數(shù)原理，共有34＝81種不同的報(bào)名方法．(2)完成三項(xiàng)賽事的報(bào)名工作分三步完成，每一步安排一項(xiàng)賽事報(bào)名工作，有4種不同的方法，再用分步計(jì)數(shù)原理，共有43＝64種不同的報(bào)名方法．[解](1)34＝81(2)43＝64．[變形1]集合A=﹛a、b、c、d﹜、和集合B＝﹛0，l，2﹜，求(1)A到B上的映射個(gè)數(shù)。(2)B到A上的映射個(gè)數(shù)．[解](1)A中每個(gè)元素有3種不同對(duì)應(yīng)方法，故有34＝8l(種)(2)B中每個(gè)元素有4種不同對(duì)應(yīng)方法，故有43＝64(種)．[點(diǎn)撥]按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程分步，是處理這類問題的根本思想方法．例3同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張賀卡不同的分配方式有多少種?[分析1]用窮舉法．列表畫出甲、乙、丙、丁四人與賀年卡1、2、3、4的對(duì)應(yīng)圖．甲乙丙丁甲乙丙丁214341334131．42412421甲乙丙丁4123312321甲拿2號(hào)卡、3號(hào)卡，4號(hào)卡都各有3種不同的方式，按分類計(jì)數(shù)原理，共有3十3十3＝9種．[解法一]分類計(jì)數(shù)原理，共有3十3十3＝9(種)不同的方法．分析2分步法．第一步，甲取1張不是自己所寫的賀卡，有3種不同取法；第二步，由取出的那張賀卡的供卡人取，又有3種不同的取法第三步：由剩下兩人各取一張時(shí)，只有1種方法，故共有3×3×1=9(種)不同的方法．[解法二]分步計(jì)數(shù)原理，共有3×3×1＝9(種)不同的方法．[點(diǎn)撥]一個(gè)問題，假設(shè)從“類”的角度出發(fā)和從“步”的角度出發(fā)都可以解決．例4乘積．(X1+X2+X3+X4)(y1+y2+y3+y4+y5)(z1+z2+z3+z4+z5+z6)展開后共有多少項(xiàng)?分析因?yàn)檎归_式的每一項(xiàng)都是由三個(gè)因數(shù)組成的乘積，而這三個(gè)因數(shù)是取自三個(gè)不同的因式。因此要得到展開式中的一項(xiàng)需要分三個(gè)步驟：第一步是從第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的四項(xiàng)中任取一項(xiàng)．有4種方法，第二步是從第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的五項(xiàng)中任取一項(xiàng)，有5種方法，第三步是從第三個(gè)括號(hào)內(nèi)的六項(xiàng)中任取一項(xiàng)，有6種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知展開式共有120項(xiàng).解由題意可知，完成此事分三步，第一步有4種方法，第二步有5種方法，第三步有6種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可知展開式中共有N＝4×5×6＝l20種方法。答：略。例5高二(1)班有4位學(xué)生參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽．(1)每位學(xué)生至少參加一次競(jìng)賽，有多少種不同的參賽方法?(2)每項(xiàng)競(jìng)賽只允許每個(gè)班有一位學(xué)生參加，有多少種不同的參賽方法?(3)每位同學(xué)最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽。而且每項(xiàng)競(jìng)賽只允許每班一位學(xué)生參加，有多少種不同的參賽方法?解(1)因?yàn)閷W(xué)生至少可以參加一項(xiàng)競(jìng)賽，所以每位學(xué)生共有三種選擇．而完成這件事需要分四步，即這四位學(xué)生分別報(bào)名參賽，每一位學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)競(jìng)賽工程均可報(bào)名，由分步計(jì)數(shù)原理可知，每位學(xué)生至少參加一項(xiàng)競(jìng)賽有3×3×3×3＝34＝81種參賽方法．答：有81種參賽方法．(2)因?yàn)槊宽?xiàng)競(jìng)賽只允許每班一名學(xué)生參加，所以每個(gè)競(jìng)賽工程可以挑選4名學(xué)生中的一名，由分步計(jì)數(shù)原理可知，共有4×4×4＝43=64種參賽方法，答：有64個(gè)參賽方法．(3)因?yàn)槊课粚W(xué)生最多參加一項(xiàng)競(jìng)賽，而且每項(xiàng)競(jìng)賽只允許每班一位學(xué)生參加，所以可以認(rèn)為從4名學(xué)生中挑選3名學(xué)生去參加三個(gè)工程的競(jìng)賽，因此完成這件事必須分三步來完成：第一步從4名學(xué)生中挑選一名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有4種方法；第二步從剩下的3名學(xué)生中挑選一名學(xué)生參加物理競(jìng)賽，共有3種方法；第三步再?gòu)氖Ｏ碌?名學(xué)生中挑選一名學(xué)生參加化學(xué)競(jìng)賽，共有2種方法．由分步計(jì)數(shù)原理可知，完成這件事共有4×3×2＝24種方法．答：共有24種方法．師生共同完成課堂練習(xí)1．把10個(gè)蘋果分成三堆，要求每堆至少1個(gè)，至多5個(gè)、那么不同的分法共有(A)(A)4種(B)5種(C)6種(D)7種2．用10元，5元和1元三種面值錢幣來支付20元，不同的支付方法有(A)(A)9種(B)8種(C)7種(D)6種3．如圖，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A、B、C、D中，要求相鄰的矩形顏色不同，那么不同的涂法共有(A)(A)72種(B)48種(C)24種(D)12種3．直線上有7個(gè)點(diǎn)，直線m上有8個(gè)點(diǎn)，那么通過這些點(diǎn)中的兩點(diǎn)的直線最多有＿＿＿條．〔58〕4．從1，2，3，4,5五個(gè)數(shù)字中，每次取兩個(gè)，那么可組成無重復(fù)數(shù)字的兩位奇數(shù)有＿＿＿個(gè)．〔12〕5．設(shè)x∈﹛1、2、3、4、5，﹜，y∈﹛2，3，4，5，6，7﹜，那么以有序數(shù)對(duì)(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是＿＿＿?！?0〕板演小結(jié)與作業(yè)課堂小結(jié)在應(yīng)用兩個(gè)原理解題時(shí)，首先要搞清完成這件事需“分類”還是需“分步”；其次要搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么．對(duì)稍加復(fù)雜的問題，可以根據(jù)題目的條件，恰當(dāng)?shù)禺嫵龌蛄谐霰砀襁M(jìn)行分析，這樣可以使問題更直觀、更清晰．本課作業(yè)1．有不同的中文書11本，不同的英文書8本，不同的日文書5本，從中取出不是同一國(guó)文字的書2本，有多少種不同的取法?〔183〕2．函數(shù)‘，其中、b、c∈﹛0，1，2，4﹜，求組成不同的二次函數(shù)的個(gè)數(shù)?〔48〕3．標(biāo)號(hào)為A、B、C的三個(gè)口袋，A袋裝有5個(gè)紅色小球，B袋裝有6個(gè)白色小球，C袋裝有7個(gè)黃色小球。每次取2個(gè)不同的顏色的小球，共有多少種不同的取法?〔107〕10.2.1排列的概念教學(xué)目標(biāo)1．正確理解排列的意義．2．掌握寫出所有排列的方法，加深對(duì)分類討論方法的理解．3．開展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正確理解兩個(gè)原理(加法原理、乘法原理)以及排列的概念．難點(diǎn)：區(qū)別排列與非排列問題。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)教學(xué)過程〔一〕復(fù)習(xí)引入師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)根本原理，請(qǐng)大家完成以下兩題的練習(xí)：1．書架上層放著50本不同的社會(huì)科學(xué)書，下層放著40本不同的自然科學(xué)的書．(1)從中任取1本，有多少種取法?〔90〕(2)從中任取社會(huì)科學(xué)書與自然科學(xué)書各l本，有多少種不同的取法?〔2000〕2．某農(nóng)場(chǎng)為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A，月，C，方案在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進(jìn)行引種試驗(yàn)，問共需安排多少個(gè)試驗(yàn)小區(qū)?情況〔3×5＝15〕(全體同學(xué)參加筆試練習(xí)．5分鐘后，找一同學(xué)談解答和怎樣思考的?)〔二〕新授1、師：學(xué)習(xí)了兩個(gè)根本原理之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)排列和組合，什么是排列?這是我們今天討論的重點(diǎn)，先從實(shí)例入手：〔1〕．北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同飛機(jī)票?希望同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)好方案，踴躍發(fā)言．法一：首先確定起點(diǎn)站，如果北京是起點(diǎn)站，終點(diǎn)站是上?；驈V州，需要制2種飛機(jī)票，假設(shè)起點(diǎn)站是上海，終點(diǎn)站是北京或廣州，又需制2種飛機(jī)票；假設(shè)起點(diǎn)站是廣州，終點(diǎn)站是北京或上海，又需要2種飛機(jī)票，共需要2十2十2＝6種飛機(jī)票．師：用加法原理解決了準(zhǔn)備多少種飛機(jī)票問題．能不能用乘法原理來設(shè)計(jì)方案呢?法二：首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有3種方法．即北京、上海、廣州任意一個(gè)城市為起點(diǎn)站，中選定起點(diǎn)站后，再確定終點(diǎn)站，由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站，終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選．那么，根據(jù)乘法原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后州順序排列不同方法共有3×2＝6種．師：根據(jù)生乙的分析寫出所有種飛機(jī)票．起點(diǎn)站終點(diǎn)站飛機(jī)票北京上海北京一上海廣州北京一廣州上海北京上海一北京廣州上海—廣州廣州北京廣州一北京上海廣州一上海2、師：再看一個(gè)實(shí)例．在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號(hào)．如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號(hào)，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號(hào)?請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勛约合敕ā胺ㄒ唬菏聦?shí)上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個(gè)排法表示一種信號(hào)，所以不同顏色的同時(shí)升起可以表示出來的信號(hào)種數(shù)，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數(shù)．首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有3種方法；其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法，剩下那面旗子，放在最低位置．根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號(hào)種數(shù)是：3×2×l＝6(種)．師：根據(jù)生丁同學(xué)的分析，寫出三面旗子同時(shí)升起表示信號(hào)的所有情況．(包括每個(gè)位置情況)由一學(xué)生板演最高位置中間位置最低位置信號(hào)表示紅黃———綠紅黃綠綠———黃紅綠黃黃紅——綠黃紅綠綠———紅黃綠紅綠紅———黃綠紅黃黃———紅綠黃紅3、師：第三個(gè)實(shí)例，請(qǐng)全體同學(xué)都參加設(shè)計(jì)，把所有情況(包括每個(gè)位置情況)寫出來．由數(shù)字l，2，3，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的二位數(shù)?寫出這些所有的二位數(shù)．(教師在教室巡視，過3分鐘找一同學(xué)板演)根據(jù)乘法原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有3×2＝6(個(gè))．十位個(gè)位數(shù)………師：請(qǐng)板演同學(xué)談?wù)勗鯓酉氲?第一步，先確定十位上的數(shù)字．在1，2，3，這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有3種取法．第二步，確定個(gè)位上的數(shù)字．當(dāng)十位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的二個(gè)數(shù)字去取，有2種方法．根據(jù)乘法原理，所以共有3×2＝6種．4、師：以上我們討論了三個(gè)實(shí)例，這三個(gè)問題有什么共同的地方?〔都是從一些研究的對(duì)象之中取出某些研究的對(duì)象〕．師：對(duì)取出的這些研究對(duì)象又做些什么?〔實(shí)質(zhì)上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況〕．師：請(qǐng)大家看書，我們把被取的對(duì)象叫做元素，如上面問題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素．上面第一個(gè)問題就是從3個(gè)不同的元素中，任取2個(gè)，然后按一定順序排成一列，求…共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法．第二個(gè)問題，就是從3個(gè)不同元素中，取出3個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法．第三個(gè)問題呢?〔從4個(gè)不同的元素中，任取3個(gè)，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法〕．5、師：請(qǐng)看課本，定義：一般地說，從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況)，按著一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．注：〔1〕相同的排列—————排列的元素必須完全相同，且排列的順序(即元素所在的位置)也必須相同．不同的排列—————排列的元素不完全相同，且排列的順序(即元素所在的位置)也不相同．〔2〕m≤n且m、n∈N。〔3〕定義中包含兩個(gè)本質(zhì)的東西，一是“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素”，一是“按著一定的順序排成一列”，按著一定的順序排成一列是指無論上、下、左、右或前、后，各種情況都要考慮。〔4〕“一個(gè)排列”不應(yīng)當(dāng)是一個(gè)數(shù)，而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事．如第一個(gè)問題中，北京一廣州，上海廣州是兩個(gè)排列，第三個(gè)問題中，213與423也是兩個(gè)排列．再如第一個(gè)問題中，北京一廣州，廣州北京；第二個(gè)問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個(gè)問題中23l和213雖然元素完全相同，但排那么順序不同，也是兩個(gè)排列．如飛機(jī)票“北京一廣州”是一個(gè)排列，“紅黃綠”是一種信號(hào)，也是一個(gè)排列．如果問飛機(jī)票有多少種?能表示出多少種信號(hào)．只問種數(shù)，不用把所有情況羅列出來，才是一個(gè)數(shù)．前面提到的第三個(gè)問題，實(shí)質(zhì)上也是這樣的。6、排列數(shù)公式〔1〕排列數(shù)的符號(hào)表示從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。用符號(hào)表示。表示什么？呢？〔2〕排列數(shù)的計(jì)算由前面的例子，、那么=n(n—1)(n—2)(n—3)……(n—m＋1)注：①是m個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積。②第一因數(shù)最大，它為A的下標(biāo)數(shù)。③第m全因數(shù)、即最后一個(gè)因數(shù)最小，為兩標(biāo)差加1。④當(dāng)m=n時(shí)，n(n—1)(n—2)(n—3)……3??2?1〔3〕練習(xí)計(jì)算7例題寫出從五個(gè)元素a、b、c、d、e中任意取出兩個(gè)、三個(gè)元素的所有排列；用數(shù)字1,2,3,4,5能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù).(1)能組成多少個(gè)四位數(shù)?()(2)能組成多少個(gè)自然數(shù)?(2631)(3)能組成多少個(gè)六位奇數(shù)?(288)(4)能組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)?(21)(5)能組成多少個(gè)比201345大的四位數(shù)?(479)(6)求所有組成三位數(shù)的總和.(32640)〔三〕練習(xí):

1.寫出〔1〕從四個(gè)元素a,b,c,d中任取兩個(gè)元素的所有排列；〔2〕從五個(gè)元素a,b,c,d,e中任取兩個(gè)元素的所有排列。2.6名同學(xué)排成一排照相，有多少種排法？3.從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有多少種種植方法？4.用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？其中有多少個(gè)四位數(shù)是5的倍數(shù)？〔四〕小結(jié)1〕：判斷是否是排列問題關(guān)鍵在于取出的元素是否與順序有關(guān)，假設(shè)與順序有關(guān)那么是排列，否那么不是.2〕：解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素戰(zhàn)位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數(shù)字的排列問題，0不能排在首位。3〕：解決相鄰問題通常用捆綁的方法；不相鄰問題通常用插入的方法.〔五〕作業(yè)1、課本2、三個(gè)男生和四個(gè)女生安以下條件排成一排有多少種排法？男生排在一起，女生排在一起有；男女生間隔相排；男生互不相鄰；甲乙兩人必須相鄰.10.2.2排列數(shù)公式教案教學(xué)目的正確理解和掌握排列數(shù)公式，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：排列數(shù)公式的意義．難點(diǎn)：排列數(shù)公式的準(zhǔn)確運(yùn)用．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法引入〔一〕概念回憶1、什么叫排列？從n個(gè)不同元素中，任取m()個(gè)元素〔這里的被取元素各不相同〕按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列2、什么叫不同的排列？〔元素和順序至少有一個(gè)不同〕.3、什么叫相同的排列？〔元素和順序都相同的排列〕.4、排列數(shù)的符號(hào)表示〔從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。用符號(hào)表示?！场捕尘毩?xí)1、判斷以下問題是否是排列問題：從7名同學(xué)中選3人去完成3種不同的工作，每人完成一種，有多少種不同的選派方法…………………〔〕從7名同學(xué)中選3人去某地參加一個(gè)會(huì)議…………〔〕設(shè)m、n，那么可以構(gòu)成多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸的橢圓…〔〕從6名同學(xué)中選4人，參加4100m接力賽，有多少種不同的參賽方案……………〔〕用排列數(shù)表示以下各式：①109876=②242322…321=③n(n-1)(n-2)(n-3)=小結(jié)：判斷是否是排列問題關(guān)鍵在于取出的元素是否與順序有關(guān)，假設(shè)與順序有關(guān)那么是排列，否那么不是.講解口答概念分析1、公式的簡(jiǎn)化排列數(shù)公式中，當(dāng)m＝n時(shí)，有＝n·(n－1)·(n－2)……3·2·1。這個(gè)公式指出，n個(gè)不同元素全部取出的排列數(shù)，等于自然數(shù)1到n的連乘積。n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列。自然數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示。所以n個(gè)不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成﹗因此，排列數(shù)公式還可寫成注意:為了使這個(gè)公式在m＝n時(shí)也能成立，我們規(guī)定0﹗＝1。重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】計(jì)算1〕〔1〕2〕〔〕【例２】試證明1〕2〕3〕例3解方程2〔5〕3〔6〕小結(jié)：解有關(guān)排列數(shù)的方程關(guān)鍵在于用排列數(shù)公式將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元方程.例4解不等式1〕＞2〔≥4的正整數(shù)〕2〕2＜≤42〔2，3，4，5，6〕3、排列應(yīng)用舉例1〕、用0、1、2、3、4、5、6組成滿足以下條件的數(shù)各多少個(gè)？無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)；無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)偶數(shù)；無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)且能被5整除；個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的四位數(shù).小結(jié)：解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素戰(zhàn)位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數(shù)字的排列問題，0不能排在首位2〕、三個(gè)男生和四個(gè)女生安以下條件排成一排有多少種排法？①男生排在一起，女生排在一起有；②男女生間隔相排；③男生互不相鄰；④甲乙兩人必須相鄰.小結(jié)：解決相鄰問題通常用捆綁的方法；不相鄰問題通常用插入的方法.師生共同完成課堂練習(xí)練習(xí)1〕、解方程3〔6〕〔4〕2〔5〕2〕鐵路上有12個(gè)車站，共需準(zhǔn)備多少種普通客票？3〕信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛一面、二面或三面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？板演小結(jié)與作業(yè)課堂小結(jié)解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素戰(zhàn)位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數(shù)字的排列問題，0不能排在首位解決相鄰問題通常用捆綁的方法；不相鄰問題通常用插入的方法.解有關(guān)排列的應(yīng)用題時(shí)，先將問題歸結(jié)為排列問題，然后確定原有元素和取出元素的個(gè)數(shù)，即n、m的值.本課作業(yè)1.由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)個(gè)；自然數(shù)個(gè)；三位數(shù)個(gè).2.5個(gè)人排成一排，共有種不同的排法.3.從5個(gè)人中任選兩人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)書記，所有選法的總數(shù)為.4.求以下各式中的n：②③5.求證：①②③課題：排列應(yīng)用題教學(xué)目的正確理解和掌握排列問題的解法，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：排列問題的分析．難點(diǎn)：有限制條件的排列．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法和手段引入本課主要講解排列應(yīng)用問題的求解。講解為主概念分析師：解有關(guān)排列的應(yīng)用題時(shí)，一要理解題意，搞清是重復(fù)排列，還是非重復(fù)排列；二要分析它是有限制條件的排列，還是無限制條件的排列．由于解排列應(yīng)用題往往難以驗(yàn)證結(jié)果的正確性，所以一般應(yīng)考慮用一種方法計(jì)算結(jié)果，用另一種方法檢查核對(duì)，區(qū)分正誤．重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】〔1〕8個(gè)人坐6張單人椅，有多少種不同的坐法？〔2〕8個(gè)人坐前排3張單人椅，后排3張單人椅，有多少種不同的坐法？〔3〕8個(gè)人坐10張單人椅，有多少種不同的坐法？解1〕8個(gè)人坐6張單人椅，顯然椅子不夠，只好從8個(gè)人中選出6人去坐，6個(gè)人坐6張單人椅，有順序關(guān)系，因此每一種坐法對(duì)應(yīng)一種排列，因此不同的坐法種數(shù)是 =201602〕由于排列的本質(zhì)是在n個(gè)不同元素中取m〔m≤n〕個(gè)元素放到不同的有序位置上，所以從8個(gè)人中挑選6個(gè)人去坐前排3張單人椅，后排3張單人椅，相當(dāng)于挑選出6個(gè)人分配到不同的6個(gè)有序位置上，因此不同的坐法種數(shù)是．＝20160．3〕8個(gè)人坐10張單人椅，此時(shí)有空椅子，因此此題就可轉(zhuǎn)化為從。10張單人椅中挑選8張單人椅，供8人去坐，而坐法有順序，因此不同的坐法種數(shù)是＿＝1814400．答：略．評(píng)注1．解答本剛也可以用分步計(jì)數(shù)原理，如對(duì)第3〕小題可以這樣考慮，第一步安排8人中一個(gè)人去坐10張單人椅中一張，有10種坐法，第二步安排剩下的7人中一個(gè)去坐剩下9張單人椅中一張，有9種坐法，……第八步安排最后一個(gè)人去坐研的3張單人椅中一張j有3種蚜；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得共有10×9×8×7×6×5×4×3=1814400種坐法．2．在運(yùn)用排列數(shù)公式解題時(shí)，應(yīng)注意分清問題中n，m各指的是什么？從n個(gè)不同元素中取出m〔m≤n〕個(gè)元素的每一種排列對(duì)應(yīng)著什么事件？【例２】從一組8個(gè)學(xué)生中選5人排成一列，組長(zhǎng)不排在首位，有多少種不同的排法？分析，因?yàn)榻M長(zhǎng)不排在首位，所以此題是元素及其所占的位置有限制條件的排列問題．解答此題一般有以下三種方法，以元素為主分析各種可能性和以位置為主分析各種可性是根本方法，解法一從特殊元素〔組長(zhǎng)〕出發(fā)，分析各種可能性．第一類組長(zhǎng)不在5人之內(nèi)，即該組余下的7個(gè)學(xué)生排在5個(gè)位置上，此時(shí)有=2520種方法．第二類組長(zhǎng)在5人內(nèi)，但不在首位．這件事又可分兩步來完成．第一步組長(zhǎng)不排在首位，有種方法，第二步余下的7個(gè)學(xué)生排在余下的4個(gè)位置上，有種方法，這樣第二類共有種方法．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理。滿足條件的排列數(shù)為十=5880．解法二從特殊位置〔首位〕出發(fā)，分析各種可能性．第一步組長(zhǎng)不在首位，余下的7個(gè)學(xué)生排在首位，有種方法．第二步余下的7個(gè)人〔包括組長(zhǎng)在內(nèi)〕排在余下的4個(gè)位置上，有種方法．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，滿足條件的排列數(shù)為＝5880．解法三間接法．先不考慮限制條件，求出方法總數(shù)，再剔除不合限制條件的方法數(shù)，這種方法稱為間接法．因?yàn)椤敖M長(zhǎng)不排在首位的排列數(shù)”=“從8位同學(xué)中選5人排列數(shù)”－“組長(zhǎng)排在首位的排列數(shù)”所以，滿足條件的排列數(shù)為=5880．答：組長(zhǎng)不排在首位共有5880種排法．評(píng)注：解答元素“在”與“不在”某一位置問題的思路是：優(yōu)先安置受限制的元素，然后再考慮一般對(duì)象的安置問題’，常用方法如下：1〕從特殊元素出發(fā)，事件分類完成，用分類計(jì)數(shù)原理．2〕從特殊位置出發(fā)，事件分步完成，用分步計(jì)數(shù)原理．3〕從“對(duì)立事件”出發(fā)，用減法．【例3】元旦文娛會(huì)演要安排5個(gè)舞蹈節(jié)目，6個(gè)歌唱節(jié)目，按以下情況各有多少種排法？1〕5個(gè)舞蹈節(jié)目必須在一起；2〕5個(gè)舞蹈節(jié)不相鄰；3〕舞蹈與歌唱節(jié)目相互間隔．分析：元素必須排在一起?？刹捎谩啊袄壏ā?，元素不相鄰可采用“插空法”。解1〕因?yàn)?個(gè)舞蹈節(jié)目必須排在一起、所以可以先把它們看成一個(gè)整體，作為一個(gè)元素，這樣與6個(gè)歌唱節(jié)目一共有7個(gè)元素，排成一排有種不同排法．對(duì)于其中的每一種排法，5個(gè)舞蹈節(jié)目之間都有以種互換位置方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得滿足條件的排列個(gè)數(shù)為=604800。2〕為了保證舞蹈節(jié)目不相鄰，可先將6個(gè)歌唱節(jié)目排好。而后在每?jī)蓚€(gè)相鄰的歌唱節(jié)目之間留下一個(gè)空檔，這樣共有5個(gè)空檔，加上歌唱節(jié)目外側(cè)的兩個(gè)位置，共有7個(gè)位置，再把舞蹈節(jié)目插入這7個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)舞蹈節(jié)目，就能保證任意兩個(gè)舞蹈節(jié)目都不相鄰，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，共有=1814400。3〕同第〔2〕小題的解法類似，分兩步來完成這件事．第一步先排6個(gè)歌唱節(jié)目，有種方法，第二步再將5個(gè)舞蹈節(jié)目插入歌唱節(jié)目之間留下的空檔，有種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知，共有=86400種排列方法。答：略．評(píng)注1．假設(shè)要求某n個(gè)元素相鄰，可采用“捆綁法”，所謂“捆綁法”就是首先將要求排在相鄰位置上的元素看成一個(gè)整體同其它元素一同排列，然后再考慮這個(gè)整體內(nèi)部元素的排列。2．假設(shè)要求某n個(gè)元素間隔，常采用“插空法”。所謂插空法就是首先安排一般元素，然后再將受限制元素插人到允許的位置上．【例4】在數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三個(gè)數(shù)字作系數(shù)?？梢越M成多少個(gè)不同的一元二次方程=0？其中有實(shí)數(shù)根的方程有多少個(gè)？分析第1〕問相當(dāng)于由0，1，3，5，7這五個(gè)數(shù)字能夠組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理或分類計(jì)數(shù)原理的方法解決．第2〕問其中有實(shí)數(shù)根的方程有多少個(gè)？那么須滿足b2一4ac≥0，可采用分類計(jì)數(shù)原理解決。1〕解法一由題意知a≠0，所以對(duì)于a可以從1，3，5，7這四個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，有4種不同的排法。B、c從余下的四個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)排列，有=12種不同排法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知，一共可組成一元二次方程的個(gè)數(shù)有4=48〔個(gè)〕解法二由于x2的系數(shù)a≠0，可分兩類，第一類不含0那么從1，3，5，7這四個(gè)數(shù)中任取三個(gè)分別排在a，b，c的三個(gè)位置上，有=24種不同的排法；第二類含0，那么0只能排在b與C這兩個(gè)位置上，那么有兩種排法，再?gòu)挠嘞碌乃膫€(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)排在剩余的兩個(gè)位置上，那么有種不同的排法，因此含0的排法有2=24種不同的排法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，一共可組成一元二次方程的個(gè)數(shù)為+2=48〔個(gè)〕。要使一元二次方程=0有實(shí)數(shù)根，必須有△=b2一4ac≥0。假設(shè)c=0，那么a，b在1，3，5，7中任取兩個(gè)作系數(shù)，有種不同的一元二次方程．假設(shè)c≠0，那么b只能取5和7，當(dāng)b=5時(shí)，a，c只能取1，3兩數(shù)作系數(shù)，有2種取法；當(dāng)b=7時(shí)，a，c可在1，3或1，5中取，有2種排法，此時(shí)有2+2種不同的一元二次方程·根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知，一共有2+2+2=18個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．答：可能組成48個(gè)一元二次方程，其中有實(shí)數(shù)根的一元二次方程有18個(gè)．評(píng)注此題屬于有兩個(gè)或兩個(gè)以上的限制條件的問題，解此類問題時(shí)關(guān)鍵是要搞清“分步”、還是“分類”，謹(jǐn)防遺漏或重復(fù)．【例5】同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張不是自己的賀年卡，那么四張賀年卡不同的分配方法有多少種？分析此題抽象成數(shù)學(xué)模型后，相當(dāng)于將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)有1，2，3，4號(hào)碼的方格里，而每格所填入的數(shù)字與其標(biāo)號(hào)不同的填法有多少種？解由上面分析所建立的數(shù)學(xué)模型知，1號(hào)方格里可以填2，3，4有三種填法，1號(hào)方格填定數(shù)字后，再填與1號(hào)方格內(nèi)數(shù)字相同的號(hào)位，又有三種填法，其余的兩號(hào)就只能有一種填法，由分步計(jì)數(shù)原理知，四張賀年卡不同的分配方法有3×3×I=9〔種〕評(píng)注此題是帶有限制條件的排列應(yīng)用題，應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理解決．由于題目給定元素較少，可以通過列舉、框圖、樹圖方法，將具體元素排一排，同樣可以解決此題師生共同完成課堂練習(xí)n∈N＊“且n＜27，那么〔27一n〕〔28一n〕…·〔34一n〕等于〔D〕(A)(B)(C)(D)2．由0，l，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，奇數(shù)個(gè)數(shù)與偶數(shù)個(gè)數(shù)之比為〔C〕〔A〕l：l〔B〕2：3〔C12：13〔D〕21：233．由0，l，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，從小到大排列第86個(gè)數(shù)是〔A〕〔A〕42031。，〔B〕42103〔C〕42130〔D〕430214．假設(shè)直線方程AX十By=0的系數(shù)A、B可以從o，1，2，3，6，7六個(gè)數(shù)中取不同的數(shù)值，那么這些方程所表示的直線條數(shù)是〔B〕〔A〕一2B〕〔C〕+2〔D〕－25．從a，b，c，d，e這五個(gè)元素中任取四個(gè)排成一列，b不排在第二的不同排法有〔D〕ABCD口答、板演小結(jié)與作業(yè)課堂小結(jié)解有關(guān)排列的應(yīng)用題時(shí)，先將問題歸結(jié)為排列問題，然后確定原有元素和取出元素的個(gè)數(shù)，即n、m的值.解決相鄰問題通常用捆綁的方法；不相鄰問題通常用插入的方法.解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素占位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數(shù)字的排列問題，0不能排在首位判斷是否是排列問題關(guān)鍵在于取出的元素是否與順序有關(guān)，假設(shè)與順序有關(guān)那么是排列，否那么不是.由于解排列應(yīng)用題往往難以驗(yàn)證結(jié)果的正確性，所以一般應(yīng)考慮用一種方法計(jì)算結(jié)果，用另一種方法檢查核對(duì)，區(qū)分正誤．本課作業(yè)1．求證：(1)，其中m、n為自然數(shù)，且1＜m≤n.(2)n·n!=(n+1)!－n!,其中n為自然數(shù)，且n≥1．2．用0、l、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位整數(shù)？可以組成多少個(gè)三位奇數(shù)？可以組成多少個(gè)能被3整除的三位數(shù)？答：〔1〕100〔2〕48〔3〕403．設(shè)x∈﹛－1，5，6，7﹜，y∈﹛2,3,4,－9﹜，1〕P(x，y)可以表示多少個(gè)不同的點(diǎn)？2〕在上述點(diǎn)中，位于第三或第四象限內(nèi)的有幾個(gè)？答：1〕4×4=162〕1×1+3×1=44．分別在三張卡片正反面寫上1與2，3與4，5與6，且6可以作9用，將這三張卡片拼在一起表示一個(gè)三位數(shù)，那么有多少個(gè)這樣的三位數(shù)？TIME\@"yyyy'年'M'月'd'日'"2012年3月13日月課題：10.3組合的概念2012年2月教學(xué)目的正確理解和掌握組合的概念，并能準(zhǔn)確地判斷一些問題是否為組合問題，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：組合的概念．難點(diǎn)：排列與組合的區(qū)別及運(yùn)用．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法引入1.什么叫排列？什么叫排列數(shù)？寫出排列數(shù)公式，并用階乘表示.2.指出以下問題是否是排列問題？在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？以上兩個(gè)問題有何區(qū)別？(2)．某班某小組五名同學(xué)在暑假互相都通信一次，打一次，通信的封數(shù)與打的次數(shù)是否一致?(3〕．有四個(gè)質(zhì)數(shù)2，3，5，7兩兩分別作加法、減法、乘法、除法，所得到的和、差、積、商是否相同?講解為主概念分析1、師：下面我們進(jìn)一步討論：1〕．在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？有多少種不同的飛機(jī)票，以上兩個(gè)問題有何區(qū)別？分析、前邊已經(jīng)討論過有要準(zhǔn)備6種飛機(jī)票，但票價(jià)只有三種，北京——上海與上海一北京，北京一廣州與廣州一北京，上海一廣州與廣州一上海票價(jià)是一樣的，共有3種票價(jià)．2〕．某班某小組五名同學(xué)在暑假互相都通信一次，打一次，通信的封數(shù)與打的次數(shù)是否一致?分析、．舉個(gè)例子，張玉同學(xué)給李剛同學(xué)寫信，李剛同學(xué)給張玉同學(xué)寫信，這樣兩封信才算彼此通了一次信．而兩人通一次，無論是張玉打給李剛的，還是李剛打給張玉的，兩個(gè)人都同時(shí)參與了，彼此通了一次．師：那么通了多少封信?打了多少次?五個(gè)人都要給其他四位同學(xué)寫信，5×4＝20封．打次數(shù)，共十次．3〕．有四個(gè)質(zhì)數(shù)2，3，5，7兩兩分別作加法、減法、乘法、除法，所得到的和、差、積、商是否相同?題3分析．減法與除法所得的差和商個(gè)數(shù)是同一個(gè)數(shù)，因?yàn)楸粶p數(shù)與減數(shù)、被除數(shù)與除數(shù)交換位置所得的差與商是不同的．加法與乘法所得的和與積個(gè)數(shù)是同一個(gè)數(shù)，根據(jù)加法、乘法交換律，被加數(shù)與加數(shù)，被乘數(shù)與乘數(shù)交換位置，和與積不受影響．師：有多少個(gè)差與商?有多少個(gè)和與積?2，3，5，7都可以做被減數(shù)和被除數(shù)，對(duì)于每一個(gè)被減數(shù)(或被除數(shù))都對(duì)應(yīng)著有3個(gè)數(shù)作減數(shù)(或除數(shù))，共有4×3＝12個(gè)差或商．把交換位置的情況除去，就是和或積的數(shù)字，即12十2＝6．師：以上三個(gè)問題六件事，有什么共同點(diǎn)?再按類分，類與類之間有什么區(qū)別?區(qū)別在哪里?都是從一些元素中，任取某些元素的問題．可以分兩類．一類屬于前邊學(xué)過的排列問題，即取出的元素要“按照一定的順序排成一列”，只要交換位置，就是不同的排列．前邊三個(gè)問題中的飛機(jī)票、通信封數(shù)、減法與除法運(yùn)算的結(jié)果都屬于這一類．另一類是取出的元素，不必管順序，只有取不同元素時(shí)，才是不同的情況，如飛機(jī)票價(jià)，打次數(shù)、加法與乘法運(yùn)算的結(jié)果都屬于這一類．后一類是我們以后要學(xué)的內(nèi)容。2、組合的概念從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。所以組合的定義包含兩個(gè)根本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“并成一組”，對(duì)此定義的理解還應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1〕組合定義中“并成一組”的涵義是不考慮怎樣的順序，從而可知組合是研究無次序的選取問題。對(duì)于每一個(gè)組合，只要把所選出的m個(gè)元素并成一組，不要求規(guī)定順序，因此，對(duì)于兩個(gè)組合，判斷它們是否相同，只要看這兩個(gè)組合所含元素是否完全相同，假設(shè)兩個(gè)組合所含的m個(gè)元素完全相同，就可以認(rèn)為它們是同一個(gè)組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合．2〕對(duì)組合的定義與排列的定義比擬后，可知組合定義中少了一個(gè)要求順序的條件，從而可知排列是有序的，而組合是無序的．因此區(qū)分它們時(shí)必須抓住“順序”這個(gè)關(guān)鍵，下面舉幾個(gè)容易混淆的排列與組合的簡(jiǎn)單例子作一番比擬．3．組合數(shù)公式在推導(dǎo)組合數(shù)公式的過程中，得到這樣的式子：，這就是排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系式，從中可以看出排列問題和組合問題的本質(zhì)區(qū)別就是元素有、無順序問題．利用公式計(jì)算組合數(shù)較為方便，當(dāng)對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常寫成這種形式方便溝通它們之間的聯(lián)系。組合數(shù)公式===重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】從5名男生4名女生中選出生人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。1〕如果4人中男生與女生各選2人，有多少種不同的選法？2〕如果男生中的甲與女生中的乙都必須在內(nèi)，有多少種不同的選法？3〕如果男生中的甲與女生中的乙都不在內(nèi)，有多少種不同的選法？4〕如果男生中的甲與女生中的乙只有1人在內(nèi)，有多少種不同的選法？解1〕分兩步來完成，第一步先從5名男生中任選2名，有種不同的選法；第二步從4名女生中任選2名有種不同的選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可知滿足條件的不同選法有＝60〔種〕選法．2〕由于男生甲與女生乙都必須在內(nèi)，那么從剩余的7名同學(xué)中任選2人，就可完成這件事．那么有＝21〔種〕選法．3〕由于男生甲與女生乙都不在內(nèi)，那么從剩余的7名同學(xué)選出4人就可完成這件事，那么有=35〔種〕選法．4〕分兩步來完成，第一步從男甲與女乙中任選一人有種不同的選法；第二步再?gòu)氖Ｓ嗟?名同學(xué)中任選3個(gè)人，有種不同選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可知滿足條件的不同選法有＝70〔種〕選法．答：略評(píng)注：回憶解題過程可知，兩個(gè)原理是解決組合應(yīng)用題的根底．【例２】例2從7名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選5個(gè)醫(yī)生，組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，按以下要求，分別可以有多少種組隊(duì)方法．至少有2名女醫(yī)生；2〕至多有3名女醫(yī)生·分析由于醫(yī)療小分隊(duì)中成員無順序性，所以此題是組合問題．第1〕題中“至少”的含義是2名女醫(yī)生或3名女醫(yī)生或4名女醫(yī)生；第2〕題中“至多”的含義是3名女醫(yī)生或2名女醫(yī)生或1名女醫(yī)生或沒有女醫(yī)生．解1〕根據(jù)題意，可知醫(yī)療小分隊(duì)中至少有2名女醫(yī)生這件事可以分為三類．第一類只有2名女醫(yī)生，共有種組成方法．第二類只有3名女醫(yī)生，共有種組成方法．第三類只有4名女醫(yī)生，共有種組成方法．根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得至少有2名女醫(yī)生的組成方法共有＋＋=301種方法．根據(jù)題意，可知分4類來完成這件事．第一類只有3名女醫(yī)生，共有種方法．第二類只有2名女醫(yī)生，共有種方法·第三類只有1名女醫(yī)生，共有種方法．第四類沒有女醫(yī)生，共有種方法·由分類計(jì)算原理得至多有3名女醫(yī)生的組成方法共有＋＋＋=455種．答：略評(píng)注關(guān)于“至少”和“至多”型計(jì)數(shù)問題，一般用分類方法解決．解答第1〕題常出現(xiàn)下面錯(cuò)誤：先在4名女醫(yī)生中選2名，有種；而后在剩下的2名女醫(yī)生和7名男醫(yī)生，共9人中選3人，有種．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，知共有=504種方法。請(qǐng)你找出上述解法錯(cuò)誤原因。師生共同完成課堂練習(xí)在所有的三位數(shù)中，如果它的百位數(shù)字比十位數(shù)字大，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大，這樣的三位數(shù)共有〔D〕(A)240個(gè)(B)210個(gè)(C)120個(gè)(D)108個(gè)2．以正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，四邊中點(diǎn)和正方形中心這9個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)是〔C〕(A)84(B)81(C)76(0)733．如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻串聯(lián)組成的回路，其中共有6個(gè)焊接點(diǎn)A、B、C、D、E、F，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有〔A〕(A)63種(B)64種(C)6種(D)36種4從6雙不同顏色的皮鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色皮鞋的不同取法共有〔B〕(A)480種(B)240種(C)180種(D)120種’5、男女生共有8人，從男生中選取2人，且從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生的人數(shù)是〔A〕〔A〕2或3(B)3或4(C)3(D)4板演小結(jié)與作業(yè)課堂小結(jié)由于排列和組合有關(guān)知識(shí)是比擬相近、容易混淆的，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要透徹地理解排列與組合的概念，抓住有序、無序這一核心．解決實(shí)際問題時(shí)，要注意判斷問題是有序還是無序，從而確定是排列問題還是組合問題．本課作業(yè)1、某校準(zhǔn)備參加全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，把l0個(gè)選手名額分配到高三年級(jí)的8個(gè)班，每班至少—個(gè)名額．不同的分配方案共有＿＿＿＿＿＿＿種。2．過正方形各邊三等分點(diǎn)作對(duì)邊的平行線(如圖)，得到許多矩形，這些矩形的個(gè)數(shù)是＿＿＿3．平面上有l(wèi)2個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一直線上，其余再無三點(diǎn)共線．以其中任意3點(diǎn)為頂點(diǎn)，可畫出＿＿＿＿個(gè)三角形．4．假設(shè)＝，那么＝＿＿＿＿5．如圖，從11個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)可畫出多少個(gè)不同的三角形．6．從1，3，5，7，9中取3個(gè)數(shù)字，從2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?7，集合M＝︱︱︱≤5，∈Z，，且≠，假設(shè)函數(shù)y=〔≠0〕圖象的頂點(diǎn)在第一象限，求這種函數(shù)的個(gè)數(shù)．答案1、36；2、36；3、210；4、91；5、150；6、7200；7、42。教學(xué)反思〔課堂設(shè)計(jì)理念，實(shí)際教學(xué)效果及改良設(shè)想〕1．溫故才能知新，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)習(xí)新課前進(jìn)行了復(fù)習(xí)練習(xí)．2．為了更深刻地理解組合概念，設(shè)計(jì)教案時(shí)采取了先給出排列、組合的感性認(rèn)識(shí)，再抽象出組合定義，利于學(xué)生抽象能力的培養(yǎng)，并能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，積極參加學(xué)習(xí)過程中來．3．教案設(shè)計(jì)中注意了學(xué)生主體參與，通過學(xué)生實(shí)踐，掌握概念的形成過程和應(yīng)用，從而培養(yǎng)能力，并注意訓(xùn)練學(xué)生的自學(xué)能力．TIME\@"yyyy'年'M'月'd'日'"2012年3月13日課題：10.3.2組合數(shù)公式教案教學(xué)目的正確理解和掌握組合數(shù)公式，并能準(zhǔn)確地應(yīng)用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的問題，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：組合數(shù)公式的意義．難點(diǎn)：組合數(shù)公式的準(zhǔn)確運(yùn)用．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法引入〔一〕概念回憶1、什么叫組合？從n個(gè)不同元素中，任取m()個(gè)元素〔這里的被取元素各不相同〕并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2、什么叫不同的組合？〔元素至少有一個(gè)不同〕.3、什么叫相同的組合？〔元素都相同〕.4、組合數(shù)的符號(hào)表示〔從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào)表示。〕〔二〕練習(xí)下面的問題中屬于組合的是〔在括號(hào)內(nèi)打√〕集合{0，1，2，3，4}的含兩個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)是多少？…〔〕；五個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，共要比賽多少場(chǎng)？………………〔〕；從19中取2個(gè)相加，有多少個(gè)不同的和？…………………〔〕如果相減，有多少個(gè)不同的差？……………〔〕；由沒有任何三點(diǎn)共線的五個(gè)點(diǎn)可以連成多少條線段？………〔〕如果連成有向線段，共有多少條？…………〔〕；某小組有9位同學(xué)，從中選出正副班長(zhǎng)各一人，有多少種不同的選法？…〔〕假設(shè)從中選出2名代表參加一個(gè)會(huì)議，有多少種不同的選法？………………〔〕用排列數(shù)表示以下各式：①109876=②242322…321=③n(n-1)(n-2)(n-3)=小結(jié)：判斷是否是排列問題關(guān)鍵在于取出的元素是否與順序有關(guān)，假設(shè)與順序有關(guān)那么是排列，否那么不是.講解口答概念分析===組合數(shù)公式中，當(dāng)m＝n時(shí)，有＝1這個(gè)公式指出，n個(gè)不同元素全部取出的組合數(shù)，等于自然數(shù)1重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】計(jì)算〔1〕；〔2〕【例２】求以下各題中的n的值.(1)；(2)；〔3〕小結(jié)：①注意約簡(jiǎn)，②用排列數(shù)和組合數(shù)公式將等式轉(zhuǎn)化為n的一元方程解之.例3.解不等式〔1〕＜；〔2〕＜評(píng)注解組合符號(hào)中含有未知數(shù)的方程時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：(1)由于=，所以當(dāng)“下標(biāo)”相同時(shí)、要討論“上標(biāo)”的兩種情形；(2)求出未知數(shù)的值后，必須代入原方程檢驗(yàn)．例4、證明以下恒等式〔1〕；〔2〕〔3〕小結(jié)：組合數(shù)的性質(zhì)：①②性質(zhì)①常用來簡(jiǎn)化運(yùn)算，性質(zhì)②通常用來證明組合恒等式.練習(xí)：、假設(shè)，那么x的值是.師生共同完成課堂練習(xí)1.m、n、x且，那么m,n間的關(guān)系是()A.m=nB.m+n=xC.m=n或m+n=xD.m=n或m-n=x2.=()A.B.C.D.3.那么m=.4.根據(jù)條件,求x的值.(1)假設(shè),那么x=；(2)假設(shè),那么x=；(3)假設(shè),那么x=；(4)假設(shè),那么x=；5.解以下方程或不等式〔1〕；〔2〕板演本課作業(yè)1、計(jì)算〔1〕〔2〕+++……+2、求以下方程中的自然數(shù)n〔1〕=〔1或3〕〔2〕11=24〔10〕〔3〕〔2〕3、課課練TIME\@"yyyy'年'M'月'd'日'"2012年3月13日 課題：10.3.3組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)教學(xué)目的使學(xué)生掌握組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)及其證明方法，使學(xué)生能利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，從而開展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力．教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)及證明．難點(diǎn)：組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)的運(yùn)用．教學(xué)模式講解研討法教學(xué)過程教學(xué)方法引入1.什么叫組合數(shù)？組合數(shù)公式是什么？2、在推導(dǎo)組合數(shù)公式的過程中，得到這樣的式子：，這就是排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系式，從中可以看出排列問題和組合問題的本質(zhì)區(qū)別就是元素有、無順序問題．利用公式計(jì)算組合數(shù)較為方便，當(dāng)對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常寫成這種形式方便溝通它們之間的聯(lián)系。組合數(shù)公式===講解為主概念分析1、師：下面我們進(jìn)一步討論：利用公式計(jì)算組合數(shù)公式計(jì)算并考察〔1〕與；〔2〕與；〔3〕與。它們之間有何規(guī)律？據(jù)學(xué)生答復(fù)，引導(dǎo)得出如下規(guī)律性質(zhì)1：=〔mn∈N且m≤n〕如何證明呢？〔1〕組合數(shù)公式?！?〕從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的組合數(shù)，與從n個(gè)不同元素中取出n－m(m≤n)個(gè)元素的組合數(shù)是一樣多的，即=。由上知，與的結(jié)果是一樣的，但哪一個(gè)運(yùn)算方便呢？由此得：性質(zhì)1可用于簡(jiǎn)化組合數(shù)的計(jì)算，當(dāng)m＞時(shí)，通常將計(jì)算改為計(jì)算。當(dāng)m=n時(shí)，，故規(guī)定=1。練習(xí)假設(shè)，那么x的值是；那么m=.3、由此可知，在、、、…、中，與兩端等距的兩個(gè)組合數(shù)相等。用計(jì)算方法驗(yàn)證以下各式與；與它們之間有何關(guān)系？由此你可得出什么結(jié)論？性質(zhì)2：=+如何證明？定義法。于從、、…、中取出m個(gè)元素，分為兩類，一類含有，一類不含有。性質(zhì)2可用于有關(guān)組合數(shù)的式子化簡(jiǎn)或組合數(shù)恒等式的證明，運(yùn)用此性質(zhì)證明有關(guān)等式時(shí)，應(yīng)注意它的逆向運(yùn)用和連續(xù)使用．例如：〔1〕+=〔2〕+++…++=+++…+(+)=+++…++=---=+=，其中是化簡(jiǎn)過程中關(guān)鍵一步．重在啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生歸納例題講解【例１】根據(jù)條件,求x的值.(1)假設(shè),那么x=；(2)假設(shè),那么x=；(3)假設(shè),那么