安徽省毛坦廠中學(xué)2019屆高三5月聯(lián)考試題數(shù)學(xué)(理)試卷(含解析)

高三年級(jí)五月份聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)第Ⅰ卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合A={x|x2<5},B={x|1<x<4},則A∪B=A.{x|1<x<5} B.{x|-<x<4}C.{x|1<x<} D.{x|-5<x<4}2.若復(fù)數(shù)z=,則=A.3+2i B.-3+2i C.-3-2i D.3-2i3.設(shè)雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的實(shí)軸長(zhǎng)與焦距分別為2,4,則雙曲線C的漸近線方程為A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x4.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)之和為A.-1 B.1 C.-2 D.25.函數(shù)f(x)=cos(3x+)的單調(diào)遞增區(qū)間為A.[+,+](k∈Z)B.[+,+](k∈Z)C.[-+,+](k∈Z)D.[-+,+](k∈Z)6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為A.24π-6B.8π-6C.24π+6D.8π+67.已知兩個(gè)單位向量e1,e2的夾角為60°,向量m=te1+2e2(t<0),則A.的最大值為- B.的最小值為-2C.的最小值為- D.的最大值為-28.某圖形由一個(gè)等腰直角三角形,一個(gè)矩形(矩形中的陰影部分為半圓),一個(gè)半圓組成,從該圖內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影部分的概率為A. B.C. D.2.Dz===3+2i,=3-2i.3.C因?yàn)?a=2,2c=4,所以a=1,c=2,b=,所以C的漸近線方程為y=±x.4.A函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)為log62,-log612,故零點(diǎn)之和為log62-log612=-log66=-1.5.A因?yàn)閒(x)=-sin3x,所以只要求y=sin3x的遞減區(qū)間.令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z).6.B由三視圖可知該幾何體是在一個(gè)圓錐中挖掉一個(gè)長(zhǎng)方體得到的,其中圓錐的底面圓的半徑為2,高為6,挖掉的長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為的正方形,高為3.故該幾何體的體積為π×22×6-2×3=8π-6.7.A因?yàn)閠<0,所以====-=-,當(dāng)=-,即t=-4時(shí),取得最大值,且最大值為-.8.C設(shè)矩形的長(zhǎng)為2a,則寬為a,所以該圖形的面積為a×2a+×2a×2a+π×(a)2=(4+π)a2,陰影部分的面積為×2a×2a+π×a2=(2+)a2,故該點(diǎn)取自陰影部分的概率為P==.D依題意可得k=,作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,當(dāng)直線z=x+3y經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,)時(shí),z取得最小值1+.10.A令y=g(x),則(y-1)x2+yx+y+1=0,當(dāng)y=1時(shí),x=-2;當(dāng)y≠1時(shí),Δ=y2-4(y-1)(y+1)≥0,則y2≤.所以g(x)的值域?yàn)閇-,].因?yàn)閍>0,所以f(x)的值域?yàn)閇,],從而0<≤,則0<a≤2.11.C∵cosB=,∴sinB=.又10sinA-5sinC=2,∴2sinA-sinC=sinB,由正弦定理,得2a-c=b,由余弦定理,得(2a-c)2=a2+c2-2ac×,整理得5a=6c,即=.12.D取AE的中點(diǎn)H,連接FH,∵AF=EF,∴FH⊥AE,又平面AEF⊥平面ABCDE,∴FH⊥平面ABCDE.如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則D(3,3,0),F(,,).設(shè)EM=x(0<x<2),則M(1+x,3,0).∵翻折后D與F重合,∴DM=FM,則(x-2)2=(x+)2+()2+,解得x=,從而,=(,3,0),||=.13.設(shè)tanα=x,則=6,解得x=.14.因?yàn)?a+)5的展開式中的項(xiàng)為a2()3=,所以10a2=1,則|a|=.15.-易知曲線y=x2(x≥0)是拋物線C:x2=4y的右半部分,如圖,其焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線為y=-1.過(guò)A作AH⊥準(zhǔn)線,垂足為H,則|AH|=|AF|,因?yàn)閨FB|=6|FA|,所以|AB|=5|AH|,tan∠ABH===,故直線l的斜率為-.16.(-∞,-3]∪(3,+∞)設(shè)平行于直線y=-3x+1的切線的切點(diǎn)為(m,m3-am2),∵y'=3x2-2ax,∴3m2-2am=-3,Δ=4a2-36≥0,解得a∈(-∞,-3]∪[3,+∞).若切點(diǎn)在直線y=-3x+1上,則m3-am2=-3m+1,又3m2-2am=-3,從而m3-3m+2=(m-1)2(m+2)=0,解得m=1或m=-2.當(dāng)m=1時(shí),a=3,此時(shí)方程3m2-6m+3=0有兩個(gè)相等的實(shí)根,曲線y=x3-ax2不存在平行于直線y=-3x+1的切線;當(dāng)m=-2時(shí),a=-,此時(shí)方程2m2+5m+2=0有兩個(gè)不等的實(shí)根,曲線y=x3-ax2僅存在一條平行于直線y=-3x+1的切線.綜上,a的取值范圍為(-∞,-3]∪(3,+∞).17.(1)證明:因?yàn)?=1,所以+1=2(+1), 2分又+1=2, 3分所以數(shù)列{+1}為等比數(shù)列,且首項(xiàng)為2,公比為2. 4分(2)解:由(1)知+1=2n, 6分所以+2n=2n+2n-1. 7分所以Sn=+=2n+1+n2-2. 12分18.(1)證明:因?yàn)锳A1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC. 1分因?yàn)锳B=2,AC=2BC=4,所以AB2+BC2=AC2,所以BC⊥AB. 3分因?yàn)锳B∩AA1=A,所以BC⊥平面ABB1A1. 4分又A1D?平面ABB1A1,所以BC⊥A1D. 5分(2)解:以B為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,如圖所示,則C(0,0,2),D(,0,0),A1(2,4,0). 6分設(shè)平面A1CD的法向量為n=(x,y,z),則 8分令x=4,則n=(4,-,2). 9分易知平面BCC1B1的一個(gè)法向量為m=(1,0,0), 10分則cos<m,n>==. 11分故所求銳二面角的余弦值為. 12分19.解:(1)因?yàn)樵搹S只有2名維修工人,所以要使工廠正常運(yùn)行,最多只能出現(xiàn)2臺(tái)大型機(jī)器出現(xiàn)故障, 1分故該工廠能正常運(yùn)行的概率為(1-)5+××(1-)4+()2(1-)3=. 4分(2)(ⅰ)X的可能取值為31,44, 6分P(X=31)=()5=, 7分P(X=44)=1-=, 8分則X的分布列為X3144P9分故EX=31×+44×=. 10分(ⅱ)若該廠有5名維修工人,則該廠獲利的數(shù)學(xué)期望為5×10-1.5×5=42.5萬(wàn)元, 11分因?yàn)?gt;42.5,所以該廠不應(yīng)再招聘1名維修工人. 12分20.(1)證明:依題意可得,解得, 2分則c2=4,c=2,F1(-2,0),F2(2,0), 3分從而|PF2|=3,|F1F2|=4,|PF1|=5, 4分故|PF2|,|F1F2|,|PF1|成等差數(shù)列. 5分(2)解:因?yàn)橹本€PF1的斜率為,所以可設(shè)l的方程為x=-y+m. 6分將l的方程代入+=1消去x,得y2-my+3m2-48=0, 7分設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=,y1y2=, 8分則|y1-y2|==, 9分所以四邊形AF1BF2的面積S=|F1F2|·|y1-y2|==, 10分解得m=0, 11分故l的方程為x=-y,即4x+3y=0. 12分21.解:(1)f'(x)=2e2x-3-2, 1分令f'(x)=0,得x=; 2分令f'(x)<0,得x<;令f'(x)>0,得x>. 3分故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,),單調(diào)遞增區(qū)間為(,+∞), 4分從而f(x)min=f()=-2. 5分(2)易證mn≤()2,則(x+y+1)(x-y-2)≤()2=,當(dāng)且僅當(dāng)x+y+1=x-y-2,即y=-時(shí),取等號(hào). 7分f(x)+2x=e2x-3,則e2x-3≤, 8分令t=2x-1(t>0),則et-2≤t2,即t-2≤2lnt-2ln2. 9分設(shè)g(t)=t-2-(2lnt-2ln2)(t>0),則g'(t)=,當(dāng)0<t<2時(shí),g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t>2時(shí),g'(t)>0,g(t)單調(diào)遞增. 10分故g(t)min=g(2)=0,則g(t)≥0,又t-2≤2lnt-2ln2,即g(t)≤0,從而g(t)=0,即t=2. 11分綜上,x=,y=-. 12分22.解:(1)由題意可得|a|=1, 1分故l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),消去參數(shù)t,得l的普通方程為3x-4y-7=0, 3分消去參數(shù)θ,得C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=1. 5分(2)l'的方程為y=(x+m)-,即3x-4y+3m-7=0, 6分因?yàn)閳AC只有一個(gè)點(diǎn)到l'的距離為1,圓C的半徑為1,所以C(1,-2)到l'的距離為2, 8分即=2,解