概率與統(tǒng)計(jì)中的排列與組合

概率與統(tǒng)計(jì)中的排列與組合目錄排列與組合基本概念古典概型及其計(jì)算條件概率與獨(dú)立性隨機(jī)變量及其分布數(shù)學(xué)期望與方差參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)01排列與組合基本概念從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列定義$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，其中$A_n^m$表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。排列公式排列定義及公式從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，并成一組，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。$C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}$，其中$C_n^m$表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，$n!$表示n的階乘。組合定義及公式組合公式組合定義區(qū)別排列與元素的順序有關(guān)，而組合與元素的順序無(wú)關(guān)。聯(lián)系排列數(shù)$A_n^m$和組合數(shù)$C_n^m$之間存在關(guān)系：$A_n^m=C_n^mtimesm!$。這是因?yàn)榕帕惺窃诮M合的基礎(chǔ)上，再對(duì)選出的元素進(jìn)行排序。因此，排列數(shù)等于組合數(shù)與選出元素的階乘之積。排列與組合關(guān)系02古典概型及其計(jì)算樣本空間有限古典概型中，所有可能的基本事件數(shù)量是有限的。等可能性每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的。古典概型定義123從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（0≤m≤n），按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列定義$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)$，表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行排列的所有可能情況數(shù)。排列數(shù)公式如密碼組合、彩票號(hào)碼等。排列的應(yīng)用場(chǎng)景古典概型中排列應(yīng)用組合定義01從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（0≤m≤n），不考慮順序，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。組合數(shù)公式02$C_n^m=frac{A_n^m}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}$，表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素進(jìn)行組合的所有可能情況數(shù)。組合的應(yīng)用場(chǎng)景03如抽獎(jiǎng)、撲克牌游戲等。古典概型中組合應(yīng)用03條件概率與獨(dú)立性條件概率定義及公式條件概率定義在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(AB)表示事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的概率，P(B)表示事件B發(fā)生的概率。VS如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B的發(fā)生概率沒(méi)有影響，則稱(chēng)事件A與事件B相互獨(dú)立。判斷方法如果P(AB)=P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨(dú)立。獨(dú)立性概念獨(dú)立性概念及判斷方法排列組合問(wèn)題中經(jīng)常涉及到條件概率的計(jì)算，例如“在n個(gè)球中隨機(jī)取出m個(gè)球，其中有k個(gè)紅球的概率”就可以通過(guò)條件概率來(lái)計(jì)算。在計(jì)算排列組合問(wèn)題的概率時(shí)，需要注意各個(gè)事件之間的獨(dú)立性或相關(guān)性，以及是否滿(mǎn)足條件概率的定義和公式。條件概率還可以用于解決一些復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，例如“在n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列中，滿(mǎn)足某種特定條件的排列有多少個(gè)”等問(wèn)題。通過(guò)引入條件概率，可以將這類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更容易求解的形式。條件概率在排列組合中應(yīng)用04隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。定義隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則是充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間。分類(lèi)隨機(jī)變量定義和分類(lèi)離散型隨機(jī)變量的分布律可用分布列來(lái)描述，即列出隨機(jī)變量所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率。分布列二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量分布律概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可用概率密度函數(shù)來(lái)描述，它是一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，其函數(shù)值表示隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率大小。常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)05數(shù)學(xué)期望與方差性質(zhì)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于該常數(shù)本身。隨機(jī)變量的期望等于其概率加權(quán)和。隨機(jī)變量和的期望等于各隨機(jī)變量期望的和。定義：數(shù)學(xué)期望是試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和，反映隨機(jī)變量平均取值的大小。數(shù)學(xué)期望定義和性質(zhì)獨(dú)立隨機(jī)變量和的方差等于各隨機(jī)變量方差的和。隨機(jī)變量線(xiàn)性變換的方差等于原方差乘以變換系數(shù)的平方。常數(shù)的方差為0。定義：方差是衡量隨機(jī)變量或一組數(shù)據(jù)時(shí)離散程度的度量，即各數(shù)值與其平均數(shù)差值的平方和的平均數(shù)。性質(zhì)方差定義和性質(zhì)二項(xiàng)分布泊松分布正態(tài)分布指數(shù)分布常見(jiàn)分布數(shù)學(xué)期望和方差01020304數(shù)學(xué)期望為np，方差為np(1-p)，其中n為試驗(yàn)次數(shù)，p為成功概率。數(shù)學(xué)期望和方差均為λ，其中λ為泊松分布的參數(shù)。數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2，其中μ為正態(tài)分布的均值，σ為正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差。數(shù)學(xué)期望為1/λ，方差為1/λ2，其中λ為指數(shù)分布的參數(shù)。06參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)點(diǎn)估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，如樣本均值、樣本方差等。要點(diǎn)一要點(diǎn)二區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)的置信區(qū)間，并給出置信水平。參數(shù)估計(jì)方法原理：先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息來(lái)判斷這個(gè)假設(shè)是否合理。假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟包括原假設(shè)和備擇假設(shè)。提出假設(shè)根據(jù)假設(shè)選擇合適的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定拒絕域根據(jù)顯著性水平和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布，確定拒絕原假設(shè)的區(qū)域。作出決策根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值是否落在拒絕域內(nèi)，作出接受或拒絕原假設(shè)的決策。假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟排列組合在參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用在計(jì)算樣本量、構(gòu)造置信區(qū)間等方面，需要利用排列