北師大版數(shù)學(xué)必修二課件：第一章-立體幾何初步-(15份打包)5

第2課時(shí)等角定理與異面直線所成的角第2課時(shí)等角定理與異面直線所成的角北師大版數(shù)學(xué)必修二課件：第一章--立體幾何初步-(15份打包)51.等角定理空間中,如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).名師點(diǎn)撥等角定理的符號語言與圖形語言及作用.(1)圖形語言:如圖①②所示.(2)符號語言:已知OA∥O'A',OB∥O'B',則∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°.(3)作用:判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ).1.等角定理名師點(diǎn)撥等角定理的符號語言與圖形語言及作用.【做一做1】

空間兩個(gè)角α,β的兩邊分別對應(yīng)平行,且方向相同,若α=50°,則β等于(

)A.50° B.130°C.40° D.50°或130°解析:由等角定理知β與α相等.答案:A【做一做1】空間兩個(gè)角α,β的兩邊分別對應(yīng)平行,且方向相同2.異面直線所成的角

如圖所示,過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a,b的平行線l1,l2(a∥l1,b∥l2),這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a,b所成的角.如果兩條異面直線所成的角是直角,我們稱這兩條直線互相垂直.記作:a⊥b.2.異面直線所成的角如圖所示,過空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異做一做2

如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G分別為BC,AD,DB的中點(diǎn),若AB與CD所成的角為60°,則∠FGE=

.

解析:因?yàn)镋,F,G分別為BC,AD,DB的中點(diǎn),所以FG∥AB,EG∥DC,所以∠FGE=60°或120°.答案:60°或120°做一做2如圖所示,在四面體ABCD中,E,F,G分別為BC3.空間四邊形四個(gè)頂點(diǎn)不在同一平面內(nèi)的四邊形叫作空間四邊形.3.空間四邊形思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯(cuò)誤的打“×”.(1)若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,且方向相同,則這兩個(gè)角相等.(

)(2)若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,且有一組對邊方向相同,另一組對邊方向相反,則這兩個(gè)角互補(bǔ).(

)(3)若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,則這兩個(gè)角相等.(

)(4)若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,且方向相反,則這兩個(gè)角互補(bǔ).(

)(5)兩條異面直線所成角的范圍為[0°,90°).(

)答案:(1)√

(2)√

(3)×

(4)×

(5)×思考辨析探究一探究二一題多解探究一等角定理的應(yīng)用

【例1】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).求證:(1)四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.分析:本題是在正方體中研究問題,(1)欲證四邊形BB1M1M是平行四邊形,可證其一組對邊平行且相等;(2)可結(jié)合(1)利用定理證明或利用三角形全等證明.探究一探究二一題多解探究一等角定理的應(yīng)用

(1)四邊形BB1探究一探究二一題多解證明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M(jìn),M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn),∴MM1=AA1,MM1∥AA1.又AA1=BB1,AA1∥BB1,∴MM1=BB1,且MM1∥BB1.∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)方法一:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角,∴∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二一題多解證明:(1)在正方形ADD1A1中,∵M(jìn)探究一探究二一題多解方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形.∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1.∴∠BMC=∠B1M1C1.反思感悟1.要明確等角定理的兩個(gè)條件,即兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行,并且方向相同,這兩個(gè)條件缺一不可.2.空間中證明兩個(gè)角相等,可以利用等角定理,也可以利用三角形的相似或全等,還可以利用平行四邊形的對角相等.在利用等角定理時(shí),關(guān)鍵是弄清楚兩個(gè)角對應(yīng)邊的關(guān)系.探究一探究二一題多解方法二:由(1)知四邊形BB1M1M為平探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練1在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為邊A1C1,AC和AB的中點(diǎn).求證:∠PNA1=∠BCM.證明:因?yàn)镻,N分別為AB,AC的中點(diǎn),所以PN∥BC.①又M,N分別為A1C1,AC的中點(diǎn),所以A1M

NC.所以四邊形A1NCM為平行四邊形,故A1N∥MC.②由①②及∠PNA1與∠BCM對應(yīng)邊方向相同,得∠PNA1=∠BCM.探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練1在三棱柱ABC-A1B1C1中探究一探究二一題多解

探究二求兩條異面直線所成的角【例2】

如圖所示,已知正方體ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直線與直線BC'是異面直線?(2)求異面直線AD'與B'C,BC'與CD'所成角的大小以及A'C與AB所成角的正切值.分析:(1)按照異面直線的定義進(jìn)行判斷;(2)根據(jù)異面直線所成角的定義進(jìn)行求解.探究一探究二一題多解探究二求兩條異面直線所成的角【例探究一探究二一題多解解:(1)所在直線與BC'是異面直線的棱有:AA',DD',A'B',DC,AD,A'D'.(2)因?yàn)锳D'∥BC',所以AD'與B'C所成的角就是BC'與B'C所成的角.因?yàn)锽C'⊥B'C,所以AD'與B'C所成的角等于90°.因?yàn)锳'B∥CD',所以BC'與CD'所成的角就是BC'與A'B所成的角.因?yàn)椤鰽'C'B是等邊三角形,所以∠A'BC'=60°,故BC'與CD'所成角的大小為60°.因?yàn)锳B∥CD,所以∠A'CD就是異面直線A'C與AB所成的角.在△A'CD中,若設(shè)正方體的棱長為a,探究一探究二一題多解解:(1)所在直線與BC'是異面直線的棱探究一探究二一題多解反思感悟求異面直線所成的角1.求兩條異面直線所成的角,一般是根據(jù)其定義求解,步驟如下:(1)平移;(2)構(gòu)造三角形;(3)解三角形;(4)作答.2.在所給幾何體中平移直線構(gòu)造異面直線所成的角時(shí),一般是選取其中一條直線上的特殊點(diǎn),如頂點(diǎn)、棱的中點(diǎn)等.探究一探究二一題多解反思感悟求異面直線所成的角探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練2導(dǎo)學(xué)號91134011如圖所示,已知三棱錐A-BCD,AD=BC,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn),且EF=AD,求異面直線AD和BC所成角的大小.探究一探究二一題多解變式訓(xùn)練2導(dǎo)學(xué)號91134011如圖所示探究一探究二一題多解解:取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG.因?yàn)镋,F分別是AB,CD的中點(diǎn),由異面直線所成角的定義可知∠EGF或其補(bǔ)角即為異面直線AD,BC所成的角.所以異面直線AD和BC所成的角為90°.探究一探究二一題多解解:取AC的中點(diǎn)G,連接EG,FG.由異探究一探究二一題多解【典例】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn),求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析:要求異面直線所成角的大小,關(guān)鍵是作出異面直線所成的角,把它歸結(jié)到三角形中,通過解三角形就可以得出答案.同時(shí)在解題時(shí)要注意異面直線所成角的范圍.探究一探究二一題多解【典例】如圖所示,在正方體ABCD-A探究一探究二一題多解解法1(直接平移法)如圖所示.連接A1C1,B1D1交于點(diǎn)O,取DD1的中點(diǎn)G,連接GA1,GC1,OG,則OG∥B1D,EF∥A1C1,故∠GOA1或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與EF所成的角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點(diǎn),∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法1(直接平移法)如圖所示.探究一探究二一題多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=9探究一探究二一題多解解法3如圖所示,分別取AA1,CC1的中點(diǎn)M,N,連接MN,則MN∥EF,所以直線MN與DB1所成的角就是異面直線DB1與EF所成的角.連接MB1,DN,DM,B1N,則B1N∥DM,且B1N=DM,∴四邊形DMB1N為平行四邊形,∴MN與B1D必相交,設(shè)交點(diǎn)為P.∴DM2=DP2+MP2,∴∠DPM=90°,即DB1⊥EF,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法3如圖所示,分別取AA1,CC1的中探究一探究二一題多解解法4(補(bǔ)形法)如圖所示,在原正方體的右側(cè)補(bǔ)上一個(gè)同樣的正方體,連接B1Q,DQ,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與EF所成的角,通過計(jì)算,不難得到B1D2+B1Q2=DQ2,故異面直線DB1與EF所成的角為90°.探究一探究二一題多解解法4(補(bǔ)形法)如圖所示,在原正方體的右探究一探究二一題多解名師點(diǎn)評求兩條異面直線所成角大小的步驟:(1)構(gòu)造:選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn),平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線,這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn),如線段的端點(diǎn)或中點(diǎn),也可以是異面直線中某一直線上的一個(gè)特殊點(diǎn).(2)證明:證明作出的角就是要求的角.(3)計(jì)算:求角度,常利用三角形.(4)結(jié)論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.探究一探究二一題多解名師點(diǎn)評求兩條異面直線所成角大小的步驟:123451.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA與O'A'的方向相同,則OB與O'B'(

)A.一定平行且方向相同 B.一定平行且方向相反C.一定不平行 D.不一定平行解析:由于兩角不一定在同一個(gè)平面內(nèi)或兩角所在的平面不一定平行,因此OB與O'B'不一定平行.答案:D123451.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且123452.若一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線,則它與另一條(

)A.相交 B.異面C.相交或異面 D.平行解析:在如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AA1與直線B1C1是異面直線,與B1C1平行的直線有A1D1,AD,BC,顯然直線AA1與A1D1相交,與BC異面.答案:C123452.若一條直線與兩條平行線中的一條為異面直線,則它123453.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為A1B1,B1C1,BB1的中點(diǎn),下列說法錯(cuò)誤的是(

)A.∠BA1C1=∠MEFB.∠A1BC1=∠EMFC.∠B1EM=∠EA1BD.∠EFM=∠A1C1F解析:由等角定理,可知A,B,C均正確.答案:D123453.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,123454.空間中,角A的兩邊和角B的兩邊分別平行,若∠A=70°,則∠B=

.

解析:因?yàn)榻茿的兩邊和角B的兩邊分別平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.因?yàn)椤螦=70°,所以∠B=70°或∠B=110°.答案:70°或110°123454.空間中,角A的兩邊和角B的兩邊分別平行,若∠A123455.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,兩條對邊AB=CD=3,E,F分別是和CD所成的角的大小.123455.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,兩條對邊AB12345∴∠EMF(或其補(bǔ)角)為異面直線AB和CD所成的角.∵AB=3,CD=3,∴EM=2,MF=1.又EF=,∴MF2+EF2=EM2,∴∠MFE=90°,∴∠EMF=60°,∴異面直線AB和CD所成的角為60°.12345∴∠EMF(或其補(bǔ)角)為異面直線AB和CD所成的角當(dāng)你的才華還撐不起你的野心時(shí)，你就該努力。心有猛虎，細(xì)嗅薔薇。我TM竟然以為我竭盡全力了。能力是練出來的，潛能是逼出來的，習(xí)慣是養(yǎng)成的，我的成功是一步步走出來的。不要因?yàn)橄Ｍ?jiān)持，要堅(jiān)持的看到希望。最怕自己平庸碌碌還安慰自己平凡可貴。腳踏實(shí)地過好每一天，最簡單的恰恰是最難的。拿夢想去拼，我怎么能輸。只要學(xué)不死，就往死里學(xué)。我會(huì)努力站在萬人中央成為別人的光。行為決定性格，性格決定命運(yùn)。不曾揚(yáng)帆，何以至遠(yuǎn)方。人生充滿苦痛，我們有幸來過。如果驕傲沒有被現(xiàn)實(shí)的大海冷冷拍下，又怎么會(huì)明白要多努力才能走到遠(yuǎn)方。所有的豪言都收起來，所有的吶喊都咽下去。十年后所有難過都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。駕馭命運(yùn)的舵是奮斗，不抱有一絲幻想，不放棄一點(diǎn)機(jī)會(huì)，不停止一日努力。失敗時(shí)郁郁寡歡，這是懦夫的表現(xiàn)。所有偷過的懶都會(huì)變成打臉的巴掌。越努力，越幸運(yùn)。每一個(gè)不起舞的早晨，都是對生命的辜負(fù)。死魚隨波逐流，活魚逆流而上。墻高萬丈，擋的只是不來的人，要來，千軍萬馬也是擋不住的既然選擇遠(yuǎn)方，就注定風(fēng)雨兼程。漫漫長路，荊棘叢生，待我用雙手踏平。不要忘記最初那顆不倒的心。胸有凌云志，無高不可攀。人的才華就如海綿的水，沒有外力的擠壓，它是絕對流不出來的。流出來后，海綿才能吸收新的源泉。感恩生命，感謝她給予我們一個(gè)聰明的大腦。思考疑難的問題，生命的意義；贊頌真善美，批判假惡丑。記住精彩的瞬間，激動(dòng)的時(shí)刻，溫馨的情景，甜蜜的鏡頭。感恩生命賦予我們特有的靈性。善待自己，幸福無比，善待別人，快樂無比，善待生命，健康無比。一切偉大的行動(dòng)和思想，都有一個(gè)微不足道的開始。在你發(fā)怒的時(shí)候，要緊閉你的嘴，免得增加你的怒氣。獲致幸福的不二法門是珍視你所擁有的、遺忘你所沒有的。驕傲是勝利下的蛋，孵出來的卻是失敗。沒有一個(gè)朋友比得上健康，沒有一個(gè)敵人比得上病魔，與其為病痛暗自流淚，不如運(yùn)動(dòng)健身為生命添彩。有什么別有病，沒什么別沒錢，缺什么也別缺健康，健康不是一切，但是沒有健康就沒有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快樂不能不要；什么都可以忘掉，健身不能忘掉。選對事業(yè)可以成就一生，選對朋友可以智能一生，選對環(huán)境可以快樂一生，選對伴侶可以幸福一生，選對生活方式可以健康一生。含淚播種的人一定能含笑收獲一個(gè)有信念者所開發(fā)出的力量，大于個(gè)只有興趣者。忍耐力較諸腦力，尤勝一籌。影響我們?nèi)松慕^不僅僅是環(huán)境，其實(shí)是心態(tài)在控制個(gè)人的行動(dòng)和思想。同時(shí)，心態(tài)也決定了一個(gè)人的視野、事業(yè)和成就，甚至一生。每一發(fā)奮努力的背后，必有加倍的賞賜。懶惰像生銹一樣，比操勞更消耗身體。所有的勝利，與征服自己的勝利比起來，都是微不足道。所有的失敗，與失去自己的失敗比起來，更是微不足道挫折其實(shí)就是邁向成功所應(yīng)繳的學(xué)費(fèi)。在這個(gè)塵世上，雖然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人與人之間多些信任，多些關(guān)愛，那么，就會(huì)增加許多陽光。一個(gè)能從別人的觀念來看事情，能了解別人心靈活動(dòng)的人，永遠(yuǎn)不必為自己的前途擔(dān)心。當(dāng)一個(gè)人先從自己的內(nèi)心開始奮斗，他就是個(gè)有價(jià)值的人。沒有人富有得可以不要?jiǎng)e人的幫助，也沒有人窮得不能在某方面給他人幫助。時(shí)間告訴你什么叫衰老，回憶告訴你什么叫幼稚。不要總在過去的回憶里纏綿，昨天的太陽，曬不干今天的衣裳。今天做別人不愿做的事，明天就能做別人做不到的事。到了一定年齡，便要學(xué)會(huì)寡言，每一句話都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底線。趁著年輕，不怕多吃一些苦。這些逆境與磨練，才會(huì)讓你真正學(xué)會(huì)謙恭。不然，你那自以為是的聰明和藐視一切的優(yōu)越感，遲早會(huì)毀了你。無論現(xiàn)在的你處于什么狀態(tài)，是時(shí)候?qū)ψ约赫f：不為模糊不清的未來擔(dān)憂，只為清清楚楚的現(xiàn)在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延時(shí)間最不費(fèi)力。崇高的理想就像生長在高山上的鮮花。如果要搞下它，勤奮才能是攀登的繩索。行動(dòng)是治愈恐懼的良藥，而猶豫、拖延將不斷滋養(yǎng)恐懼。海浪的品格，就是無數(shù)次被礁石擊碎又無數(shù)閃地?fù)湎蚪甘?。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。?jīng)過大海的一番磨礪，卵石才變得更加美麗光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是沒味的。你可以勝利，也可以失敗，但你不能屈服。越是看起來極簡單的人，越是內(nèi)心極豐盛的人。盆景秀木正因?yàn)楸蝗四鐞?，才破滅了成為棟梁之材的夢。樹苗如果因?yàn)榕峦炊芙^修剪，那就永遠(yuǎn)不會(huì)成材。生活的激流已經(jīng)涌現(xiàn)到萬丈峭壁，只要再