高考數(shù)學(xué)考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第十二章第1課導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

第1課導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

1.了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；

2.掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念；

3.熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；

4.掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則；

5.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(理科)

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.設(shè)函數(shù)f(x)在x=x處可導(dǎo),則lim八',")二"Z)與x,h的關(guān)系是僅與X.有關(guān)而與h

02。h°---°------

無(wú)關(guān)。

17

2.一點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò)t秒后的距離為5=0+7/2-g，那么速度

43

為零的時(shí)刻是1,2,4秒末。

3.已知/(X)=X3+X2尸(1),則片(2)=0。

sinx2兀

4.已知y=；---一,xe(一兀，兀)，則當(dāng)y=2時(shí)，*=±二-。

1+cosx3;

5.(1)已知/(%)=05。，則尸⑴=aln。+。2。

(2)(理科)設(shè)函數(shù)/。)=皿2—3x)5,貝(1)=-15o

6.已知兩曲線y="+ax和y=冷+bx+c都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,2),且在點(diǎn)P處有公切線，試求

a,b,c值。

解：因?yàn)辄c(diǎn)P(1,2)在曲線y=X3上，1

函數(shù)y=X3+ax和y=X2+/ZX+C的導(dǎo)數(shù)分別為y'=3x2+a和y=2x+8,且在點(diǎn)p處有

公切數(shù)

.,.3x12+4=2x1+6,得b=2

又由2=12+2x1+c,得c=-l

【X例導(dǎo)析】

例1.電流強(qiáng)度是單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體的電量的大小。從時(shí)刻，=0開(kāi)始的f秒內(nèi)，通過(guò)導(dǎo)體

的電量(單位：庫(kù)侖)可由公式4=20+3/表示。

(1)求第5秒內(nèi)時(shí)的電流強(qiáng)度；

(2)什么時(shí)刻電流強(qiáng)度達(dá)到63安培(即庫(kù)侖/秒)？

分析：為了求得各時(shí)刻的電流強(qiáng)度，類(lèi)似求瞬時(shí)速度一樣，先求平均電流強(qiáng)度，然后再用平

均電流強(qiáng)度逼近瞬時(shí)電流強(qiáng)度。

-1-/5

解：(1)從時(shí)刻看到時(shí)刻/+/通過(guò)導(dǎo)體的這一橫截面的電量為：

00

△q—2(力+△力”+3(力+△/)—(2%2+3%)=(3+4/)△%+2(4)2

00000

則這段時(shí)間內(nèi)平均電流強(qiáng)度為弟=3+4+2/，當(dāng)/-0,吧―3+小

△foAf0

當(dāng)/=5時(shí)，貝！j3+4t=23(安培)。

00

(2)令3+4/=63,得t=15(秒)。

oo

答：(1)第5秒時(shí)電流強(qiáng)度為23安培；(2)第15秒時(shí)電流強(qiáng)度為63安培。

點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)的實(shí)際背景豐富多彩，本題從另一個(gè)側(cè)面深化對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

例2.下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

①y=(X+1)(2X2+3x-l)?y=2X3-3'+G1③/(x)=e，?(cosx+sinx)

Xy/x

分析：利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求導(dǎo)數(shù)。

解：①法——：y=2x3+3x2-X+2X2+3x-1=2x3+5x2+2x-l

y'=6x2+10x+2

法二：yr=(x+l)r(2%2+3x-1)+(x+1)(2x2+3X-1)'=2m+3x-l+(x+l)(4x+3)

=6x2+10x+2

3_-L/

②y=2X2-3X~2+XT-x~2

13_33_5

...yf=3x2+—1一2-X-2+-X~2

22

③((x)=e-x(cosx+sinx)+e-x(—sinx+cosx)=2e-xcosx,

點(diǎn)評(píng)：利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，是高考

對(duì)導(dǎo)數(shù)考查的基本要求。

例3.如果曲線丫=尤3+犬-10的某一切線與直線y=4x+3平行，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.

分析：本題重在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=/(%)在給定點(diǎn)P(x,/(%))處的切線的斜率

00

k=/'(%),用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡(jiǎn)單了。

0

解：.??切線與直線y=4x+3平行，斜率為4

又切線在點(diǎn)X的斜率為y'l=(X3+X-10)[=3x2+1

lx=x\x=x

0?1onno0

V3x2+1=4Ax=±l

0o

.a=I_p,[x=-1

??〈0或，0

y=S[y=-12

l010

???切點(diǎn)為(1,-8)或(-1,-12)

切線方程為y+8=4(x-l)或y+12=4(x+l)即y=4工-12或y=4x—8

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義揭示了導(dǎo)數(shù)知識(shí)與平面解析幾何知識(shí)的密切聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)能解

-2-/5

決許多曲線的切線問(wèn)題，其中尋找切點(diǎn)是很關(guān)鍵的地方。

變題：求曲線y=2x-X3的過(guò)點(diǎn)A(U)的切線方程。

答案：x+y-2=0,5x-4y-1=0

點(diǎn)評(píng)：本題中“過(guò)點(diǎn)4U)的切線”與“在點(diǎn)4U)的切線”的含義是不同的，后者是以A為

切點(diǎn)，只有一條切線，而前者不一定以A為切點(diǎn)，切線也不一定只有一條，所以要先設(shè)切點(diǎn),

然后求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再解決問(wèn)題。

備用題：證明：過(guò)拋物線y=a(x—x)?(x—x)(aWO,x<x)上兩點(diǎn)A(x,0)、B(x,0)

121212

的切線，與X軸所成的銳角相等.

證明：y'=2ax—a(x+x),

12

y'I=a(x—x),即k=a(x—x),

『12Ai2

y'I=a(x—x),即k=a(x—x).

x=x221B21

設(shè)兩條切線與X軸所成的銳角為a、B,

則tana=|k|=|a(x—x)tanP=|k|=|a(x—x)|,故tana二tanB.

A12B21

又a、B是銳角，所以a=8。

【反饋演練】

1.一物體做直線運(yùn)動(dòng)的方程為s=l-t+/2,s的單位是相，/的單位是s,該物體在3秒末的

瞬時(shí)速度是5m/s。

2.設(shè)生產(chǎn)x個(gè)單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C(x)=8+J,則生產(chǎn)8個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)，邊際成本是

O

2o

3.已知函數(shù)f(x)在x=l處的導(dǎo)數(shù)為3,則f(x)的解析式可能為(1)o

(1)f(x)=(X—1)2+3(X—1)(2)f(x)=2(x—1)

(3)f(x)=2(x—1)2(4)f(x)=x—1

4.若曲線y=3的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，則/的方程為4x—y—3=0。

c兀

5.在函數(shù)y=%3-8%的圖象上，其切線的傾斜角小于)的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

4

3o

6設(shè)/(%)是可導(dǎo)函數(shù)，且lim"仁2個(gè))一/(")=2,則/(%)=一屋

AX->OAx°一

7.函數(shù)/(x)=。=一1)，一2)一-0-100)在〉=0處的導(dǎo)數(shù)值為100!o

8.過(guò)點(diǎn)(0,—4)與曲線y=X3+x—2相切的直線方程是y=4x—4.

9.設(shè)f(x)在x=l處連續(xù)，且f(1)=0,lim在?=2,則/'(1)=_2___。

3x-1一

-3-/5

解：Vf(1)=0,lim以=2,

]X-1

“⑴=11mAi+斕一/⑴=lim"X—⑴二lim①2

x->lX-1

Ax—->>00Axx—>1]%x—-1x—>1X-1

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(l)y=(2x2-1)(3x+l)(2)y=sinx(3)y=ln(x+y/l+x2)

e4+1x+cosxcos2x

(4)y=------(5)y=----；一(6)y=------------

ex-1x+smxsinx-cos%

解：(1)yr=18x2+4x-3,(2)yf=2xsinx+x2cosx；

—lex

—3-1)2；

1+X2

/、,-xcosx-xsinx+sinx-cosx-1,、，.

(5)y=------------------：-----------------,⑹y=smx-cosx.

(x+sinx)2

11.已知曲線C：y=3x4-2x3-9x2+4

(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線的方程；

(2)第(1)小題中切線與曲線C是否還有其它公共點(diǎn)。

解：(1)切線方程為y+4=—12(r—1),即y=—12+8

(2)除切點(diǎn)外，還有兩個(gè)交點(diǎn)(-2,32),

12已知直線(為曲線了=無(wú)2+無(wú)一2在點(diǎn)(0,-2)處的切線，/,為該曲線的另一條切線，且

(T)求直線/的方程；

2

(II)求由直線1,I和X軸所圍成的三角形的面積

12

解：設(shè)直線/的斜率為左，直線/的斜率為左,

1122

y'=2x+l,由題意得上=y'l=1,得直線/的方程