統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例（學(xué)案）概率與統(tǒng)計(jì)-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

專題八概率與統(tǒng)計(jì)

第三講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

(-)高考考點(diǎn)解讀

高考考點(diǎn)考點(diǎn)解讀

抽樣方法，樣本頻率1.分層抽樣中利用抽樣比確定樣本容量、各層抽

分布、數(shù)字特征樣的個(gè)體數(shù)等

2.考查系統(tǒng)抽樣的有關(guān)計(jì)算

3.頻率分布直方圖的繪制及識圖，并利用圖解決

實(shí)際問題

4.平均數(shù)和方差的計(jì)算

線性回歸分析與獨(dú)立1.線性回歸方程的求解及應(yīng)用

性檢驗(yàn)在實(shí)際問題中2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用以及獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)、概

的應(yīng)用率的綜合問題

(二)核心知識整合

考點(diǎn)1:抽樣方法，樣本頻率分布、數(shù)字特征

1.抽樣方法

三種抽樣方法包括：簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣

2.統(tǒng)計(jì)圖表

在頻率分布直方圖中：

①各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，各小矩形的高=篇；

②各小矩形面積之和等于1;

③中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖面積相等，因此可以估計(jì)其近似值.

3.樣本的數(shù)字特征

⑴眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù).

中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

為偶數(shù)，就取中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù)；

—11?

(2)樣本平均數(shù)%=—(%+%2+…+%)=—￡%；

〃〃i=l

(3)樣本方差/=—[(%—xf+l%—x)2+…+(x〃-x)2]=-x)2;

nnT~T

2222

(4)樣本標(biāo)準(zhǔn)差5=^—[(Xj—x)+(x2—x)+...+(xn—x)]=J—(X(—x).

(5)現(xiàn)實(shí)中總體所包含的個(gè)體數(shù)往往較多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差是不知

道(或不可求)的，所以我們通常用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差來估計(jì)總體的平

均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差.

(6)平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均

數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定.

『解題技巧』

1.系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的求解方法

(1)系統(tǒng)抽樣的最基本特征是“等距性”，每組內(nèi)所抽取的號碼需要依據(jù)第一組抽

取的號碼和組距唯一確定.每組抽取樣本的號碼依次構(gòu)成一個(gè)以第一組抽取的號

碼機(jī)為首項(xiàng)，組距d為公差的等差數(shù)列｛詞，第左組抽取樣本的號碼以=機(jī)十(左一1)北

⑵分層抽樣的關(guān)鍵是根據(jù)樣本特征差異進(jìn)行分層，實(shí)質(zhì)是等比例抽樣，求解此

類問題需先求出抽樣比—樣本容量與總體容量的比，則各層所抽取的樣本容量

等于該層個(gè)體總數(shù)與抽樣比的乘積.在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)

抽樣進(jìn)行.

2.用樣本估計(jì)總體的兩種方法

(1)用樣本的頻率分布(頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等)估計(jì)總體的頻率

分布.

(2)用樣本的數(shù)字特征(眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)估計(jì)總體的數(shù)字特

征.

3.方差的計(jì)算與含義

計(jì)算方差首先要計(jì)算平均數(shù)，然后再按照方差的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，方差和標(biāo)準(zhǔn)

差是描述一個(gè)樣本和總體的波動(dòng)大小的特征數(shù)，方差、標(biāo)準(zhǔn)差大說明波動(dòng)大.

4.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系

⑴眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

⑶平均數(shù)等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐

標(biāo)之和.

［典型例題］

1.某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參

賽者的得分都在［40,90］之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的

A.得分在［40,60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在［60,80）的概率為0.5

C.估計(jì)得分的眾數(shù)為55

D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

［答案］:D

［解析］根據(jù)頻率和為1,計(jì)算（“+0.035+0.03。+0.020+0.010）x10=1,解得〃=0.005,

得分在［40,60）的頻率是0.40,估計(jì)得分在［40,60）的有100x0.40=40（人），A正確；

得分在［60,80）的頻率為0.5,可得這100名參賽者中隨機(jī)選取一人，得分在［60,80）

的概率為0.5,B正確；

根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對應(yīng)的底邊中點(diǎn)為22=55,即估計(jì)得

2

分眾數(shù)為55,C正確；

中位數(shù)的估計(jì)值為0.4+（x-60）x0.03=0.5,解得釬63.3,故D錯(cuò)，故選D.

［變式訓(xùn)練］

2.已知在一次射擊預(yù)選賽中，甲、乙兩人各射擊10次,兩人成績的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖

所示，則下列四個(gè)選項(xiàng)中判斷不正確的是（）

甲乙

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)小于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

［答案］:D

［解析］甲的成績的平均數(shù)為序=：x(5+6x2+7x2+8x2+9x2+10)=7.5,乙的成

績的平均數(shù)為2=，x(6+7x3+8x2+9x3+10)=8,甲的成績的平均數(shù)小于乙

的成績的平均數(shù)，故A判斷正確;甲的成績的中位數(shù)為叱=7.5,乙的成績的中

2

位數(shù)為==8,甲的成績的中位數(shù)小于乙的成績的中位數(shù)，故B判斷正確;

2

由條形統(tǒng)計(jì)圖得甲的成績相對分散，乙的成績相對穩(wěn)定，甲的成績的方差大

于乙的成績的方差，故C判斷正確；甲的成績的極差為10-5=5,乙的成績的極

差為10-6=4,二.甲的成績的極差大于乙的成績的極差，故D判斷不正確.

故選D.

考點(diǎn)2：線性回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

1.變量間的相關(guān)關(guān)系

(1)利用散點(diǎn)圖可以初步判斷兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從

整體上看大致分布在一條直線的附近，我們說變量x和y具有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)用最小二乘法求回歸直線的方程

i=iz=l

八一可(y—7)Yx^-nxy

b=--------------------=--------------

設(shè)線性回歸方程為9=,則＜-X)2加2.

a=y-bx

注意：回歸直線一定經(jīng)過樣本的中心點(diǎn)(反①，據(jù)此性質(zhì)可以解決有關(guān)的計(jì)算問

題.

2.回歸分析

1=1

2(--元)(％-歹)

rf叫做相關(guān)系數(shù).

JZ(x,-x)2Z(y,-y)2

Vnn

相關(guān)系數(shù)用來衡量變量X與y之間的線性相關(guān)程度；|r|<L且|廠|越接近于1,相

關(guān)程度越高，|廠|越接近于0,相關(guān)程度越低.

3.獨(dú)立性檢驗(yàn)

假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和匕它們的取值分別為｛XI,X2｝和｛N，券｝,其樣本頻數(shù)

列聯(lián)表(稱為2X2列聯(lián)表)為

V總計(jì)

XIaba+b

X2Cdc~\~d

總計(jì)a+cb+dc~\~d

(a+b+c+d)(ad-be)2

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

若K2>3.841,則有95%的把握說兩個(gè)事件有關(guān)；

若K2>6.635,則有99%的把握說兩個(gè)事件有關(guān)；

若K2<2.706,則沒有充分理由認(rèn)為兩個(gè)事件有關(guān).

『解題技巧」

1.正確理解計(jì)算，的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵.其中線性

回歸方程必過樣本中心點(diǎn)(京亍).

2.在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來確定兩個(gè)變量

之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計(jì)和預(yù)

測變量的值.

3.進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟

⑴假設(shè)兩個(gè)分類變量x與y無關(guān)；

(2)找相關(guān)數(shù)據(jù)，列出2X2列聯(lián)表；

2

(3)由公式K=--------咆/蛆)2-----------------

（其中〃=a+ZrHc+d）計(jì)算出片的直

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（4）將Q的值與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而做出統(tǒng)計(jì)推斷.

提醒：片的觀測值越大，對應(yīng)假設(shè)事件成立的概率越小，假設(shè)事件不成立的概

率越大.

［典型例題］

1.為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，得到

5組數(shù)據(jù)（%,yJ,（%,%）,?,%），?,%），?，”）.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知

玉+/+工3+%+%=150,由最小二乘法求得回歸直線方程為a=0.67x+54.9，則

M+%+%+”+%的值為（）

A.75B.155.4C.375D.466.2

［答案］:C

［解析］由題意可得：；/+&+；+-+$=30,

線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，則：j=0.67xx+54.9=75,

據(jù)此可知：%+%+%+%+%=5'=375.

本題選擇C選項(xiàng).

［變式訓(xùn)練］

2.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年在北京舉辦.為了解某城市居民對冰雪

運(yùn)動(dòng)的關(guān)注情況，隨機(jī)抽取了該市100人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下2x2列聯(lián)表.

男女合計(jì)

關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)352560

不關(guān)注冰雪運(yùn)動(dòng)152540