2024高考數(shù)學(xué)一模試題與答案 (二)

一、單選題:本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.直線/：z—悟？+1=0的傾斜角為

A.30°B,60°C.120°D.150°

2.若橢圓C：m^2+y=l的焦點(diǎn)在》軸上，長軸長是短軸長的2倍，則m的值為

A.:B.]C.2D.4

3已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S"，滿足即=1,3S4=4S3+12,則a7等于

A.10B.11C.12D.13

4.已知數(shù)列｛滿足勾=1,且an+1=,則即。=

nan-ri

A1「]n]

45465556

5.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn):平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,B的距離之比為定值入awi)的點(diǎn)

的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(—l,0),B(2,0),點(diǎn)

P滿足黑j制,則點(diǎn)P到直線丁十信=4的距離的最小值為

A.1B.72C.2D.3

6.已知過拋物線C：丁=22火力＞0)的焦點(diǎn)F(十,0)的直線與拋物線C交于兩點(diǎn)(A在第

一象限)，D是以AB為直徑的圓E與拋物線C的準(zhǔn)線的公共點(diǎn).若|AD|=乃[8。|,則

1AB|=

AAB3TD逮

/33?3?3

7.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn),F-B是橢圓C：^+^=l的左、右焦點(diǎn),P是橢圓在第一象限上的點(diǎn)，

且cos/居FF2=y,M是/居PF2的角平分線上的動(dòng)點(diǎn),則IMF1|十|AQ的最小值為

A.V6B.V7C.2#D.3

8.已知數(shù)列匕"滿足。"=(一D”盤7(在距)，其前2〃項(xiàng)和為設(shè)函數(shù)/(無)=上尸，

4"。―13"+73

IS2024S24+IS2022+11)H

則/(S21)+/(S"|)HP/(S20221)+/()+/(I2011)+/(H

f(|S,1+l|)+/(|S2+l|)=

A.0B,1C.1012D,2024

二、多選題:本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有錯(cuò)選的得0分.

9.直線Zi2=0,直線12：/+（〃+1）了一2=0,則下列結(jié)論正確的是

A.若Zi〃/2,則a=l或a=~2

9

B.若Z1X/2，則a=一~

C.當(dāng)h//l2時(shí)，兩直線的距離為底

D.當(dāng)Zi±Z2時(shí),兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（W）

10.已知圓Oil+y—4%=0和圓Q：/+y—37+西4=0的交點(diǎn)為A,B,則下列結(jié)論正

確的是

A.直線AB的方程為乃y—4=0

B.|AB|=2#

C.圓01上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離等于1

D.經(jīng)過圓Oi的圓心的直線被圓。2截得的最短弦長為2#

11.在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列，在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和后,與

原數(shù)列構(gòu)成新的數(shù)列，再把所得的數(shù)列按照同樣的方法不斷的構(gòu)造出新的數(shù)列.如:將數(shù)列

1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…;第"（"GN+）次得到

數(shù)列1,須，g,毛，…，2.現(xiàn)將數(shù)列1,1用上述方法進(jìn)行構(gòu)造，記第"（〃GN+）次構(gòu)造后所得

新數(shù)列的所有項(xiàng)的和為a.，則對于數(shù)列｛?！保?，下列結(jié)論正確的是

A.“4~~84

B.=3Q〃-2

C.若/（〃）=冊+」”，〃6刖，則/（〃）的最小值為21

O20239

D.若4=/^,則￡6〈慨

an-N?=1/

12.已知橢圓E點(diǎn)十著=1的左焦點(diǎn)為F,B為E的上頂點(diǎn),A,C是E上兩點(diǎn).^\FA\,\FB\,

尸。構(gòu)成以"3>0）為公差的等差數(shù)列（尸的延長線與￡：的另一個(gè)交點(diǎn)為P,則下列結(jié)論

正確的是

A.當(dāng)d=2時(shí),AF_Lz軸

B.d的取值范圍是（0,VI]

C.當(dāng)A,C在了軸的同側(cè)時(shí),△AFC面積的最大值為4#

D.當(dāng)A,C在無軸的異側(cè)，且目=2時(shí),ZPAC=90°

三、填空題:本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.

13.已知拋物線0？2=2力工（力>0）的頂點(diǎn)為O,焦點(diǎn)為F,且經(jīng)過點(diǎn)A（20,2）,若|AF|=

3|OF|,則p=A

14.已知曲線y=^與直線為7—？一2%一1=0有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)大的取值范

圍是▲.

15.潮涌杭州，亞運(yùn)來了！2023年9月23日，第19屆亞運(yùn)會在杭州盛大開幕，這是杭州歷史上

的一件大事，也是中國繼北京奧運(yùn)會、廣州亞運(yùn)會后再次舉辦的大型國際體育賽事.某網(wǎng)站

全程轉(zhuǎn)播了該次賽事，為慶祝本次賽事,該網(wǎng)站舉辦了一場針對本網(wǎng)站會員的獎(jiǎng)品派發(fā)活

動(dòng)，派發(fā)規(guī)則如下:①對于會員編號能被3整除余1且被5整除余1的可以獲得精品吉祥物

一套;②對于不符合①中條件的可以獲得普通吉祥物一套.已知該網(wǎng)站的會員共有2023人

（編號為1號到2023號，中間沒有空缺），則獲得精品吉祥物的人數(shù)為

16.已知雙曲線E：，一奈=1（。〉0">0），斜率為一2的直線與E的左、右兩支即

分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,3）,直線AP交E于另一點(diǎn)C,直線%

BP交E于另一點(diǎn)D.若直線CD的斜率為一!■，則E的離心率為▲.卜X

四、解答題:本大題共6個(gè)小題，共70分.

17.（本小題滿分10分）

已知△ABC的頂點(diǎn)為A（l,—1）,B（5,3）,C（—1,1）.

（1）求△ABC的BC邊上的高AD所在直線的方程；

（2）直線/經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)且A,C兩點(diǎn)到直線/的距離相等，求直線/的方程.

18.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足（1+m）（1+例）....（1+?！埃?2呼.

（1）求?及數(shù)列｛a,J的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛"｝的前八項(xiàng)和為T”,且滿足6“=上二，證明

Q〃+i

19.（本小題滿分12分）

已知雙曲線小營一，=l（a>0,6>0）,四點(diǎn)A（4,3）,8（3,4伍），C（2,2乃），D（一2,

—2面）中恰有三點(diǎn)在雙曲線「上.

（1）求雙曲線「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)雙曲線「上任意一點(diǎn)p（刈，物），且過點(diǎn)P的直線/:第一繁=1與雙曲線r的漸近

線交于M,N兩點(diǎn),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明:ZiOMN的面積為定值.

20.(本小題滿分12分)

在平面直角坐標(biāo)系中，圓C經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和(0,1),且圓心C在直線A：2工+，一1=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)已知直線。：2工一》+7=0,「為/2上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的切線PA,PB,切點(diǎn)分別

為A,B,求|PC|?的最小值，并求出此時(shí)直線AB的方程.

21.(本小題滿分12分)

已知遞減等差數(shù)列｛。"｝滿足m=8,且2%,恁+2,恁成等比數(shù)歹I」.數(shù)列｛A｝的首項(xiàng)為2,其前

n項(xiàng)和S,,滿足S1t+i=qS“+2(其中q>0,"GN+),且仇=力.

(1)求｛a“｝和｛6.｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛(?">滿足c?=|a??b?,｛c”)的前n項(xiàng)和為T“，求T”.

22.(本小題滿分12分)

已知橢圓E：不+￡=l(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,且焦距為4,上頂點(diǎn)為M,且直

線MA,MB的斜率之積為一卷.

(1)求橢圓E的方程.

(2)設(shè)斜率存在的直線I交橢圓E于P,Q兩點(diǎn)(P,Q位于z軸的兩側(cè))，記直線AP,BP,

BQ,AQ的斜率分別為M也,k3，鼠，若k2，M+仙,k3成等差數(shù)列.

4vTU'

證明：(i)直線I過定點(diǎn)；(ii)ABFQ的面積小于

3

題號123456789101112

答案ADDBABACBDACDBDACD

13.7214.(一9,一[]15.13516.72

3.D【解析】依題意,吟普+1,二耳｝是公差為1的等差數(shù)列，.??Q.｝的公差為2,"1

+6X2=13.

11

4.B【角華析r??“〃+i

〃〃Q1049

/2Q+1a+iananQ2alQ3Q2

9,以上各式相加可得,>1+2+3+…+9=45,...初

7.A【解析】依橢圓定義和余弦定理可得IPB|=3,|PF?|=1,P（畬,1）,設(shè)/BPF2的角平

分線與x軸相交于N（我,0）,

嘿土包=辛，可得N（*,0）,從而/F1PF2的角平分線的方程為叵L，T=0,

V2-XQ1乙

原點(diǎn)。（0,0）關(guān)于NHPF2的角平分線對稱的點(diǎn)設(shè)為Q（m，以），經(jīng)計(jì)算可得。（等,一母），

貝i]|MR|+|MO|=|MR1+lMOi^^(^+72)2+(-1-)2=尺或：B關(guān)于

NF1PB的角平分線的對稱點(diǎn)在PFz的延長線上，記為Q(z。，)。)，且|PB|=|PQ|=3,

田6|=1,所以舊0|=2,拓=3聲，5一行,y。-1)=3(0,—1),解得Xo=4^,，0=—2,

即Q(北'，一2),或由勾股定理知PF2±X軸，得Q(V2,-2),\MF1\+\MO\=\MO\+\MQ\

>|OQ|=V(#)2+(-2)2=76).

8.C【解析】因?yàn)閍.=LD'S=(一D”(2〃T<〃+D=(T)"(—l+Si)(〃e

N+),所以SL—(1+!)+4+卷)—4+十)"——(—+高)+(嵩+

Jl—，所以5.廿5.+1|=1，因?yàn)?(丁)+/(1—外=、^|十

^^==1，所以戶〔舟“|)+戶22“+1|)=1,/(|&|)+/(|52+1|)=1,/(|￡|)+

31-r+/3

f(|S4+l|)=l,-,/(S2024|)+/(lS2024+1|)=1,以上各式相加,/(IS2|)+/(|S4|)+-

+/(IS2022)+/,(IS2024I)+/,(IS2024+lI)+/(IS2022+1I)Hhf(IS，1+1I)+/,(IS2+11)

=1012.

12.ACD【解析】設(shè)右焦點(diǎn)為P,連接AP(圖略)，由|FA|,|FB|,|FC|構(gòu)成以d(d>0)為公

差的等差數(shù)列，得|FA|+|FC|=2|FB|=2a^|EA|+FA|=2a,|FC|+FC|=2a,

fz

/.\FA\=\FC\9|FA|=|FC|.a=49fe=2V2,c=2V2.

對于A,通徑長為4"=2,貝IJ|FA|=2,AF，力軸；

對于B,|FA|)a—c—4—272",|FC|Wa+c=4+2V^，?二；

對于C,當(dāng)A,C在式軸的同側(cè)時(shí),A,C關(guān)于,軸對稱，設(shè)C(io,、o),則S-FC=；12io；yoI=

1^03^0I，而養(yǎng)+￡22/卷?弓=T，.??|10)0IW4北',當(dāng)且僅當(dāng)To=2相,)0=2時(shí)，等

號成立，即S"FC的最大值為4^2^；

對于D,當(dāng)A,C在1軸的異側(cè)，且4=2時(shí),AFJ_x軸,A,C關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)，則

，后AC=,又一一~>**,

C(—m—rT),F(zzz,0),~mkpc~kpc~CmkpAkpc=NhpA~nkp^k^c=

-衛(wèi)=—l,.??NPAC=90°.

nm

13.72【解析】因?yàn)辄c(diǎn)A（W2）在拋物線C上，|AF|=3|。F],所以我十名=學(xué)，所以x0=p,

所以A（"2）,所以4=2力2,解得p=42.

14.【解析】曲線整理得漢+1）2+丁=10）,則該曲線表示圓

心為（一1,0）,半徑為1的圓的上半部分，直線人一、一2左一1=0,即展”一2）一1=0,令

fJQ—20[JC~~~2

4'解得｛'則其過定點(diǎn)（2,—1）,當(dāng)為e（局，自]時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)不同

【一y—1=0,[y=-l,

的交點(diǎn)，由匕/2氏—ll=i,得：=一，或?yàn)?0,所以u=一[，M=51-=一所以實(shí)

yp+r442-12

數(shù)大的取值范圍是（一?，一[].

15.135【解析】將能被3整除余1且被5整除余1的正整數(shù)按從小到大排列，所得的數(shù)列記為

｛斯｝,由已知得4T是3的倍數(shù)，也是5的倍數(shù)，所以冊一1為15的倍數(shù)，所以｛?！币?｝是

首項(xiàng)為0,公差為15的等差數(shù)列，所以斯=15〃一14,令lWa“W2023,可得1?15〃一14或

2023,又"GN+,解得11〃W135且"GN+,故獲得精品吉祥物的人數(shù)為135.

=1,

16.72【解析】設(shè)A（ii,北），夙12，丁2）,線段AB的中點(diǎn)M（RM，NM）,則兩式相減

=1,

陽y2_b2乃+&-6?W―2的QA2

侍-----——?一工———?―――方，所以yM詆磯①，設(shè)。（了3，）3）,。（14,）4），線

為一12a十)2ayM3

段CD的中點(diǎn)N(*N,'N),同理得，N=—券ZN②，因?yàn)獒?砧，所以AB〃CD,則P,M,

—眈ZM—3

N三點(diǎn)共線，所以"三，將①②代人得2人二=2a2：,即岑ZM+3①N

乙'乙1M丁乙IN丁乙a

=*SN+3ZM,(，~—3)(初一對)=0,因?yàn)閆MWZN，所以，"一3=0,即a2=b2，所以e=-j2.

17.解：(1)直線BC的斜率八=±±=9，....................................2分

BC邊上的高AD與BC垂直,所以大他=—3,...................................3分

直線AD的方程為》一(—1)=一3(工一1),即3z+?—2=0.....................5分

(2)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,1),.......................................6分

若A,C兩點(diǎn)在直線/同側(cè),則直線/的方向向量可為就=(—2,2),法向量可為“=(2,2).

設(shè)直線I的方程為2z+2y+C=0,把M(3,l)代入，得C=—8,

所以直線/的方程為2x+2y—8=0,即z+y—4=0,............................8分

若A,C兩點(diǎn)在直線I異側(cè)，則直線I經(jīng)過線段AC的中點(diǎn)(0,0),斜率左直線/的方

程為、=呆，即z—3y=0....................................................9分

所以所求直線/的方程為了+'—4=?；?—3y=0...........................10分

18.(1)解：因?yàn)?1+。1)(1+。2)...(1+a0)=2""尸，①

所以當(dāng)〃=1時(shí)，1+幻=2,解得田=1,.........................................2分

當(dāng).)2時(shí)，(1+即)(1+〃2)(1+a〃—1)=2,1),②........................4分

由①+②得l+a〃=2〃，即為=2"—1,又“1=1滿足上式，所以冊=2〃-1...........6分

(2)證明：因?yàn)?”=(2”_1)：；”+1_1)=出一—二1，........................8分

所以「=(1-1-)+(y--卜(2“，-2”+L])........................1。分

=l-^+tl<1...........................................................12分

19.(1)解：：C,D關(guān)于原點(diǎn)對稱，且雙曲線T也關(guān)于原點(diǎn)對稱，，C,D在雙曲線「上,對于點(diǎn)

人(4,3),*>!|,奈<岑?,；.!|一|^>松一絲爐=1,；.點(diǎn)44,3)不在雙曲線「上，

........................................................................3分

fA_12

a2/=1，[a2=1,

；.B,C,D都在雙曲線「上，.?./解得，,........................5分

932,0=4.

???雙曲線r的標(biāo)準(zhǔn)方程為/一1=1..........................................6分

⑵證明：（法一）由題意,直線Zmz—T=l，令、=°,得Z必與"軸相

交，設(shè)交點(diǎn)為E（工0）,且與點(diǎn)P在》軸同側(cè)，雙曲線的兩條漸近線方程為，=±22,.口。士

2JCO#O..........................................................................................................................................8分

口=2.7,

設(shè)M（亞，VI）,N（5，州），聯(lián)立1解得一，同理，聯(lián)立

我工一竽=1,2j：0-y0

y=~2jc^

yy解得，2=_2：_.產(chǎn)（網(wǎng)，，。）在雙曲線「：、—￥=1上，，4與一4=4,

o

.............................................................................................................................................10分

RN=，OE］』一然|=布，l2^；+2^；l=llil=

!?*=2,

即△OMN的面積為定值2....................................................................................................12分

（法二）由題意，雙曲線F的兩條漸近線方程為y=±2z,由雙曲線的對稱性,不妨設(shè)P5,

物）為雙曲線r右支上的動(dòng)點(diǎn)，且M（Z1,2?）,N殳2,一2網(wǎng)），聯(lián)立直線與漸近線方程：

卜J?=0,2

1化簡得（4曷-5+—8熱1+4=0,又P（z。，？。）在雙曲線「丁一/=1上，

?*.4jt：o-3^=4,1?4%2—8Kol+4=0,=],...................................................................9分

設(shè)漸近線y=2x的傾斜角為。，則tan9=2,/.sin9=^^,cos9=g>sin20=2sin0cos6=

卷（或加方=^^=不=春），；0〃=，。吐.lONlsin%

：，7；+(271)2?+(-2了2)2,-y=-^-.5I672I=2I乃心I=2,

即△OWN的面積為定值2....................................................................................................12分

20.解：(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a,6),圓C的半徑為r(r>0),

則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為Cr—a)2+(y—6)2=/,................................................................1分

((3—a)2+(0—6):=r2,(a=l,

又圓C經(jīng)過點(diǎn)(3,0)和(0,1),所以1(0—a)2+(l—6)2=/，解得?=—1,....................4分

〔2a+6=l,

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(7一1)2+(》+1)2=5...................................................................6分

（3x—y-4=0,

【或:記M（3,0）和N（0,l）,則線段MN的中垂線方程：3”一y—4=0,聯(lián)立《-

⑵+廠1=0,

解得圓心，計(jì)算廠=而，得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(Z-1)2十3+1)2=5.1...........6分

(2)根據(jù)切線的性質(zhì)及圓的對稱性可知PCAB,則|P。-\AB\=^SAPAC=2\PA\?\AC\,

要使|PC|?|AB|最小，只需|PA|最小，即|PC|最小，此時(shí)PCJJ,

22

所以IPCImm=^+l+n=275,|FA|=y|FC|-|AC|=/15,

V5

|FC|?\AB\=2\PA\"|AC|>10V3,..............................................................................8分

過點(diǎn)C且垂直于/的方程為v+l=—/Cr—1),將其與I的方程聯(lián)立，解得P(—3,1),…

.........................................................................................................................................9分

以P為圓心，IPAI為半徑的圓的方程為(了+3)2+。―1)2=15,

即3(?+j72+6rr一2y一5=0,

結(jié)合圓C的方程，兩式相減可得直線AB的方程為4x—2、-1=0.............................12分

21.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a"的公差為乙由題意可知(ai+2+Q)2=2ai(ai+2d),其中?=8,解

得d=-2或14(舍去),A(i?=8+(n—1)?(—2)=10—2n,......................................3分

對于也｝,由已知S〃+i=qS〃+2,S〃+2=qS〃+i+2,兩式相減得bn+2=qb〃+i(1),①.......

.................................................................................................................................................4分

又Sz=qSi+2,?,?仇=qbi,②

由①②，得①+i=qA對所有〃>1成立，.......................................5分

???也｝是首項(xiàng)為2,公比為q的等比數(shù)列，從而勾=2礦I

由優(yōu)=&1=8,得2q2=8,q=±2,

又q>0,?'?q=2,1.bn—2".

綜上，?！?10一2〃,6〃=2"........................................................................................................6分

=

(2)c?—|an*bu\\a1t\,—110—2n\,2",

由=10—2Tl9可知當(dāng)"=1,2,3,4時(shí),a〃>0,|,當(dāng)zz>5時(shí),,II=-

當(dāng)〃=1,2,3,4時(shí)，可知Ti=16,T2=40,T3=72,T4=104..............................................8分

56

當(dāng)時(shí)，丁〃=104—<15?2—。6?2—…一an?2",

T〃=104+0?25+2?26H——卜(2九—10)?2",①

2T尸208+0?26+2?27T——卜(2九一10)?2-、②..............................10分

由①一②得，

—T〃=—104+2?26+2?27H------卜2?2〃一(2%—10)?2"】

=—104+27?(2〃—5—1)一(2%—10)?2葉1=(12—2〃)?2"】一232,

???乙=(%—6)?2"2+232?...................................................................................................11分

'16,%=1,

40,〃=2,

綜上，乙=，72,%=3,..............................................................................12分

104,〃=4,

、(九—6)?2〃+2+232,"〉5.

【或?qū)懗?J[(i6-7?)--2"+2—,24,(1…W”(4),1

12分

AA

22.(1)解：設(shè)A(―a,0),B(a,0),M(0,6),且焦距為4,??C=2,%M4=一，無MB=，后M4?日MB

a-a

廣”.5i,又i+4,解得"5M=9.

22

.??橢圓E的方程為魯+（=1.4分

（2）證明：6）由題意,4（—3,0）,夙3,0）,設(shè)「（7”）,（2（3'2），辱十%=1，，左「k2

yo

5

2.一得,同理,63無45,,5__5_

"??自,后4