機械制圖-第二章投影基礎

機械制圖5制圖基本知識與技能1投影基礎2基本幾何體3組合體4畫法幾何部分點的投影1直線的投影平面的投影幾何元素的相對位置正投影法與三視圖投影基礎正投影法投影方法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法投影法就是投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。所有的投射線都通過投射中心的投影法。投影中心距離投影面無窮遠時，可視為所有的投射線都相互平行。正投影法中心投影法投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性差投影三要素：空間物體、投射線、投影面。斜投影法投射線互相平行且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面正投影法正投影法平行投影法投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性好工程圖樣多數采用正投影法繪制。正投影法平行投影的基本性質

同素性(類似性)點的投影仍是點，直線的投影一般仍為直線。真實性當直線或平面與投影面平行時，則直線或平面在該投影面上的投影反映實長或實行。積聚性當直線或平面與投影面垂直時，則直線或平面在該投影面上的投影積聚成一點或一直線。正投影法正投影法的基本性質

真實性積聚性同素性(類似性)主視圖(frontview)：在正投影面上的投影。俯視圖(verticalview)：在水平投影面上的投影。左視圖(leftview)：在側投影面上的投影。VWH視圖：在由三個相互垂直的投影面所構成的投影體系中，用正投影法所繪制出的形體的圖形。三視圖右視圖

主視圖俯視圖左視圖后視圖仰視圖從右向左投射從下向上投射從后向前投射三視圖主視俯視左視右視后視仰視三視圖以主視圖為基準,主視圖在中間，俯視圖位于主視圖的下方，左視圖在主視圖的正右方。三視圖主視圖、俯視圖長相等且對正。主視圖、左視圖高相等且平齊。俯視圖、左視圖寬相等且對應。主視圖反映：上、下、左、右。俯視圖反映：前、后、左、右。左視圖反映：上、下、前、后。長對正高平齊寬相等這個特性就是多面體正投影的投影規(guī)律，形體整體結構要符合投影規(guī)律，形體局部也要符合投影規(guī)律。三視圖的投影規(guī)律是指導畫圖和讀圖的最基本理論。三視圖點在三投影面體系中的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點的坐標點的投影兩點的相對位置重影點點的投影Pb

●●APB1●B2●B3●a

●已知空間點A和投影面P，過點A作P面的投射線，其與P面的交點a'即為A在H面的投影。一個空間點有其確定的投影，但點的一個投影不能確定該點的空間位置。點的投影點在三投影面體系中的投影WHVoXa

●a●a

●A●Y點A的水平投影點A的正面投影點A的側面投影WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律(1)點的正面和水平投影的連線垂直于OX軸，即aa'⊥OX軸。WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律(2)點的正面投影到OX軸的距離、點的側面投影到OY軸的距離，反映空間點A到H面的距離;WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點的水平投影到OX軸的距離、點的側面投影到OZ軸的距離，反映空間點A到V面的距離;WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律點的正面投影到OZ軸的距離、點的水平投影到OY軸的距離，反映空間點A到W面的距離。WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x點的投影點在三投影面體系中的投影規(guī)律(3)點的水平投影到OX軸的距離等于側面投影到OZ軸的距離，即aax=

a"az。WVHaaZaa

yayaXYYO

●●az●x●●a

aax●a

●●a

aaxazaz解法一:通過作45°線使a

az=aax解法二:用圓規(guī)直接量取a

az=aaxa

●點的投影例題已知點的兩個投影，求第三個投影。點的投影點的坐標點的投影到投影軸的距離，反映該點在空間的一個坐標，也就是該點到相應投影面的距離。如點A的空間位置可以表示為A(XA，YA，ZA)其中:XA=a′aZ=aaY=Aa″點A到W面的距離YA=aaX=a″aZ=Aa′點A到V面的距離

ZA=a′aX=a″aY=Aa點A到H面的距離

點的投影點的坐標例題已知空間點A的坐標為A（15，20，10），求作點A的三面投影圖。點的投影兩點的相對位置兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關系。兩點的正面投影和水平投影反映出他們的左右位置兩點的正面投影和側面投影反映出他們的上下位置兩點的水平投影和側面投影反映出他們的前后位置b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZ點的投影兩點的相對位置練習判斷點A、點B的左右、上下、前后位置關系點的投影重影點位于同一條投射線上的兩點具有兩個相同的坐標，在反映這兩個坐標的投影面上兩點投影重合，稱之為兩點對該投影面的重影點。A點在B點正前方，故點A可見，點B不可見。規(guī)定把不可見點的投影打上括號點的投影作業(yè)練習冊：P19、P20、P21直線投影的畫法一般直線的投影特性投影面平行線的投影特性投影面垂直線的投影特性直線上點的投影直線的投影兩直線的相對位置直角投影定理直線的投影直線投影的畫法

投影中，直線的投影一般仍未直線。根據幾何定理，直線的空間位置可以由直線上的任意兩點來決定，而直線的投影，則可以由直線上兩點（通常取線段的兩個端點）的同面投影來確定。AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反映線段實長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a(b)(m)●●●一般位置直線直線的投影直線投影的畫法一般位置直線abb

a

b

a

投影特性：三個投影都與投影軸傾斜且投影長度小于直線的實長。投影面平行線直線的投影直線投影的畫法b

a

aba

b

b

aa

b

ba

水平線側平線正平線實長實長實長ba

aa

b

b

投影特性：在其平行的那個投影面上的投影反映實長。另兩個投影面上的投影平行于相應的投影軸。投影面平行線投影面垂直線直線的投影直線投影的畫法投影面垂直線鉛垂線正垂線側垂線●c

(d

)cdd

c

●a

b

a(b)a

b

●e

f

efe

(f

)投影特性：在其垂直的投影面上，投影有積聚性。另外兩個投影，反映線段實長。且垂直相應的投影軸。直線的投影直線上點的投影ABCVHbcc

b

a

a直線上任意點的投影必在該直線的同面投影上。直線上兩線段之比等于其投影之比。AC:CB=ac:cb=a'c':c'b'若點的投影有一個不在直線的同面投影上，則該點一定不在此直線上。定比定理直線的投影例題直線上點的投影判斷點C是否在線段AB上。點C不在直線AB上abca

b

c

①c

②abca

b

●點C在直線AB上例題：判斷點K是否在線段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故點K不在AB上。應用定比定理abka

b

k

●●還有其他的方法嗎？直線的投影兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行aVHc

bcdABCDb

d

a

投影特性：空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。直線的投影兩直線的相對位置兩直線平行例題abcdc

a

b

d

判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CD直線的投影兩直線的相對位置兩直線平行例題判斷圖中兩條直線是否平行。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

求出側面投影后可知：AB與CD不平行。求出側面投影對于特殊位置直線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。直線的投影兩直線的相對位置2.兩直線相交HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

投影規(guī)律：若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。直線的投影兩直線的相對位置兩直線相交例題●●cabb

a

c

d

k

kd先作正面投影過C點作水平線CD與AB相交。直線的投影例題兩直線的相對位置兩直線交叉d

b

a

abcdc

1

(2

)3(4)投影特性：同面投影可能相交，但"交點"不符合空間一個點的投影規(guī)律。"交點"是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛?、2是Ｖ面的重影點，3、4是H面的重影點。12●●3

4

●●既不平行又不相交的兩條直線，稱為交叉直線。交叉直線在空間不存在交點，然而他們的同面投影卻可能出現相交的情況。直線的投影直角投影定理定理：

垂直相交(或交叉)的兩直線，若其中一直線平行于某投影面，則兩直線在該投影面上的投影仍然反映直角關系。證明：設直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面又因BC//bc故bc⊥ABba平面因此bc⊥ab即∠abc為直角直線在H面上的投影互相垂直ABCabcHa

c

b

abc.直線的投影直角投影定理逆定理：

若相交(或交叉)兩直線在某一投影面上的投影為直角，且其中一條直線平行于該投影面，則該兩直線在空間必相互垂直。ABCabcHa

c

b

abc.直線的投影直角投影定理練習d

abca

b

c

●●d過C點作直線CD與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.直線的投影作業(yè)練習冊：P22、P23、P24、P25、P26、P27一般平面的投影特性投影面平行面的投影特性投影面垂直面的投影特性平面上的直線和點平面的投影平面的表示方法平面的投影平面的表示方法平面的投影平面對一個投影面的投影特性平行垂直傾斜投影特性平面平行投影面-----投影就把實形現平面垂直投影面-----投影積聚成直線

平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性一般位置平面平面的投影一般平面的投影特性a

b

c

a

c

b

abc三個投影都類似。投影特性：投影面平行面平面的投影投影面平行面的投影特性a

b

c

a

b

c

abc積聚性積聚性實形性投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映實形。另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應的投影軸平行的直線。投影面垂直面平面的投影投影面垂直面的投影特性abca

c

b

c

b

a

類似性類似性積聚性投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。另外兩個投影面上的投影有類似性。平面的投影平面上的直線和點——平面上取任意直線判斷直線在平面內的方法

定理一若一直線過平面上的兩點，則此直線必在該平面內。定理二若一直線過平面上的一點，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內。平面的投影平面上的直線和點——平面上取任意直線練習abcb

c

a

abcb

c

a

d

mnn

m

d解法一解法二已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內任作一條直線。n

m

nm10c

a

b

cab平面的投影平面上的直線和點——平面上取任意直線練習在平面ABC內作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。平面的投影平面上的直線和點——平面上取點平面上取點的方法：先找出過此點，并在此平面內的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點的位置平面的投影平面上的直線和點——平面上取點練習已知K點在平面ABC上，求K點的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●②●abca

b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過在面內作輔助線求解bckada

d

b

c

k

平面的投影平面上的直線和點——平面上取點練習

已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。平面的投影幾何元素的相對位置平行相交直線與平面平行平面與平面平行直線與平面相交平面與平面相交平面的投影幾何元素的相對位置——直線與平面平行若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。過M點作直線MN平行于平面ABC。n

●●a

c

b

m

abcmnd'd過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。平面的投影幾何元素的相對位置——直線與平面平行c

●●b

a

m

abcmnn

平面的投影幾何元素的相對位置——平面與平面平行若一平面上的兩相交直線對應平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdef平面的投影幾何元素的相對位置——直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。求直線與平面的交點。判別兩者之間的相互遮擋關系，即判別可見性。我們只討論直線與平面中至少有一個處于特殊位置的情況平面的投影幾何元素的相對位置——直線與平面相交平面為特殊位置abcmnc

n

b

a

m

空間及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點即為K點的水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上k

n

為可見。還可通過重影點判別可見性。k

●1

(2

)作圖k●●2●1●平面的投影幾何元素的相對位置——直線與平面相交直線為特殊位置km(n)b●m

n

c

b

a

ac空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K的水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性

點1位于平面上，在前；點2位于MN上，在后。故k

2

為不可見。1

(2

)k

●2●1●●作圖用面上取點法平面的投影幾何元素的相對位置——平面與平面相交兩平面相交其交線為