廣東省廣州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(學(xué)生版+解析)

廣東省廣州市2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.2.已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為()A. B.C. D.3.已知雙曲線，則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.等差數(shù)列中，已知，，則公差等于A.3 B.-6 C.4 D.-35.已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為()A.5或15 B.5或15C.5或15 D.5或156.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿(mǎn)足，則()A.8 B.4 C.2 D.17.如圖所示，在平行六面體中，E，F(xiàn)，H分別為，，DE的中點(diǎn)．若，，，則向量可用表示為()A. B.C. D.8.已知橢圓右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓方程為()A. B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知非零空間向量，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，則 B.C. D.若，則不共面10.已知點(diǎn)在圓：上，直線，則()A直線與圓相交 B.直線與圓相離C.點(diǎn)到直線距離最大值為 D.點(diǎn)到直線距離最小值為11.設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.12.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)等于2，離心率為，過(guò)焦作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.橢圓的方程為 B.橢圓的方程為C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則向量坐標(biāo)為_(kāi)_____.14.古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的(石子)，排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱(chēng)為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是______.15.已知拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)為12，則直線的方程為_(kāi)_____.16.數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)(，)的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為_(kāi)_____，△ABM面積的最大值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓的圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求.18.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為,且(1)求的通項(xiàng)公式(2)求證數(shù)列是等差數(shù)列19.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.20.已知，且在直線上，其中是數(shù)列中的第項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.如圖，底面，底面，四邊形是正方形，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值.22.已知橢圓：()的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線的傾斜角為，然后利用斜率公式即可【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由可得斜率，即故選：A2.已知圓的方程為，則圓心的坐標(biāo)為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,再得到圓心的坐標(biāo)即可.【詳解】圓的方程為,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以圓心的坐標(biāo)為.故選:C.3.已知雙曲線，則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程直接求出離心率即可.【詳解】由雙曲線,可知該雙曲線的離心率.故選:C.4.等差數(shù)列中，已知，，則公差等于A.3 B.-6 C.4 D.-3【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即能求出公差.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，得，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的公差的求法，是基礎(chǔ)題.5.已知點(diǎn)到直線的距離為1，則的值為()A.5或15 B.5或15C.5或15 D.5或15【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件,利用點(diǎn)到直線的距離公式建立關(guān)于的方程,再求出的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為1，所以解得或5.故選:D.6.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿(mǎn)足，則()A.8 B.4 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為由，可得：又，則有：則故選：A7.如圖所示，在平行六面體中，E，F(xiàn)，H分別為，，DE的中點(diǎn)．若，，，則向量可用表示為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，利用基底表示所求向量即可.【詳解】由題意，,且，，故選：B.8.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓方程為()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)用點(diǎn)差法求得.【詳解】∵，故右焦點(diǎn)，則，設(shè)，則，且，兩式相減得，故,故，故,故橢圓方程為，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知非零空間向量，則下列說(shuō)法正確的是()A.若，則 B.C. D.若，則不共面【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量共線定理判斷A；利用數(shù)量積的定義判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律判斷C；利用平面向量基本定理判斷D【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，是非零向量，且滿(mǎn)足，，故存在實(shí)數(shù)使得，故，所以，故正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，是非零向量，所以，故正確；對(duì)于C，，，與未必共線，故不正確；對(duì)于D，由平面向量基本定理可得若，則共面，故不正確故選：AB10.已知點(diǎn)在圓：上，直線，則()A.直線與圓相交 B.直線與圓相離C.點(diǎn)到直線距離最大值為 D.點(diǎn)到直線距離最小值為【答案】BC【解析】【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心到直線的距離，即可判斷.【詳解】解：圓：，即，圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，又點(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)到直線距離最大值為，點(diǎn)到直線距離最小值為，故正確有B、C.故選：BC11.設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則下列結(jié)論正確的是()A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式得到，，計(jì)算得到，，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】，，解得，，故，，，故BD正確，AC錯(cuò)誤.故選：BD.12.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)等于2，離心率為，過(guò)焦作軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.橢圓的方程為 B.橢圓的方程為C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出橢圓的方程，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，橢圓方程為，有，由離心率為得：，解得，因此橢圓的方程為，A正確，B不正確；由橢圓的對(duì)稱(chēng)性不妨令，直線，由得，則，C正確；由選項(xiàng)C知，，由橢圓定義得，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，直接求值.【詳解】已知，，則.故答案為：14.古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的(石子)，排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱(chēng)為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是______.【答案】66【解析】【分析】根據(jù)給定信息，求出三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列的通項(xiàng)，即可求解作答.【詳解】依題意，三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，則，所以第11個(gè)三角形數(shù)是.故答案為：6615.已知拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)為12，則直線的方程為_(kāi)_____.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立直線與拋物線方程，消掉得關(guān)于的一元二次方程，利用韋達(dá)定理可得，由，解得，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，,，,，聯(lián)立，得，所以，，因?yàn)?，解得，，則直線的方程為或．故答案為：或．16.數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A，B距離之比是常數(shù)(，)的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足，點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為_(kāi)_____，△ABM面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由結(jié)合兩點(diǎn)距離公式可得得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，可得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積；又，只需，即可得△ABM面積的最大值.【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，，由，即，所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，所以點(diǎn)的軌跡是圓且圓心，半徑為，點(diǎn)的軌跡區(qū)域面積；，又，所以，而，的最大值為．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知圓的圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)條件求出圓的半徑,再結(jié)合圓心坐標(biāo)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可;(2)求出圓心到直線的距離,再由垂徑定理求出.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以圓半徑,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離,所以由垂徑定理，得.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且(1)求的通項(xiàng)公式(2)求證數(shù)列是等差數(shù)列【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)根據(jù),代入即可求出通項(xiàng)公式,注意檢驗(yàn);(2)由題意得出的通項(xiàng)公式,用后一項(xiàng)減前一項(xiàng)為定值來(lái)證明是等差數(shù)列即可.【小問(wèn)1詳解】解:由題知,當(dāng)時(shí),,將代入上式可得,故時(shí)滿(mǎn)足上式,;【小問(wèn)2詳解】證明:由題知,,,且,是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.19.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.(2)利用(1)中坐標(biāo)系，利用空間向量求出點(diǎn)到平面的距離.【小問(wèn)1詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，所以，即有，所以.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，則，設(shè)是平面的法向量，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離.20.已知，且在直線上，其中是數(shù)列中的第項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再代入求解作答.(2)由(1)求出，再利用錯(cuò)位相減法求和作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，則直線的斜率為，直線的方程為：，即，又因?yàn)樵谥本€上，則有，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，則，于是得，兩式相減得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.21.如圖，底面，底面，四邊形是正方形，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)、線面平行的判定推理作答.(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面角的正弦即可求解作答.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈酌?，底面，則，平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】依題意，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，而平面DCE，即平面，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，則，，所以直線與平面所成角的正切值為.22.已知橢圓：()的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)