高等數(shù)學(xué)-習(xí)題及答案 孫忠民 第4章 常微分方程及其應(yīng)用

第4章常微分方程及其應(yīng)用

【能力訓(xùn)練4.1】

(基礎(chǔ)題)

一、指出下列微分方程的階數(shù)：

dy八

(1)/-xy=x-4,,(2)-——ysinx+6x-1=0;

ax

(3)y〃-(J)=吟(4)2到dy+(jt2+y2)dx=0.

答案：略

二'驗(yàn)證下列函數(shù)是否為所給微分方程的解或通解:

(l)y=5x2,xy/=2xy;(2)y=e*+e-xy-y=0;

(3)y=Cx3,3y-xy*=0;(4)y=Ciex+Cifi~x,y"-2/+y=0

答案：略

【能力訓(xùn)練4.2】

(基礎(chǔ)題)

一、求下列微分方程的通解:

(2)y=-y2',

(1)初2也+(1+d)dy=0;A/1

ax丫

(4)?+ysinx=0.

(3)(1+^)/-^=0;

ax

答案：略

二'求下列微分方程的特解:

(1)半=1產(chǎn),=0;

(2)2/二y+e",ylx=i=1

答案：略

三'求下列微分方程的特解:

1-2x

(i)y'-y=cosx，Mmo=0；(2)y'+——y=1,必=0

JCL

答案：略

四、求下列齊次微分方程的通解:

(1)^y'=y(y2+/)；(2)x(lirc-lny)dy-ydx=0:

(3*=士；(4)半=e++±

dxy-xdxx

答案：(1)略

(2)

原方程變?yōu)镮n工dy+工dx=0.令u=工，則=丁,

xxxaxat

代人原方程并整理得弓=

u("lmnu"+-l")x

兩邊積分得lnuTn(lnu+l)=-Irut+lnC,即y=C(lnu+l).

變量回代得所求通解為丁=(?&1(+1)

(3)略

(4)略

【能力訓(xùn)練4.3】

(基礎(chǔ)題)

一'求下列微分方程的通解：

(1)y"-6y'+9y=0;

解所綸微分方程的特征方程為/-6廠+9=0,解嫉方偉得到n=〃=3,從

出原微分方樗的為y=(C,4cl(儲(chǔ).C,是任意意數(shù)).

(2)2y,,+y=0;

略

(2)y"+6y,+10y=0;

略

(4)y"-2y+y=0;

rA

y-Cje+C2xe；

二'求下列微分方程的特解：

(l)y"-3y+2y=0,y(0)=3,/(0)=4;

(2)y"+2Y+y=0,y(0)=l,/(0)=0;

(3)y"+y=x2+cosx,滿足初始條件ylx=o=O,/U=o=1.

答案：略

三'求下列微分方程的通解.

(1)y"+2y'+3y=xe-x;

⑵y〃一4p+3y=2x+l;

(3)y"-y=e-xcosx.

答案：略

【能力訓(xùn)練4.4】

(應(yīng)用題)

一'［曲線方程］已知平面曲線在任一點(diǎn)處的切線斜率等于這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且曲

線通過點(diǎn)(1,0),求該曲線方程。

設(shè)曲朝程為y=f(x),

求導(dǎo),y'=f'(x),

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及條例n,f'(x)=x,

從而f(x)=(1/2X+c,其中,c為常數(shù)

又f⑴=0,從而c=-1/2,

所以f(x)=(x2-1)/2

二、［謀殺案發(fā)生的時(shí)間］牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫

度和空氣溫度之差成正比，當(dāng)一次謀殺案發(fā)生后，受害者的尸體的溫度從原來的

37℃按照牛頓冷卻定律開始下降，如果2小時(shí)后，尸體溫度為35℃,并且假設(shè)周

圍空氣的溫度始終保持在20℃,試求尸體溫度隨時(shí)間的變化規(guī)律，又如果尸體發(fā)

現(xiàn)時(shí)的溫度是30℃,此時(shí)是下午4點(diǎn)整，那么謀殺是何時(shí)發(fā)生的？

數(shù)學(xué)模型:常微分方程模型:解設(shè)尸體的溫度為H⑴川(t從被殺時(shí)計(jì))，根據(jù)題意，尸體的

冷卻速度:dH/dt與尸體溫度H和空氣溫度之差成正比。即:dH/dt=k(H-20),其中k是非零常

數(shù)，初始條件為H(O)=37o對(duì)方程分離變量得:，兩端積分得:In(H-20)=kt+Cl,求得方程通解

為:H=20+Cekt(其中C=eCl)o

將初始條件H(0)=37代入通解，得C=17,因此滿足條件的特解為H=20+17ekt。為確定

k,根據(jù)兩小時(shí)后尸體溫度為35℃這一條件，代入有:35-20+17e2k,求得k=0.063,于是尸體

的溫度函數(shù)為:H=20+17e-0.063t。將H=30代入，則30-20+17e-0.063t,解得/8.4(h)。于是

可以判定謀殺發(fā)生在尸體被發(fā)現(xiàn)時(shí)16點(diǎn)前的8.4小時(shí)，即在上午7點(diǎn)36分發(fā)生的。應(yīng)用常

微分方程模型，準(zhǔn)確求出案發(fā)時(shí)間。

三、［商品的銷售量］在商品銷售預(yù)測(cè)中，時(shí)刻的銷售量用x=x(t)表示，若商品

銷售的增長(zhǎng)速度會(huì)與銷售量x(t)及與銷售接近飽和水平的程度a-x⑴之乘積(a

為飽和水平)成正生匕，求銷售量函數(shù)x(t).

答案：略

四、［生物生長(zhǎng)曲線］某種生物的生長(zhǎng)速度與現(xiàn)電=紗3_y),叵生物的生長(zhǎng)要受到

環(huán)境的制約，得到有限制條件的微分方程是："

其中a,b都是常數(shù)，

假設(shè)該種生物初始量為y(o)=y。,求生物的生長(zhǎng)方程?

答案：略

復(fù)習(xí)題四

一、單項(xiàng)選擇題

1-5ACADB6-10CBCBC

二、填空題

1.y=exClxC2

2.略

3.略

4.x21nx

6.略

7.y=(x+C)cosx

8.1/21n2x

9.略

三、求下列微分方程的通解.

l.xy*+y=x2+3x+2;

將方程改"成】2,則

XX

y=c^4，［J(x?3?2卜J"'』"‘+3+:卜d"+

=px2+3x>2)dx?cj=y?yx2?2x+C)

/3x.C

=—+--4-2+—.

32x

2.y'+ycosx=e-sinx;

■

，一—?

3.y'+2xy=4x;

y=2+Ce#1

4.y"-6y'+9y=（x+1）e3x

特征方程：--67+9=0,，=3.所以3是方程的

二重根。特征方程通解：J=（&+。）/,設(shè)特解了』2（4+8）/，=（43+&2*”,則有:

y=（9A?+（9B+1&4）/+（6力+8B）x+2B）/X

y=（3Ax3+（3B+3X）x2+28x）1'

5.y"+4y=4sin2x

解（1）先求對(duì)?應(yīng)的齊次微分方程y"+4y=0的通解y（*）.

因?yàn)槠涮卣鞣匠淌荍+4=0,它有一對(duì)共桅復(fù)根r=±2i,因此，y=gcos2x+

C2sin2x.

（2）求原方程的一個(gè)特解），?（％）.

因?yàn)閍土訪±2i是特征方程的根,故設(shè)特解Y-（.t）=x（acos2?+6sin2”）.將

代人原方程，整理得

-4asin2x+46cos2x=4sin2x,

e

故。=-1,6=0,則特解r（x）="xcoS2x.方程的通解

y=Cjcos2.v+C,sin2.v-.rcos2x.

四、求下列微分方程的特解.

1.V+=1ylx=i=0；

2.y"+y+sinx=0yj=1,/Un=1；

答案：略

五,求下列微分方程的通解.

l.y，，-y=sin2x;

I—4—卜

2.yM+y=ex+cosx;

~一、「，少:/％上.小崎

六、綜合題

1.求一曲線，使由任一點(diǎn)的切線、兩坐標(biāo)軸和過切點(diǎn)平行于縱軸的直線所圍成

的梯形面積等于常數(shù)值3a2;

②解方程

這是一個(gè)線性非齊次方程,其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

解①列方程

y=Ce^=盤4=4

設(shè)Ex?川是所求曲線'="幻上的任一點(diǎn)，則過該點(diǎn)的切線方程為

用常數(shù)變易法求非齊次方程(")的通解.設(shè)通解為

其中(*,力是切線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo).y=C(x*

于是由該切線、二坐標(biāo)軸及直線x=x所國(guó)成的梯形面積為代入方程(*),整理后得

s=*'(x-X)+*=W(x-?+/i=僅2c“a)/■?竽(?(外--竽

C(x)=J-卑西-4+C

由已知條件s=a/得