河南省焦作市沁陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022—2023學(xué)年上期期末質(zhì)量調(diào)研試題高二數(shù)學(xué)（理）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.命題“任意，”的否定是（）A.存在， B.存在，C.任意， D.任意，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的之間的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的之間的關(guān)系，可得：命題“任意，”的否定是“存在，”.故選：B.2.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則的值為（）A.10 B.20 C.25 D.30【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】等差數(shù)列中，，則，則故選：D3.關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】∵∴∵不等式的解集是∴用數(shù)軸表示如圖：∴，故選C4.已知，，，d均為實數(shù)，下列不等關(guān)系推導(dǎo)成立的是（）A.若， B.若，C.若， D.若，【答案】D【解析】【分析】舉反例否定選項AB；求得的正負(fù)判斷選項C；求得的大小關(guān)系判斷選項D.【詳解】由，，可得，則選項A判斷錯誤；由，，可得，則選項B判斷錯誤；，又，則.則選項C判斷錯誤；由，可得，又，則，則.則選項D判斷正確.故選：D5.在中，角A，，的對邊分別為，，，若，則角A與角的關(guān)系為（）A. B.C.且 D.或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理求得，，之間的關(guān)系，進(jìn)而得到角A與角的關(guān)系.【詳解】由，可得，則，則，則，則，整理得，則或，則或.故選：D6.已知數(shù)列，，，，，，…，，，，…，，則其第43項為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運用歸納及等差數(shù)列前n項和求解即可.【詳解】以1為分母的有1項：；以2為分母的有2項：，；以3為分母的有3項：，，；…；以此類推：以n為分母的有n項：，，……，.所以，又因為，可得第項為分母為的第個數(shù)，所以此數(shù)列的第43項為：.故選：C.7.已知點，是坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)滿足：，設(shè)，則的最大值是（）A6 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】先由不等式組得到可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為，由圖像得到在過點時取得最大值，代入約束條件求解即可．【詳解】解：不等式組，它的可行域如圖：為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，點，則，，所以，則，如圖直線經(jīng)過可行域點時縱截距最大，即取得最大值，由，解得，即，將代入得，故選：D．8.已知命題，命題.若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題意可知：，解得：，，，，:或，:或，若是的充分條件，則是的子集，且，解得.故答案為9.設(shè)，分別為雙曲線C：的左、右焦點，點P為雙曲線右支上一點，M是的中點，且，，則雙曲線的離心率為（）A.5 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，可知，再結(jié)合雙曲線的定義，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】點分別是線段和的中點，所以，因為，所以，因為，，解得：，，，即，解得：.故選：A10.在棱長為2的正方體，中，、分別是、的中點，則點到截面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量點到平面距離公式進(jìn)行計算.【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故設(shè)平面的法向量為，所以點到截面的距離為.故選：B11.已知是拋物線上的一個動點，則點到直線和的距離之和的最小值是（）A.3 B.4 C. D.6【答案】B【解析】【分析】先判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，過點作于點，于點，連接，根據(jù)拋物線的定義，得到，推出，結(jié)合圖形，可得，，共線時，最小，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】由消去得，因為，所以方程無解，即直線與拋物線無交點；過點作于點，于點，記拋物線的焦點為，連接，因為點到直線的距離為,為拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)拋物的定義可得，，則到直線和的距離之和為，若，，三點不共線，則有，當(dāng)，，三點共線，且位于之間時，，則，又，所以，即所求距離和的最小值為.故選：.12.如下圖，兩點都在河的對岸（不可到達(dá)），為了測量兩點間的距離，選取一條基張，測得：，，，則()A. B. C. D.數(shù)據(jù)不夠，無法計算【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，確定，再借助直角三角形勾股定理計算作答.【詳解】在四邊形中，因為，，有，則，令交于，則，，顯然，于是，而，因此，解得.故選：A二、填空題：本大題共1個小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡相應(yīng)位置橫線上.13.在中，其三邊分別為，，且三角形的面積，則角__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合余弦定理計算出的值，即可求解出的值.【詳解】因為，所以，則，又，所以故答案為：.14.已知數(shù)列滿足，，則__________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，即可得到是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而求出，即可得解.【詳解】解：由，，同時除以可得.即是以為首項，為公差的等差數(shù)列.所以，即.故答案為：.15.過橢圓內(nèi)一點，且被這點平分的弦所在直線的方程是___.【答案】【解析】【分析】利用點差法即可求得過點且被點P平分的弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)該直線與橢圓的兩個交點分別為，則又，，兩式相減得則，則，則所求直線方程為，即經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：16.已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足.則的最小值為__________.【答案】1【解析】【分析】先判斷的單調(diào)性和奇偶性，求出a與b的關(guān)系，再運用基本不等式求解.【詳解】是奇函數(shù)；又，是單調(diào)增函數(shù)，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；故答案為：1.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知命題p：方程(a>0)表示雙曲線，命題q：方程表示焦點在y軸上的橢圓．(1)若命題q為真命題，求m的取值范圍；(2)若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）命題q為真命題，即方程表示焦點在y軸上的橢圓，只需要滿足2－m＞m－1＞0即可；（2）p是q的充分不必要條件，則p命題下m的范圍是q命題下m的范圍的子集.【詳解】(1)∵命題q為真命題，∴2－m＞m－1＞0，∴1＜m＜.(2)方程＋＝1(a>0)表示雙曲線，則(m－3a)(m－4a)＜0(a＞0)，解得3a＜m＜4a，∵p是q的充分不必要條件，∴解得≤a≤.【點睛】判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．18.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式，化簡得，求得，即可求得值；（2）由余弦定理求得，再由，求得，進(jìn)而得到，即可得到的周長.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理化簡得，整理得，因為，可得，且，所以，又因為，所以.【小問2詳解】解：由余弦定理，可得，即，又由，解得，將代入，可得，所以，故的周長為.19.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】【詳解】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項公式可得an；運用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，b1=S1，當(dāng)n≥2時，bn=SnSn1，即可得到{bn}的通項公式；

（2）由（1）知cn=，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．試題解析：（1）因為，，所以為首項是1，公差為2的等差數(shù)列，所以又當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，…①…②由①②得，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知，則①②①②得所以點睛：用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.20.已知橢圓C：的焦距為2，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點，橢圓的右頂點為A．求橢圓C的方程；過點的直線l與橢圓C相交于兩個不同的交點P，Q，記直線AP，AQ的斜率分別為，，問是否為定值？并證明你的結(jié)論．【答案】（1）(2)見解析【解析】【分析】由已知求得c與b，再由隱含條件求得a，則橢圓方程可求；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，顯然不合題意；當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式即可求得為定值．【詳解】由題意可知，，則，，，可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，顯然不合題意；當(dāng)直線PQ斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，聯(lián)立方程組，得．由，得．設(shè)，則，．．所以為定值．【點睛】本題主要考查橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐中，,平面，且，，點是的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。敬鸢浮浚?）見解析（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）一般線面平行考慮連接中點，形成中位線，連BD交AC于M,連接EM即可；（2）以A為原點建系，顯然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．試題解析：∵平面，，平面，∴，，且，以為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．（1）∵，，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得．又，所以，∵，∴，又平面，因此，平面．（2）∵平面的一個法向量為，由（1）知，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為（為鈍角），則，得：．所以二面角的大小為．22.已知拋物線，過拋物線C的焦點F作互相垂直的兩條直線AB，CD，與拋物線C分別相交于A，B和C，D，點A，C在x軸上方.（1）若直線AB的傾斜角為，求的值；（2）設(shè)與的面積之和為S，求S的最小值.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）先求出直線直