山東省菏澤市第三中學2023-2024學高三下學期3月月考數(shù)學試題

菏澤市第三中學2024屆高三下學期3月份月考數(shù)學試題第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.拋物線y2=2px過點2,2，則焦點坐標為(

)A.0,0 B.14,0 C.122.已知平面向量a=3,2，b=-2,1，若a+λA.-45 B.-35 C.3.已知角α0°<α<360°終邊上A點坐標為sinA.130° B.140° C.220°4.設(shè)等比數(shù)列an的首項為1，公比為q，前n項和為Sn，若Sn+1也是等比數(shù)列，則A.-2 B.12 C.1 D.5.過點P-2,0作圓C：x2+y2-4x-4=0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形A.4 B.42 C.8 6.設(shè)x>0，函數(shù)y=x2+x-7,y=2x+x-7,y=logA.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<a<b7.設(shè)x1,x2是函數(shù)fx=xA.0 B.1 C.2 D.38.已知fx=aex-1-lnx+lna,gx=A.1e,1 B.1e,+∞ C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數(shù)fx=3sinA.y=fx的最大值為2

B.y=fx的圖象關(guān)于點π3,0對稱

C.y=fx在0,π6上單調(diào)遞增10.在?ABC中，∠ACB=π2，AC=BC=22，D是AB的中點．將?ACD沿著CD翻折，得到三棱錐A'-BCD，則A.CD⊥A'B．

B.當A'D⊥BD時，三棱錐A'-BCD的體積為4．

C.當A'B=23時，二面角A'-CD-B的大小為2π3．

D.當∠A'DB=2π311.已知點A-1,0,B1,0，直線AM,BM相交于點M，且它們的斜率之和是2.設(shè)動點Mx,y的軌跡為曲線C，則A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.x的范圍是xx≠0,y的范圍是R

C.曲線C與直線y=x無限接近，但永不相交

D.曲線C上兩動點Pa,b,Q第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知雙曲線x2a2-y2b13.記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知an=1nn+214.已知A1,A2,A3,A4四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)已知fx=2x+1lnx-x2(1)求a,b；(2)證明fx≤ax+b16.(本小題15分)①S3=7a3，②a2設(shè)正項等比數(shù)列an的前n項和為S(1)求an(2)求數(shù)列nan的前n項和T17.(本小題15分)在?ABC中，點M,N分別為BC,AC的中點，AM與BN交于點G，AM=3,∠MAB=45(1)若AC=52，求中線(2)若?ABC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍．18.(本小題17分)某市為繁榮地方經(jīng)濟，大力實行人才引進政策，為了解政策的效果，統(tǒng)計了2018-2023年人才引進的數(shù)量y(單位：萬人)，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖(x表示年份代碼，年份代碼1-6分別代表2018-2023年)．(1)根據(jù)散點圖判斷y=blnx+a與y=ec+dx(a,b,c,d均為常數(shù))哪一個適合作為y關(guān)于(2)根據(jù)(1)的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸方程，并預測該市2025年引進人才的數(shù)量；(3)從這6年中隨機抽取4年，記引進人才數(shù)量超過4萬人的年數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：yw5.151.5517.520.953.85其中w=參考公式：對于一組數(shù)據(jù)u1,v1,u19.(本小題17分)在平面直角坐標系xOy中，重新定義兩點Ax1,y1,Bx(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對稱性，并說明理由；(3)設(shè)c=1,a=2，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為C,C的左頂點為A，過F2作直線交C于M,N兩點，?AMN的外心為Q，求證：直線OQ與MN的斜率之積為定值．

菏澤市第三中學2024屆高三下學期3月份月考數(shù)學試題答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】代入所過的點可求p的值，從而可求焦點坐標．【詳解】因為拋物線y2=2px過點2,2，所以4=4p，故故y2=2x，故焦點坐標為故選：C．2.【答案】D

【解析】【分析】利用向量線性運算的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，求解λ的值．【詳解】平面向量a=3,2，b=由a+λb⊥b，則故選：D．3.【答案】B

【解析】【分析】先確定角α的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導公式及商數(shù)關(guān)系即可得解．【詳解】因為sin310所以角α的終邊在第二象限，又因為tan=cos且0°所以α=140故選：B．4.【答案】D

【解析】【分析】由{Sn+1}是等比數(shù)列，得S【詳解】由題意可知，a1=1，a2若{an}若q≠1，則Sn若{Sn+1}也是等比數(shù)列，則S即q2q解得q=2或q=1(舍去)．故選：D．5.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)兩點距離公式可得|PC|，即可由勾股定理求解|PB|，由三角形面積公式即可求解．【詳解】由x2+y2-4x-4=0則|PC|=4，則PB=則四邊形PACB的面積為2S故選：C6.【答案】A

【解析】【分析】由題意a,b,c分別為函數(shù)y=-x+7與函數(shù)y=x2,y=【詳解】分別令y=x則x2則a,b,c分別為函數(shù)y=-x+7與函數(shù)y=x分別作出函數(shù)y=x

由圖可知，a<b<c．故選：A．7.【答案】C

【解析】【分析】先求導，再結(jié)合已知條件與韋達定理即可求出結(jié)果．【詳解】由題意得f'x=3x則x1,x故x1又x1+3x2=-2，則x則x1=-1，所以x1此時Δ=4故選：C．8.【答案】B

【解析】【分析】設(shè)Fx=ex+ex，利用同構(gòu)得到Fx+lna≥Flnx【詳解】由題意得，當x>0時，efx即ex+lna令Fx=e因為F'x=ex+e>0故x+ln即lna≥令hx=ln當x∈0,1時，h'x>0當x∈1,+∞時，h'x<0故hx=lnx-x在x=1處取得極大值，也故lna≥-1，解得a≥故選：B【點睛】導函數(shù)求解參數(shù)取值范圍，當函數(shù)中同時出現(xiàn)ex與lnx，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題難點是將aex-e9.【答案】AC

【解析】【分析】化簡得fx=2sin【詳解】fx對A：y=fx的最大值為2，故A對B：因為fπ3=2sinπ3+對C：當x∈0,π6時，x+π6∈π6,π3對D：fπ6=2sinπ6+故選：AC10.【答案】ACD

【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷A；根據(jù)等體積法可判斷B；確定二面角A'-CD-B的平面角，解三角形可得其大小，判斷C；確定三棱錐A'-BCD的外接球的球心位置，求出外接球半徑，即可求得外接球表面積，判斷D．【詳解】對于A，?ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，

故CD⊥AB，且AB=4，CD=AD=DB=1則在三棱錐A'-BCD中，CD⊥A'D，CD⊥BD，因為A'D∩BD=D，A'D,BD?平面A'BD，故CD⊥平面A'BD，A'B?平面A'BD，故CD⊥A'B，故A正確；對于B，當A'D⊥BD時，S?A'BD由于CD⊥平面A'BD，故VA'-BCD=V對于C，當A'B=23時，則cos∠A'DB=A'D2故∠A'DB=2π由于CD⊥平面A'BD，故∠A'DB即為二面角A'-CD-B的平面角，故當A'B=23時，二面角A'-CD-B的大小為2π3對于D，當∠A'DB=2π3時，設(shè)?A'DB的外接圓圓心為O'，半徑為r，則2r=A'Bsin∠A'DB因為CD⊥平面A'BD，所以三棱錐A'-BCD的外接球的球心位于過O'垂直于平面A'BD的直線上，且在過CD的中點E垂直于CD的平面上，設(shè)球心為O，由于OO'⊥平面A'BD，則OO'//CD，故過E作OO'的垂線，垂足即為O，即三棱錐A'-BCD的外接球的球心，則四邊形OO'DE為矩形，故OO'=ED=1設(shè)棱錐A'-BCD的外接球的半徑為R，連接OD，故，R2=OD故三棱錐A'-BCD的外接球的表面積為4πR2=20π故選：ACD．【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；(2)作截面：選準最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達到空間問題平面化的目的；(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．11.【答案】ACD

【解析】【分析】設(shè)Mx,y，根據(jù)題意求出曲線C的軌跡方程，再將-x,-y代入即可判斷A；結(jié)合直線AM,AN的斜率都存在即可判斷B；判斷x趨于無窮大時，y-x是否趨于0即可判斷C；求出PQ最小時，a,c的關(guān)系，再結(jié)合基本不等式即可判斷D【詳解】設(shè)Mx,y，由題意k即yx+1+y即y=x2-1對于A，將-x,-y代入得-y=-x-1-x，即所以曲線C關(guān)于原點對稱，故A正確；對于B，由A選項知，x的范圍是xx≠0且x≠±1，故B對于C，由y=x-1x，得當x→+∞時，-1x→0當x→-∞時，-1x→0所以曲線C與直線y=x無限接近，但永不相交，故C正確；對于D，要使PQ最小，則曲線C在P,Q兩點的切線平行，由y=x-1x，得y'=1+1x2因為a<0,c>0，所以a=-c，則P-c,-c+所以PQ=當且僅當8c2=所以PQmin=2故選：ACD12.【答案】54【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求出ba【詳解】因為雙曲線x2a2所以ba所以離心率e=故答案為：5413.【答案】1011【解析】【分析】注意到a2k【詳解】由題意a2k所以S=1-1故答案為：101114.【答案】1

【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出合理的向量模，再將其置于坐標系中，利用坐標表示出|A【詳解】因為An所以A1A2A2由題意設(shè)|A1A2|=x設(shè)A1(0,0)，如圖，因為求則A2(x,0)，A3(x,1所以|A當且僅當x2=1所以|A1A故答案為：1．關(guān)鍵點點睛：首先是對向量模的合理假設(shè)，然后為了進一步降低計算的復雜性，我們選擇利用坐標法將涉及的各個點用坐標表示，最后得到|A15.【答案】解：(1)由fx=2x+1則f'1=2，所以曲線fx在點x=1又因為f1=-12，所以切線方程為：所以a=2,b=-5(2)要證明fx≤ax+b，只要證設(shè)gx=2x+1令hx=2ln所以hx在0,+∞上單調(diào)遞減，又h所以當x∈0,1時，hx>0，則g當x∈1,+∞時，hx<0，則g所以gx≤g1

【解析】【分析】(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線y=fx在點x=1處的切線方程即可得a，b(2)要證明fx≤ax+b，只要證2x+1lnx-x16.【答案】解：(1)若選①S3=7因為等比數(shù)列an是正項數(shù)列，所以a所以6q2-q-1=0若選③a4，a3，6因為a3>0，所以6q所以在已知條件下，①等價于③，所以無論選①②還是選②③都有，q=12>0，a(2)由題意Tn兩式相減得12所以Tn

【解析】(1)首先由等比、等差數(shù)列基本量計算得在已知條件下，①等價于③即q=12>0(2)由等比數(shù)列求和公式以及錯位相減法即可求解．17.【答案】解：(1)因為點M為BC的中點，所以2AM則AC=2AM-即50=4×9-4×3×AB×22+AB又因為BN=BN2=AM所以BN=

(2)SGMCN=2因為?ABC是銳角三角形，所以∠A是銳角，即AB?即AB?2AM-AB∠B是銳角，即BM?BA>0所以3AB×∠C是銳角，即CA?MB>0所以AB2-3AB所以AB∈R，綜上：3所以SGMCN

【解析】【分析】(1)對2AM=AB+AC(2)由分析知SGMCN=2218.【答案】解：(1)根據(jù)散點圖可知，選擇y=e(2)因為y=ec+dx，所以兩邊同時取常用對數(shù)，得設(shè)w=lny，則w=c+dx，先求w關(guān)于因為x=d=c=所以y=把x=8代入上式，得y=故預測該市2025年引進人才的數(shù)量為12.68萬人．(3)這6年中，引進人才的數(shù)量超過4萬人的年數(shù)有3個，所以X的所有可能取值為1，2，3．P所以X的分布列為X123P131所以EX

【解析】(1)觀察散點圖結(jié)合增長速度情況即可求解；(2)兩邊取對數(shù)后，用最小二乘先得對應的線性回歸方程；(3)X的所有可能取值為1，2，3，由超幾何分布概率公式先求得對應的概率，即可依次得分布列，數(shù)學期望．19.【答案】解：(1)設(shè)“橢圓”上任意一點為Px,y，則P即x+c+y+所以“橢圓”的方程為x+c+(2)由方程x+c+x-c+2因為y≥0，所以2a-x+c-所以x≤-c-x-c-x+c≤2a或-c<x<cx+c-x+c≤2a解得-a≤x≤a，由方程x+c+x-c+2即2a-2y=-2x,x≤-c2c,-c<x<c2x,x≥c所以“橢圓”的范圍為-a≤x≤a，c-a≤y≤a-c，將點-x,y代入得，-x+c+即x+c+x-c+2將點x,-y代入得，x+c+即x+c+x-c+2將點-x,-y代入得，-x+c+即x+c+所以“橢圓”關(guān)于x軸，y軸，原點對稱；

(3)由題意可設(shè)橢圓C的方程為x2將點1,1代入得14+1所以橢圓C的方程為x24+由題意可設(shè)直線MN的方程為x=my+1m≠0聯(lián)立x=my+1x24Δ