專題22導數-天津市2023年高三各區(qū)數學模擬考試題型分類匯編

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題22導數——天津市2023年高三各區(qū)數學模擬考試題型分類匯編1．（2023·天津和平·耀華中學?？家荒＃┰O，，.(1)求函數，的單調區(qū)間和極值；(2)若關于x不等式在區(qū)間上恒成立，求實數a的值；(3)若存在直線，其與曲線和共有3個不同交點，，（），求證：成等比數列.2．（2023·天津河西·統(tǒng)考一模）已知函數(1)當時，①求曲線的單調區(qū)間和極值；②求曲線在點處的切線方程；(2)若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍．3．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知函數，.(1)討論的單調區(qū)間；(2)當時，令.①證明：當時，；②若數列滿足，，證明：.4．（2023·天津·校聯(lián)考一模）設函數．(1)討論的單調性；(2)若當時，不等式恒成立，求m的取值范圍．5．（2023·天津河北·統(tǒng)考一模）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數的單調性；(3)若對任意的，都有成立，求整數的最大值.6．（2023·天津·校聯(lián)考一模）已知函數．（注：是自然對數的底數）．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，函數在區(qū)間內有唯一的極值點．①求實數的取值范圍；②求證：在區(qū)間內有唯一的零點，且．7．（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數有極大值，試確定的取值范圍；(3)若存在使得成立，求的值.8．（2023·天津·大港一中校聯(lián)考一模）已知函數，．，e為自然對數的底數．（1）如果函數在(0，)上單調遞增，求m的取值范圍；（2）若直線是函數圖象的一條切線，求實數k的值；（3）設，，且，求證：．9．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若恒成立，求實數的取值范圍；(3)證明：．10．（2023·天津河東·一模）已知函數，．(1)求函數在點處的切線方程；(2)，，．（ⅰ）證明；（ⅱ）求函數在區(qū)間上零點的個數證明．11．（2023·天津·統(tǒng)考一模）已知函數，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的極值；(3)設函數，.當時，，，不等式恒成立，求的取值范圍.12．（2023·天津和平·統(tǒng)考一模）已知函數，其中為自然對數的底數，.(1)當時，函數有極小值，求；(2)證明：恒成立；(3)證明：.13．（2023·天津·統(tǒng)考一模）已知函數.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；（3）若對于任意，都有，求實數的取值范圍.14．（2023·天津和平·耀華中學?？级＃┮阎?，設函數的表達式為（其中）(1)設，，當時，求x的取值范圍；(2)設，，集合，記，若在D上為嚴格增函數且對D上的任意兩個變量s，t，均有成立，求c的取值范圍；(3)當，，時，記，其中n為正整數．求證：．15．（2023·天津河北·統(tǒng)考二模）已知，函數，其中e是自然對數的底數.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，求函數的單調區(qū)間；(3)求證：函數存在極值點，并求極值點的最小值.16．（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）已知函數，.(1)求的最小值；(2)若，且，求證：；(3)若有兩個極值點，證明：.17．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考二模）已知函數，(1)若，求函數的極值；(2)設函數，求函數的單調區(qū)間；(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍．18．（2023·天津·二模）已知函數，．（1）若直線與函數的圖象相切，求實數的值；（2）若存在，，使，且，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．19．（2023·天津·統(tǒng)考二模）已知，函數.(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)當時，設的導函數為，若恒成立，求證：存在，使得；(3)設，若存在，使得，證明：.20．（2023·天津·校聯(lián)考二模）已知函數.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數有兩個零點，（其中）.（i）求實數的取值范圍；（ii）若存在實數，當時，使不等式恒成立，求實數的取值范圍.21．（2023·天津和平·統(tǒng)考二模）已知函數，其中，(1)若，（i）當時，求的單調區(qū)間；（ii）曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍．(2)證明：當時，存在直線，使直線是曲線的切線，也是曲線的切線．22．（2023·天津河西·統(tǒng)考二模）已知函數，．(1)若，求函數的最小值及取得最小值時的值；(2)求證：；(3)若函數對恒成立，求實數a的取值范圍．23．（2023·天津河東·統(tǒng)考二模）已知函數，.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數的單調區(qū)間和極值；（3）若對于任意，都有成立，求實數m的取值范圍.24．（2023·天津濱海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學校考三模）已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間和極值；(2)若，求證:；(3)已知點，是否存在過點P的兩條直線與曲線，相切？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.25．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數在上的單調性；(3)證明：對任意的，有．26．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知定義域均為的兩個函數，．(1)若函數，且在處的切線與軸平行，求的值；(2)若函數，討論函數的單調性和極值；(3)設，是兩個不相等的正數，且，證明：．27．（2023·天津北辰·統(tǒng)考三模）已知函數，其中.(1)當時，求函數在點上的切線方程.（其中e為自然對數的底數）(2)已知關于x的方程有兩個不相等的正實根，，且.（ⅰ）求實數a的取值范圍；（ⅱ）設k為大于1的常數，當a變化時，若有最小值，求k的值.28．（2023·天津和平·統(tǒng)考三模）已知函數，，其中.(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；(2)若時，求函數的最小值；(3)若的最小值為，證明：當時，.29．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當時，證明：；(3)證明：．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【詳解】（1）依題意，，求導得，由，得，解得，函數在區(qū)間上單調遞增；由，得，解得，函數在區(qū)間上單調遞減；由，得，解得，而，函數在上單調遞增，在，上單調遞減，所以函數在上的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為：，，當時，函數取極小值，極小值為，當時，函數取極大值，極大值為.（2）關于的不等式在區(qū)間上恒成立，即：在區(qū)間上恒成立，令，求導得，令，求導得，由（1）知：在上的極大值為，又，從而在上的最大值為1，即在上恒成立，于是在上恒成立，則在上單調遞增，從而，當時，，當且僅當時等號成立，因此在上單調遞增，從而在上恒成立，則當時，在上恒成立；當時，令，則，即函數在上遞增，，即當時，，于是，又，則存在，使得，當時，，函數在上單調遞減，又，即當時，，與已知矛盾，所以.（3）對于函數，令，則，從而當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減，則當時，取最大值，最大值為，對于函數，令，則，從而當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減，故當時，取最大值，最大值為，因此，函數與有相同的最大值，其圖象如下圖所示，下面先證明：曲線與有唯一交點，由，得，即證明方程有唯一實數根，因為當時，，，則曲線與在區(qū)間上沒有交點，即方程在上沒有實根，令，求導得，令，求導得，令，求導得，顯然在上遞減，，函數在上遞減，，函數在上遞減，，于是當時，，函數在上單調遞減，由，，從而函數在上存在唯一零點，則方程在上有唯一實數根，且，由于直線與曲線，共有3個不同交點，則直線必過點，且，，，由，得，即，而函數在上遞增，，，則①，由，得，即，而函數在上遞減，，，則②，由①②得：③，由，得，于是有④，所以由③④得，即成等比數列.2．【詳解】（1）①當時，，函數的定義域為，，令得．當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，所以，函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；函數在時取極大值，極大值為，無極小值．②由（i）可知當，．則所求切線方程為，即．（2）由已知可得，方程在內有兩個不等實根，設，則函數定義域為且，．當，即時，若，則，單調遞增；若，則，單調遞減，所以，則所求方程只有一個解，不符合題意，舍去．當，即時．，①當，即時，若，則，單調遞減；若，則，單調遞增，所以，則所求方程只有一個解，不符合題意，舍去；②當，即時，若，則，當且僅當時，取等號，所以函數在上單調遞增，又，則所求方程只有一個解，不符合題意，舍去；③當，即時，若，則，單調遞增；若，則，單調遞減；若，則，單調遞增．又，可知．因為．因為，所以，即．因為時，，因為，所以，所以在區(qū)間單調遞增，由零點存在定理，可得存在唯一，使得，又．此時，所求方程有2個不同解，符合題意．④當，即時，若，則，單調遞增；若，則，單調遞減；若，則，單調遞增．又，于是，令，，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，所以，所以，所以，所以設，則，因為，所以，函數在單調遞增，當時，，，因為在上單調遞增，由零點存在定理，得存在唯一，使得，又．此時，所求方程有2個不同解，符合題意．綜上所述，當時，函數有兩個不同零點．3．【詳解】（1）函數定義域為R，求導得，當時，恒成立，即在上單調遞增，當時，令，解得，令，解得，即在上單調遞減，在上單調遞增，所以，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）當時，，①當時，，令，，恒成立，則在上單調遞減，，因此，成立，所以當時，.②由①可知，當時，，由得，即，由，可得，而，又，即，則，由于，只需證，又當時，，令，，恒成立，則在上單調遞增，，則當時，恒有，而，即成立，不等式成立，因此成立，即成立，所以原不等式得證.4．【詳解】（1）依題意得．①當時，令，得，令，得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；②當時，令，得，令，得或，所以在上單調遞減，在和上單調遞增；③當時在上恒成立，所以在上單調遞增；④當時，令，得，令，得或，所以在上單調遞減，在和上單調遞增．（2）當時，恒成立，則恒成立．（i）當時，不等式即，滿足條件．（ii）當時，原不等式可化為，該式對任意恒成立．設，則．設，則．因為，所以，所以在上單調遞增，即在上單調遞增．又因為，所以是在上的唯一零點，所以當時，，在上單調遞減，當時，，在上單調遞增，所以當時，，所以．（iii）當時，原不等式可化為，此時對于（ii）中的函數，可知當時，，所以在上單調遞減，且，所以當時，，即，所以在上單調遞減，所以當時，，所以．綜上所述，m的取值范圍是．5．【詳解】（1）函數，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程是.（2）函數的定義域是，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，所以函數的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.（3），，令，求導得，由（2）知，在上單調遞增，，，因此存在唯一，使得，即，當時，，即，當時，，即，因此函數在上單調遞減，在上單調遞增，于是，則，所以整數的最大值是3.6．【詳解】（1）當時，，，切線的斜率，又，所以切點為，所以，切線方程為（2）①.函數，，（?。┊敃r，當時，，，，則在上單調遞增，沒有極值點，不合題意，舍去；（ⅱ）當時，設，則在上恒成立，所以在上遞增，即在上遞增，又，，所以在上有唯一零點，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增，所以函數在區(qū)間內有唯一極值點，符合題意，綜上，的取值范圍是．②.由①知，當時，，當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增；所以時，，則，又因為，所以在上有唯一零點，即在上有唯一零點．因為，由①知，所以，則，設，，則，，，所以在為單調遞增，又，所以，又時，，所以．所以．由前面討論知，，在單調遞增，所以．7．【詳解】（1）當時，，依題意，，可得，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）函數的定義域為，①當時，，所以在上單調遞增，此時無極大值；②當時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，此時在處取得極大值，符合題意；③當時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，此時在處取得極大值，符合題意；④當時，令，解得，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，此時無極大值；綜上，實數的取值范圍為.（3）可以看作是動點與動點之間距離的平方，動點在函數的圖象上，在直線的圖象上，問題轉化為求直線上的動點到曲線的最小距離，由得，，解得，所以曲線上點到直線的距離最小，最小距離，則，根據題意，要使，則，此時恰好為垂足，由,可得，所以.8．【詳解】：（1），要使在上單調遞增，則在上恒成立.∴，∴，令，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增∴當x=1時，有最小值為，∴（2）∵，∴，設切點為，則∴，令，∴時，，單調遞減，當k＞1時，，單調遞增∴k＝1時，，∴時，k＝1.∴實數k的值為1.（3）要證只要證，兩邊同時除以得：，令得：所以只要證：，令∴，，∴即，∴原不等式成立.9.【詳解】（1）當時，，的定義域為，，曲線在點處的切線方程的斜率為，又則切線方程為.（2）若恒成立，則，設，，由，得，由，得，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，，所以.（3）令，則，即，則，因為，，……，，所以.10．【詳解】（1），切線斜率為，，切線方程為，∴（2）（?。?，；（ⅱ）即為，解得，，，當時，；當時，，且在區(qū)間，上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，，∵，∴在區(qū)間上單調遞增，，，令令，，∵，∴，在上單調減，，∴在上單調遞增，，，，在區(qū)間單調遞減因此在區(qū)間上存在唯一零點由已知，由（2）（?。?，，∴在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間上存在唯一零點綜上所述，在區(qū)間上存在3個零點．11．【詳解】（1）當時，，，所以，，

所以曲線在點處的切線方程為.（2），.①當時，，在上單調增，所以無極值；②當時，令，得，列表如下：單調遞減極小值單調遞增所以的極小值為，無極大值；綜上可得：當時函數無極值，當時極小值為，無極大值；（3）易知在上單調遞減，在上單調遞增，所以在上的最小值為.所以.

因為，由題意，對于任意的實數，，不等式恒成立，只需恒成立，所以，解得，又，所以.

①當時，因為，所以，由（2）知，在上單調增，所以.所以，所以在上單調增，則，解得，此時，②當時，由（2）知，在上單調遞增，且，又，所以存在，且，使得，即，得.所以的解為和，列表如下：a單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以，即，又，所以恒成立，此時，綜上所述，實數的取值范圍為12．【詳解】（1），令，解得，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以有極小值，所以，即.（2）證明：不等式恒成立，即恒成立，設，則，易知是定義域上的增函數，又，則在上有一個根，即當時，，當時，此時在單調遞減，在單調遞增，的最小值為，，，，恒成立，故結論成立.（3）證明：由（2）知，，令，則.由此可知，當時，，當時，，當時，，，當時，，累加得：，又，所以.13．【詳解】（1）因為函數，所以，.又因為，則切點坐標為，所以曲線在點處的切線方程為.（2）函數定義域為，由（1）可知，.令解得.與在區(qū)間上的情況如下：－0＋↘極小值↗所以，的單調遞增區(qū)間是；的單調遞減區(qū)間是.（3）當時，“”等價于“”.令，，，.令解得，當時，，所以在區(qū)間單調遞減.當時，，所以在區(qū)間單調遞增.而，.所以在區(qū)間上的最大值為.所以當時，對于任意，都有.14．【詳解】（1）由題設，則，即，故，又，則，所以.（2）由題設，要使D上的任意兩個變量s，t均有成立，所以在上成立，又在D上為嚴格增函數，即，同時在上恒成立，由解析式知：在上遞減，只需，故，由且，，即在上遞減，所以，故，可得.綜上，；（3）由題設，則且，，故，所以，而，，所以，又，且，當且僅當時等號成立，所以，同理，，且均在時等號成立，所以，綜上，，即成立.15．【詳解】（1）當時，,,,,曲線在點處的切線方程,切線方程.（2）當時，，則令，得；令，得；所以，函數的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為．（3）令，因為，所以方程，有兩個不相等的實根，又因為，所以，令，列表如下:-0+減極小值增所以存在極值點.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得對任意的有解，因此需要討論等式左邊的關于的函數，記，所以，當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以當時，的最小值為．所以需要，即需要，即需要，即需要因為在上單調遞增，且，所以需要，故的最小值是e．16．【詳解】（1）解：函數的定義域為，，當時，，所以在上單調遞增，當時，，所以在上單調遞減，所以在時取得最小值0.（2）證明：由（1）知，所以.由，得且，所以，即，從而.所以.（3）證明：依題意，有兩個不等正根，不妨設，由，得.設，由，知在上單調遞增，在上單調遞減.且當時，，可得，.，，令，則，當時，，所以，當時，，所以，所以在上單調遞減.因為，，所以，.由（2）當時，有，所以，即，所以，從而.令，所以在上單調遞減.所以，即.所以.所以，.所以.17．【詳解】（1）當時，，定義域為，令得：，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，故是函數的極小值點，的極小值為，無極大值（2），定義域為因為，所以，令得：，令得：，所以在單調遞增，在單調遞減.綜上：單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（3）存在，使得成立，等價于存在，使得，即在上有由（2）知，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以當，即時，在上單調遞減，故在處取得最小值，由得：，因為，故.當，即時，由（2）知：在上單調遞減，在上單調遞增，在上的最小值為令因為，所以，則，即，不滿足題意，舍去綜上所述：a的取值范圍為18．【詳解】（1）設切點坐標為，由，得，所以切線方程為：，即.因為直線與函數的圖象相切，所以，解得.（2）設，則，令，得，且當時，：當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以在時取得極小值為0，即.由，可得，所以即為，由題意可得：函數在上有零點.因為，當時，，函數在上單調遞增，所以，函數在上無零點：當時，令，得.①若，即時，在上恒成立，所以函數在上單調遞減，所以，函數在上無零點：②若，即時，當時，：當時，.所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，因為，所以函數在上無零點：又，令，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，即，所以，且在的圖象連續(xù)不斷，所以函數在上有且只有一個零點，即函數在上有零點.綜上所述，.（3）當時，，令，則，令，則當時，，所以函數在區(qū)間上是增函數，又，，所以函數存在唯一的零點，且當時，；當時，.所以當時，；當時，.所以函數在上遞減，在上遞增，故，由得：，兩邊取對數得：，故，所以，即.19.【詳解】（1）解：由函數，可得其定義域為，當時，可得，則，當時，可得，單調遞減；當時，可得，單調遞增，所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間.（2）解：當時，可得，則，因為恒成立，即恒成立，令，若，則，存在，使得，即，不符合題意，所以，取，則，可得，即存在，使得.（3）解：由函數，可得，設，因為，可得則又由，可得，所以函數為單調遞增函數，所以，即，所以，即，設，可得，所以當時，，即，所以，即，所以，代入可得：，則，所以.20．【詳解】（1）由，則，所以，即切點坐標為，切線斜率，故切線方程為，即；（2）（i）由題意有兩個不等的正根，等價于有兩個不等的實根，設，則，設，，則在為增函數，，，∴存在唯一的，使，得①.當時，則，為單調減函數；當時，則，為單調增函數.所以，代入①式得，當趨向于或時趨向，所以時，函數有兩個零點，即函數有兩個零點.（ii）設，而，所以在為單調遞增函數，由題意，恒成立即可，令，得，即有兩正根，，，設且，則有兩個正根，，由恒成立，故在上單調遞增，且，由，得，得，則，令，由，整理得，對于等價于在上恒成立，等價于在上恒成立，令，則，注意到，則，解得，當時，當時恒成立，所以在上單調遞增，則，所以在上單調遞增，則，所以符合題意；當時，，，存在使，又在上單調遞增，所以當時，為單調遞減，則，不合題意.綜上：實數的取值范圍.21．【詳解】（1）（i）由時，且，則，令，即，令，即，所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．（ii），兩側同時取對數，有，設函數，則，令，有，當時單調遞增，當時單調遞減，所以，又，且時，所以與有且僅有兩個交點，即與有兩個交點的充要條件為，即，所以的取值范圍為．（2）曲線在處的切線．曲線在處的切線．要證當時，存在直線是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，使得和重合．只需證明當時，①，②兩式有解，由①得：，代入②得：③，因此，只需證明當時，關于的方程③存在實數解．設，即證明當時存在零點．對于：時，且時單調遞減，又，故存在唯一，使．由此，在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得極大值．因為，故，下面證明存在實數，使得．令且，則，所以在上遞增，故，即，當時，有，根據二次函數的性質，存在實數使得，因此當時，存在使得．所以當時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．22．【詳解】（1）解：當時，，定義域為，所以，令得，所以，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以，函數在處取得最小值，.（2）解：由（1）知，當時，，即，所以，要證成立，只需證，令，則，所以，當時，恒成立，所以，函數為單調遞增函數，所以，，即，所以，所以成立（3）解：因為函數對恒成立所以對恒成立，令，則，當時，，在上單調遞增，

所以，由可得，即滿足對恒成立；當時，則，，在上單調遞增，

因為當趨近于時，趨近于負無窮，不成立，故不滿足題意；當時，令得令，恒成立，故在上單調遞增，因為當趨近于正無窮時，趨近于正無窮，當趨近于時，趨近于負無窮，所以，使得，，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，只需即可；所以，，，因為，所以，所以，解得，所以，，綜上，實數a的取值范圍為23．【詳解】（1），，則所以在點處的切線方程為即（2）因為，所以，①當時，因為，所以，函數的單調增區(qū)間是，無單調減區(qū)間，無極值②當時，令，解得，當時，；當，，所以函數的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是，在區(qū)間上的極小值為，無極大值.綜上，當時，函數的單調增區(qū)間是，無單調減區(qū)間，無極值當時，函數的單調減區(qū)間是，單調增區(qū)間是，極小值為，無極大值.（3）因為對于任意，都有成立，所以，即問題轉化為對于恒成立，即對于恒成立，令，則，令，，則，所以在區(qū)間上單調遞增，故，進而，所以在區(qū)間上單調遞增，函數，要使對于恒成立，只要，所以，即實數m的取值范圍是.24.【詳解】（1）因為函數，則，當時，，函數在上單調遞增，無極值；當時，令，解得，所以函數在上單調遞增，若時，，所以函數在上單調遞減，當時，函數取極小值，無極大值，綜上：當時，函數在上單調遞增，無極值；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，函數取極小值，無極大值.（2）由題意可得；當時，，函數在上單調遞增，所以函數最多一個零點,與題意矛盾；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，不妨設，則有，兩式相減得，兩式相加得，欲證，即證，即證，也即證，即證，令，，則，所以函數在上單調遞增，因為，所以，所以得證，即.（3）存在，理由如下：設切點為，因為，所以切線的斜率為，則切線方程為，因為切線過點，所以，即，若過點可以作兩條直線與曲線，相切，則上述關于的方程至少有兩個不同的解，顯然不是該方程的解，所以關于的方程在上至少有兩個不同的解，令，則，令，則，當時，，所以函數在上單調遞減；當時，，所以函數在上單調遞增；所以，則當時，，函數在上單調遞減；在上單調遞增，因為，，則函數的大致圖象如下圖所示：

結合圖象可知：當時，關于的方程在上有兩個不同的解，此時過點可以作兩條直線與曲線，相切，所以實數的取值范圍為.25．【詳解】（1）解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因為，

所以，令，則，∴在上單調遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調遞增.（3）解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調遞增，∴，∴∴在上單調遞增，又因為，∴，所以命題得證.26．【詳解】（1）因為，所以，所以，又在處的切線與軸平行，所以，所以，所以，即