系統(tǒng)運動穩(wěn)定性

穩(wěn)定的現(xiàn)象穩(wěn)定的擺不穩(wěn)定的擺穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件。外部穩(wěn)定性通過系統(tǒng)的輸入-輸出關系來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。內部穩(wěn)定性通過零輸入下的狀態(tài)運動響應來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。描述穩(wěn)定性有兩種方法在研究運動的內部穩(wěn)定性時，為體現(xiàn)出系統(tǒng)自身結構的特點，常限于研究沒有外部輸入作用時的系統(tǒng)。也就是說內部穩(wěn)定性表現(xiàn)為系統(tǒng)的零輸入響應，即在輸入恒為零時，系統(tǒng)的狀態(tài)演變的趨勢。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于非線性、時變系統(tǒng)。

利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由于間接法需要解系統(tǒng)微分方程，并非易事，所以間接法的應用受到了很大的限制。李雅普諾夫第一法（間接法）先利用經(jīng)驗和技巧來構造李亞普諾夫函數(shù)，再利用李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需解系統(tǒng)微分方程，獲得廣泛應用。李雅普諾夫第二法（直接法）一外部穩(wěn)定性對于一個因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始條件為零，如果對應于一個有界的p維輸入u(t)，所產生的q維輸出y(t)也是有界的，則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定(BIBO穩(wěn)定)。外部穩(wěn)定性和內部穩(wěn)定性5.1線性時變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù)：對于零初始條件的線性時變系統(tǒng)，G(t,τ)為其單位脈沖響應矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件為：存在一個有限常數(shù)k，使對于一切，G(t,τ)的每一個元均滿足如下關系式：線性定常系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù)：

對于零初始條件的線性定常系統(tǒng)，G(t)為其單位脈沖響應矩陣，G(s)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充要條件為：存在一個有限常數(shù)k，G(t)的每一個元均滿足如下關系式：或G(s)的所有極點均具有負實部。二內部穩(wěn)定性令外界輸入u=0，初始狀態(tài)任意，如果零輸入響應滿足下列關系式：則稱該系統(tǒng)為內部穩(wěn)定，或漸近穩(wěn)定。線性時變系統(tǒng)內部穩(wěn)定判據(jù)：對n維連續(xù)時間線性時變自治系統(tǒng)，系統(tǒng)在時刻是內部穩(wěn)定的充要條件為：狀態(tài)轉移矩陣對所有為有界,并滿足漸近屬性即成立：線性時不變系統(tǒng)內部穩(wěn)定判據(jù)：對n維連續(xù)時間線性時不變自治系統(tǒng)，系統(tǒng)是內部穩(wěn)定的充要條件為：系統(tǒng)矩陣A所有特征值均具有負實部,即成立：三線性定常系統(tǒng)內部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關系兩種穩(wěn)定性有關系嗎？外部穩(wěn)定性內部穩(wěn)定性既能控又能觀時5.2李雅普諾夫意義下運動穩(wěn)定性的基本概念1．自治系統(tǒng)沒有外輸入作用時的系統(tǒng)稱為自治系統(tǒng)，可用如下系統(tǒng)狀態(tài)方程來描述:

式中：x為n維狀態(tài)向量，f(x,t)為線性或非線性、定?；驎r變的n維函數(shù)。具體為n個一階微分方程：2.受擾運動假定自治系統(tǒng)狀態(tài)方程是滿足解的存在且唯一性條件的，則可將系統(tǒng)由t0初始時刻的初始狀態(tài)x0所引起的運動（即狀態(tài)方程的解）表為：則初始狀態(tài)x0必滿足φ(t0;x0,t0)=x0。由于這一運動是由初始狀態(tài)的擾動引起的，因此常稱其為系統(tǒng)的受擾運動。3.平衡狀態(tài)(※)對于所有t，滿足的狀態(tài)xe稱為平衡狀態(tài)。若已知系統(tǒng)狀態(tài)方程，令所求得的解x，就是平衡狀態(tài)。在大多數(shù)情況下，xe=0即狀態(tài)空間原點為系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)。此外系統(tǒng)也可以有非零平衡狀態(tài)。系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，就是研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，也即偏離平衡狀態(tài)的受擾運動能否依靠系統(tǒng)內部的結構因素而返回到平衡狀態(tài)，或者限制在它的一個有限鄰域內。4李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性假若對于任意實數(shù)，都存在一個實數(shù)，使得從滿足下式的初始狀態(tài)出發(fā)的系統(tǒng)的所有解都滿足不等式則稱該系統(tǒng)的平衡態(tài)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。為歐幾里得范數(shù)，其幾何意義是空間距離的尺度。在上述穩(wěn)定的定義中，實數(shù)δ通常與ε和初始時刻t0都有關，如果δ只依賴于ε

，而和t0的選取無關，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。該定義的幾何含義是：設系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于以平衡狀態(tài)xe為球心、δ為半徑的閉球域S(δ)內，即若能使系統(tǒng)方程的解x(t;x0,t0)在t→∞的過程中，都位于以xe為球心，任意規(guī)定的半徑為ε的閉球域S(ε)內，即則稱平衡狀態(tài)xe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。5.漸近穩(wěn)定性

若系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe不僅具有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，且有則稱此平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。

經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義與漸近穩(wěn)定性對應。

若δ與t0無關，且上式的極限過程與t0無關，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。從工程觀點而言，漸近穩(wěn)定更為重要。漸近穩(wěn)定即為工程意義下的穩(wěn)定，而李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定則是工程意義下的臨界不穩(wěn)定。

6大范圍(全局)漸近穩(wěn)定性如果對于任意初始狀態(tài)x0，都能保證成立，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的，也稱為全局漸近穩(wěn)定。全局漸近穩(wěn)定系統(tǒng)只能有一個平衡狀態(tài)?。?！7不穩(wěn)定性如果對于某個實數(shù)ε>0和任一實數(shù)δ>0，不管ε多么大,也不管δ有多么小，在S(δ)內總存在著一個狀態(tài)x0，使得由這一狀態(tài)出發(fā)的軌跡超出S(ε)

，則平衡狀態(tài)xe就稱為是不穩(wěn)定的。xex0x1x2xe李雅普諾夫意義下穩(wěn)定xex0x1x2xe漸近穩(wěn)定xex0x1x2xe全局漸近穩(wěn)定xex0x1x2xe不穩(wěn)定5.3李雅普諾夫第二法的主要定理

李雅普諾夫第二法直接從系統(tǒng)的狀態(tài)方程出發(fā)，通過構造一個類似于“能量”的李亞普諾夫函數(shù)，并分析它和其一階導數(shù)的符號特征，從而獲得系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關信息。該方法無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，故又稱為直接法。

一．基本概念回顧設實系數(shù)二次型f(x)=xTAx，其中A是實對稱方陣，如果對任何不全是零的實數(shù)，簡記為x≠0，函數(shù)值f(x)>0，則稱f是正定的，同時也稱A是正定的，記為A>0。1．正定矩陣：單位陣是正定的：對角陣D=diag{d1,…,dn}正定的充要條件是所有對角元素di

>0。這是因為

的充要條件是di

>0。

A>0的充要條件是①存在可逆實方陣C，使A=CTC。②A的所有特征值全都大于0。③A順序主子式(即位于左上角的主子式)全大于0，即

標量函數(shù)V(x)對所有S域（域S包含狀態(tài)空間的原點）中的非零狀態(tài)x有V(x)>0且V(0)=0，則稱V(x)在S域內是正定的。如果時變函數(shù)V(x,t)有一個正定函數(shù)作為下限，也就是說，存在一個正定函數(shù)W(x)

，使得則稱時變函數(shù)V(x,t)在域S（域S包含狀態(tài)空間的原點）內是正定的。2．正定函數(shù)：3.負定函數(shù)：如果-V(x)是正定函數(shù)，則標量函數(shù)V(x)為負定函數(shù)。4.正半定函數(shù)：如果標量函數(shù)V(x)除了原點及某些狀態(tài)處等于零外，在域S內的所有其它狀態(tài)都是正定的，則V(x)為正半定函數(shù)。5.負半定函數(shù)：如果-V(x)是正半定函數(shù)，則標量函數(shù)V(x)稱為負半定函數(shù)。6.不定函數(shù)：如果不論域S多么小，在域S內的V(x)可能是負值也可能為正值，則標量函數(shù)V(x)稱為不定函數(shù)。(1)V(x,t)正定且有界；(2)負定且有界；結論5.10：對于時變系統(tǒng)，如果則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。(3)當||x||→∞時，V(x,t)→∞。存在一個對狀態(tài)x和時間t具有連續(xù)一階偏導數(shù)標量函數(shù)V(x,t),V(0,t)=0，且滿足如下條件：1大范圍一致漸近穩(wěn)定判別定理(時變)李雅普諾夫第二法主要定理二(1)V(x)為正定；(2)

為負定；對于定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(3)當||x||→∞時，V(x)→∞xe=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x),V(0)=0，并且對于狀態(tài)空間中的一切非零x滿足如下條件：2結論5.11（定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1）穩(wěn)定性例5.1：設系統(tǒng)狀態(tài)方程為試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：顯然,原點(x1=0,x2=0)是該系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。選取正定標量函數(shù)為:則沿任意軌線V(x)對時間的導數(shù)為:是負定的。

故V(x)是系統(tǒng)的一個李雅普諾夫函數(shù)。由于當時，，故系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(1)V(x)為正定；(2)

為負半定；對于定常系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4)當||x||→∞時，V(x)→∞xe=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x),V(0)=0，并且對于狀態(tài)空間中的一切非零x滿足如下條件：3結論5.12（定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2

）(3)對任意初始狀態(tài)，設系統(tǒng)狀態(tài)方程為例5.2設系統(tǒng)狀態(tài)方程為

試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對于定常系統(tǒng)，如果存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V（x），其中V（x）=0，滿足：則系統(tǒng)平衡狀態(tài)為不穩(wěn)定4.結論5.19不穩(wěn)定判別定理(1)V(x)為正定；(2)

為正定；其中，f(0)=0,即原點是系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。非線性定常系統(tǒng)：三李亞普諾夫函數(shù)的構造方法----克拉索夫斯基方法系統(tǒng)的雅可比矩陣為：

定理1：對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點平衡態(tài)的域Ω，若則有：其中定理2(克拉索夫斯基)：對連續(xù)非線性定常系統(tǒng)和圍繞原點平衡態(tài)的域Ω，原點為域內唯一平衡態(tài)，若則系統(tǒng)原點平衡態(tài)為域Ω內漸近穩(wěn)定平衡態(tài)。且為一個李亞普諾夫函數(shù)。定理3：對線性定常系統(tǒng),A為非奇異矩陣，若則系統(tǒng)原點平衡態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定平衡態(tài)。結論5.22/5.23[特征值判據(jù)]：考慮線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)的每一平衡態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有非正（負或零）實部，且具有零實部的特征值為A的最小多項式的單根；

一線性時不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)的唯一平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負實部。5.4連續(xù)時間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運動穩(wěn)定性判據(jù)

對于任意一個n階方陣A，總存在一個多項式f(s)滿足f(A)=0，這樣的多項式稱為A的一個化零多項式。

由凱萊—哈密爾頓定理可知任意一個方陣A都是它的特征方程：

的根，即α(A)=0

,故矩陣A的特征多項式是A的一個化零多項式。方陣A的化零多項式不唯一，有無窮多個，在所有化零多項式中，次數(shù)最低且最高次冪項系數(shù)為1的多項式稱為A的最小多項式。最小多項式（補充）：定理：已知設m(s)為adj(sI-A)中所有元素的首1最大公約式,則為矩陣A的最小多項式。注：換言之，矩陣A的最小多項式就是(sI-A)-1中所有元素的最小公分母。例（補充）：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：1）系統(tǒng)矩陣A為奇異矩陣，故系統(tǒng)存在無窮多個平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為，其中x1和x2為任意實數(shù)，即狀態(tài)空間中x1—x2平面上的每一個點均為平衡狀態(tài)。得特征值分別為：。2）解系統(tǒng)的特征方程零實部?。?）故最小多項式為f(s)=s(s+1)。系統(tǒng)所有特征值均具有非正實部，且具有零實部的特征值是最小多項式的單根，因此系統(tǒng)的每一個平衡狀態(tài)都是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。例：判斷下述線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：系統(tǒng)矩陣A為非奇異，顯然原點x=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。得特征值分別為：

系統(tǒng)的所有特征值都具有負實部，所以系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)xe=0是漸近穩(wěn)定的。解系統(tǒng)的特征方程作為可能的李雅普諾夫函數(shù)?，F(xiàn)在只需保證是負定的，則根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，可斷定系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。

設線性定常系統(tǒng)為A為非奇異矩陣。故狀態(tài)空間的原點是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。通?？蛇x取正定二次型函數(shù)二線性時不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)欲使是負定函數(shù)，即要求矩陣Q是任意正定矩陣。根據(jù)定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1，只要給定一個正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣代數(shù)方程：有正定解P，系統(tǒng)就是大范圍漸近穩(wěn)定的。推導V(x)對時間導數(shù)滿足要求的條件：令：李亞普諾夫矩陣代數(shù)方程結論5.24※線性定常系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對于任意給定的一個正定對稱矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有唯一正定對稱矩陣解P。注意：使用中常選取Q陣為單位陣或對角陣。例（※）設線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程為解：令李雅普諾夫方程為試用李雅普諾夫方程判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。則有：得到3個線性方程：由于，故P負定，則系統(tǒng)不是漸近穩(wěn)定的。得到：

解得特征值為：有一個特征值具有正實部，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了對比，下面用李亞普諾夫間接法判斷：A是非奇異矩陣，故xe=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，且

根據(jù)