向量的數(shù)量積(第1課時(shí))

（第一課時(shí)）6.2.4向量的數(shù)量積問(wèn)題1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算

復(fù)習(xí)舊知溫故知新這些運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量向量有大小和方向，是矢量，那它和標(biāo)量能產(chǎn)生聯(lián)系嗎？類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問(wèn)題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？與向量的數(shù)乘一樣嗎？一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念問(wèn)題2：某人拉車，沿著繩子方向上的力為，車的位移為，力和位移的夾角為，力所做的功為多少？一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念問(wèn)題3：決定功的大小的量有哪幾個(gè)？一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念問(wèn)題4：如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？?jī)蓚€(gè)向量的乘積等于向量的大小及其夾角余弦的乘積。

功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；

與

反向OAB

與

同向OAB

兩個(gè)非零向量

和，作，則叫做向量

和

的夾角．記作：與

垂直O(jiān)AB注意:在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的問(wèn)題5：不共線的向量有不同的方向，它們的位置關(guān)系可用夾角來(lái)表示。如何定義向量的夾角？OAB

已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積（innerproduct）），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念10注意：(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos

的符號(hào)所決定．(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫(xiě)成

，不能寫(xiě)成

或，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．①兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；②零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即a·0=0；③符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替；④當(dāng)0≤θ＜時(shí)，cosθ＞0，從而a·b>0；

當(dāng)

＜θ≤π時(shí)，cosθ<0，從而a·b<0．?dāng)?shù)量積概念辨析：一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念例1

已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=，求a·b．解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×=5×4×(-)=-10．例2設(shè)|a|=12，|b|=9，a·b=-54，求a與b的夾角

．解：由a·b=|a||b|cosθ，得cosθ=

．

因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ=．一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入數(shù)量積概念

二、引入投影概念，體會(huì)投影意義觀察，你覺(jué)得是什么？如果加上向量符號(hào)呢？

二、引入投影概念，體會(huì)投影意義

設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，請(qǐng)你探究

與e，a，θ之間的關(guān)系．AA1Bbac

bac

顯然，與e共線，于是由于有正負(fù)，我們可以討論當(dāng)θ為銳角、直角、鈍角時(shí)的值。二、引入投影概念，體會(huì)投影意義

(1)當(dāng)θ為銳角時(shí)，

與e方向相同，

，所以；(2)當(dāng)θ為直角時(shí)，λ=0，所以

；(3)當(dāng)θ為鈍角時(shí)，

與e方向相反，所以

，

即

．特別地，當(dāng)θ=0時(shí)，λ=|a|，所以

；

當(dāng)θ=π時(shí)，λ=-|a|，所以

．AA1B二、引入投影概念，體會(huì)投影意義

追問(wèn)：從上面的探究我們看到，兩個(gè)非零向量a與b相互平行或垂直時(shí)，a在b上的投影具有特殊性．這時(shí)，它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？a與b相互平行a與b相互垂直a·b=|a||b|a·b=0如果a·b=0，無(wú)法判斷a=0，或b=0．二、引入投影概念，體會(huì)投影意義如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？(1)

；(2)若與同向，則

；若與反向，則

；特別地，

，

依據(jù)數(shù)量積定義完成以下問(wèn)題(與是非零向量)(4)

.≤(3)

；判定兩向量垂直用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(與是非零向量)三、研究數(shù)量積的性質(zhì)總結(jié)一、向量的數(shù)量積二、向量的投影三、向量數(shù)量積的性質(zhì)a·b=|a||b|cosθ目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1．下列各式中正確的是（

）．A．0

a=0

B．0

a=0

C．0

a=0

D．0

a=02．已知e為單位向量，|a|=4，a與e夾角為，則a在e方向上的

投影向量為

．3．已知|a|=3，|b|=8，則：（1）當(dāng)a

b=0時(shí)，a與b的關(guān)系為

．（2）當(dāng)a

b=24時(shí)，a與b的關(guān)系為

．（3）當(dāng)a

b=-12

時(shí)，a與b的夾角為

．在學(xué)生所處的現(xiàn)實(shí)生活中為了讓在教學(xué)“自由落體運(yùn)動(dòng)”時(shí)，除了教材安排的演示實(shí)驗(yàn)之外，教師還可以引入生活中的趣味情境：教師將一小塊鐵片、一片樹(shù)葉拿在手中，詢問(wèn)如果教師將手中的物品從空中扔下，哪一個(gè)會(huì)先落地？積極思考后，有的學(xué)生表示是鐵片;有的學(xué)生覺(jué)得未必，有可能是樹(shù)葉，還有的學(xué)生表示實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，需要看看實(shí)驗(yàn)結(jié)果。教師在學(xué)生的面前憑借生活情境的創(chuàng)設(shè)進(jìn)行演示，將生活中十分常見(jiàn)的事物作為教育資源進(jìn)行應(yīng)用，借助生活中趣味化的情境進(jìn)行教育引導(dǎo)，幫助學(xué)生完成知識(shí)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。

學(xué)生感受到物理與生活之間的關(guān)系，筆者組織學(xué)生借助“社會(huì)調(diào)查”的方式對(duì)生活中的物理現(xiàn)象進(jìn)行整理。比如：摩擦起電、電梯的失重和超重、彩虹的形成等，引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位自主將這些與物理知識(shí)有關(guān)的生活現(xiàn)象進(jìn)行整理。之后，在小組互補(bǔ)的過(guò)程中完善這一實(shí)踐調(diào)查的結(jié)果。之后，各小組在其中選擇一種現(xiàn)象，利用生活中常見(jiàn)的“用品”來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)論證，并嘗試用物理知識(shí)進(jìn)行解釋，以此幫助學(xué)生掌握相關(guān)的物理知識(shí)，為學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的提升打好基礎(chǔ)。而且，這樣的實(shí)驗(yàn)要比單純地要求學(xué)生在實(shí)驗(yàn)室里按照教材中的步驟進(jìn)行驗(yàn)證效果要好得多，學(xué)生的參與積極性也能被調(diào)動(dòng)，也能在這個(gè)過(guò)程中獲得成就感。除此之外，我們還可以直觀展示的方式將生活中的物理現(xiàn)象呈現(xiàn)在課堂上，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合所學(xué)進(jìn)行分析，以此讓學(xué)生真切地感受到物理與生活之間的密切關(guān)系。

有許多與物理學(xué)科有關(guān)的現(xiàn)象和素材，這為教師構(gòu)建“生活化”的物理實(shí)驗(yàn)提供了一定的素材支持。教師要善于利用生活中的素材來(lái)改進(jìn)物理實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生感受到物理課程的“生活性”特點(diǎn)，讓物理課堂逐漸回歸到現(xiàn)實(shí)生活中，將以往枯燥、沉悶的教學(xué)變得“活”起來(lái)，為物理課增添更多的生活氣息，逐漸轉(zhuǎn)變學(xué)生以往對(duì)物理課程的消極態(tài)度。因此，通過(guò)生活素材的引用在很大程度上可以改善物理課堂的氛圍，讓學(xué)生以更高的熱情投入對(duì)物理實(shí)驗(yàn)的建構(gòu)、分析中，使學(xué)生接下來(lái)的學(xué)習(xí)更簡(jiǎn)單。

例如，在教學(xué)“超重與失重”中的失重現(xiàn)象時(shí)，一般情況下