狀態(tài)和狀態(tài)空間模型

狀態(tài)和狀態(tài)空間模型1精品PPT·借鑒參考第一頁，共四十七頁。狀態(tài)和狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是建立在狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上的,因此,對這些基本概念進行嚴格的定義和相應(yīng)的討論,必須準確掌握和深入理解。狀態(tài)狀態(tài)變量狀態(tài)空間狀態(tài)空間模型2精品PPT·借鑒參考第二頁，共四十七頁。狀態(tài)空間的基本概念下面將給出動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)空間的概念,主要講授內(nèi)容為：系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量系統(tǒng)的狀態(tài)空間3精品PPT·借鑒參考第三頁，共四十七頁。1.系統(tǒng)的狀態(tài)和狀態(tài)變量動態(tài)(亦稱動力學)系統(tǒng)的“狀態(tài)”這個詞的字面意思就是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在將來的運動狀況。正確理解“狀態(tài)”的定義與涵義,對掌握狀態(tài)空間分析方法十分重要?！盃顟B(tài)”的定義如下。定義2-1

動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),是指能夠完全描述系統(tǒng)時間域動態(tài)行為的一個最小變量組。該變量組的每個變量稱為狀態(tài)變量。該最小變量組中狀態(tài)變量個數(shù)稱為系統(tǒng)的階數(shù)。4精品PPT·借鑒參考第四頁，共四十七頁?！盃顟B(tài)”定義的三要素完全描述。即給定描述狀態(tài)的變量組在初始時刻(t=t0)的值和初始時刻后(t

t0)的輸入,則系統(tǒng)在任何瞬時(t

t0)的行為,即系統(tǒng)的狀態(tài),就可完全且唯一的確定。動態(tài)時域行為。最小變量組。即描述系統(tǒng)狀態(tài)的變量組的各分量是相互獨立的。減少變量,描述不全。增加則一定存在線性相關(guān)的變量,冗余的變量,毫無必要。要掌握喔!5精品PPT·借鑒參考第五頁，共四十七頁。若要完全描述n階系統(tǒng),則其最小變量組必須由n個變量(即狀態(tài)變量)所組成,一般記這n個狀態(tài)變量為x1(t),x2(t),…,xn(t).若以這n個狀態(tài)變量為分量,構(gòu)成一個n維變量向量,則稱這個向量為狀態(tài)變量向量,簡稱為狀態(tài)向量,并可表示如下:圖2-1多輸入多輸出系統(tǒng)示意圖6精品PPT·借鑒參考第六頁，共四十七頁。狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測量或觀測的量,也可以是不能直接測量或觀測的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,沒有實際物理量與之直接相對應(yīng)的抽象的數(shù)學變量。7精品PPT·借鑒參考第七頁，共四十七頁。狀態(tài)空間狀態(tài)變量與輸出變量的關(guān)系狀態(tài)變量是能夠完全描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。而輸出變量是僅僅描述在系統(tǒng)分析和綜合(濾波、優(yōu)化與控制等)時所關(guān)心的系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性,并非系統(tǒng)的全部動態(tài)特性。因此,狀態(tài)變量比輸出變量更能全面反映系統(tǒng)的內(nèi)在變化規(guī)律?？梢哉f輸出變量僅僅是狀態(tài)變量的外部表現(xiàn),是狀態(tài)變量的輸出空間的投影,一個子集。輸出空間空間映射xy8精品PPT·借鑒參考第八頁，共四十七頁。2.

系統(tǒng)的狀態(tài)空間若以n個狀態(tài)變量x1(t),x2(t),…,xn(t)為坐標軸,就可構(gòu)成一個n維歐氏空間,并稱為n維狀態(tài)空間,記為Rn.狀態(tài)向量的端點在狀態(tài)空間中的位置,代表系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)。隨著時間的推移,狀態(tài)不斷地變化,t

t0各瞬時的狀態(tài)在狀態(tài)空間構(gòu)成一條軌跡,它稱為狀態(tài)軌線。狀態(tài)軌線如圖2-2所示。圖2-2二維空間的狀態(tài)軌線9精品PPT·借鑒參考第九頁，共四十七頁。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型是應(yīng)用狀態(tài)空間分析法對動態(tài)系統(tǒng)所建立的一種數(shù)學模型,它是應(yīng)用現(xiàn)代控制理論對系統(tǒng)進行分析和綜合的基礎(chǔ)。狀態(tài)空間模型由描述系統(tǒng)的動態(tài)特性行為的狀態(tài)方程和描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量間的變換關(guān)系的輸出方程所組成。下面以一個由電容、電感等儲能元件組成的二階RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)為例,說明狀態(tài)空間模型的建立和形式,然后再進行一般的討論。10精品PPT·借鑒參考第十頁，共四十七頁。例

某電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型如圖2-3所示。試建立以電壓ui為系統(tǒng)輸入,電容器兩端的電壓uC為輸出的狀態(tài)空間模型。解1.根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量所滿足的關(guān)系式。對本例,針對RLC網(wǎng)絡(luò)的回路電壓和節(jié)點電流關(guān)系,列出各電壓和電流所滿足的方程圖2-3例2-3的RLC電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)11精品PPT·借鑒參考第十一頁，共四十七頁。2.選擇狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的個數(shù)應(yīng)為獨立一階儲能元件(如電感和電容)的個數(shù)。對本例x1(t)=iL,x2(t)=uC3.

將狀態(tài)變量代入各物理量所滿足的方程,整理得一規(guī)范形式的一階矩陣微分方程組--狀態(tài)方程。每個狀態(tài)變量對應(yīng)一個一階微分方程,導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)為1,非導(dǎo)數(shù)項列寫在方程的右邊。12精品PPT·借鑒參考第十二頁，共四十七頁。對本例,經(jīng)整理可得如下狀態(tài)方程寫成向量與矩陣形式為：4.

列寫描述輸出變量與狀態(tài)變量之間關(guān)系的輸出方程。對本例13精品PPT·借鑒參考第十三頁，共四十七頁。其中5.

將上述狀態(tài)方程和輸出方程列寫在一起,即為描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的狀態(tài)空間模型14精品PPT·借鑒參考第十四頁，共四十七頁?？偨Y(jié)出狀態(tài)空間模型的形式為其中x為n維的狀態(tài)向量;u為r維的輸入向量;y為m維的輸出向量;A為n

n維的系統(tǒng)矩陣;B為n

r維的輸入矩陣;

C為m

n維的輸出矩陣;D為m

r維的直聯(lián)矩陣(前饋矩陣,直接轉(zhuǎn)移矩陣)。描述線性系統(tǒng)的主要狀態(tài)空間模型,切記!15精品PPT·借鑒參考第十五頁，共四十七頁。狀態(tài)空間模型的意義,有如下討論:狀態(tài)方程描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性,其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化。輸出方程描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系。系統(tǒng)矩陣A表示系統(tǒng)內(nèi)部各狀態(tài)變量之間關(guān)聯(lián)情況,它主要決定系統(tǒng)的動態(tài)特性。輸入矩陣B又稱為控制矩陣,它表示輸入對狀態(tài)變量變化的影響。輸出矩陣C反映狀態(tài)變量與輸出間的作用關(guān)系。直聯(lián)矩陣D則表示了輸入對輸出的直接影響,許多系統(tǒng)不存在這種直聯(lián)關(guān)系,即直聯(lián)矩陣D=0。16精品PPT·借鑒參考第十六頁，共四十七頁。上述線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可推廣至非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)。1.非線性時變系統(tǒng)其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分別為如下n維和m維關(guān)于狀態(tài)向量x、輸入向量u和時間t的非線性向量函數(shù)f(x,u,t)=[f1(x,u,t)

f2(x,u,t)…fn(x,u,t)]

g(x,u,t)=[g1(x,u,t)

g2(x,u,t)…gm(x,u,t)]

17精品PPT·借鑒參考第十七頁，共四十七頁。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(9/11)2.非線性系統(tǒng)其中f(x,u)和g(x,u)分別為n維和m維狀態(tài)x和輸入u的非線性向量函數(shù)。這些非線性函數(shù)中不顯含時間t,即系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)不隨時間變化而變化。3.線性時變系統(tǒng)其中各矩陣為時間t的函數(shù),隨時間變化而變化。18精品PPT·借鑒參考第十八頁，共四十七頁。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(10/11)4.線性定常系統(tǒng)為簡便,常將線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型簡記為

(A(t),B(t),C(t),D(t)).類似地,線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型亦可簡記為

(A,B,C,D).幾種簡記符的意義:19精品PPT·借鑒參考第十九頁，共四十七頁。系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型(11/11)20精品PPT·借鑒參考第二十頁，共四十七頁。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可以用結(jié)構(gòu)圖的方式表達出來,以形象說明系統(tǒng)輸入、輸出和狀態(tài)之間的信息傳遞關(guān)系。在采用模擬或數(shù)字計算機仿真時,它是一個強有力的工具。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖主要有三種基本元件:積分器,加法器,比例器,其表示符如圖2-4所示。21精品PPT·借鑒參考第二十一頁，共四十七頁。圖2-4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本元件

22精品PPT·借鑒參考第二十二頁，共四十七頁。例線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-5所示。圖2-5多輸入多輸出線性時變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖23精品PPT·借鑒參考第二十三頁，共四十七頁。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖若需要用結(jié)構(gòu)圖表示出各狀態(tài)變量、各輸入變量和各輸出變量間的信息傳遞關(guān)系,則必須根據(jù)實際的狀態(tài)空間模型,畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。圖2-6表示的是狀態(tài)空間模型如下所示的雙輸入-雙輸出線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。24精品PPT·借鑒參考第二十四頁，共四十七頁。線性系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖圖2-6雙輸入雙輸出線性定常系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖25精品PPT·借鑒參考第二十五頁，共四十七頁。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型建立被控對象的數(shù)學模型是進行系統(tǒng)分析和綜合的第一步,是控制理論和工程的基礎(chǔ).上一節(jié)討論了由電容和電感兩類儲能元件以及電阻所構(gòu)成的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的建立，其依據(jù)為各電氣元件的物理機理及電網(wǎng)絡(luò)分析方法.這種根據(jù)系統(tǒng)的物理機理建立對象的數(shù)學模型的方法稱為機理建模.機理建模主要根據(jù)系統(tǒng)的物料和能量(電壓、電流、力和熱量等)在儲存和傳遞中的動態(tài)平衡關(guān)系,以及各環(huán)節(jié)、元件的各物理量之間的關(guān)系,如電感的電壓和電流滿足的動態(tài)關(guān)系.26精品PPT·借鑒參考第二十六頁，共四十七頁。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型在實際工程系統(tǒng)中,許多過程和元件都具有儲存和傳遞能量(或信息)的能力。例如,機械動力學系統(tǒng)中的彈簧和運動中的質(zhì)量體都儲存有能量并能通過某種形式傳遞;化工熱力學系統(tǒng)中的物質(zhì)中的熱量的儲存與傳遞;化工反應(yīng)系統(tǒng)反應(yīng)物質(zhì)的物料傳遞和平衡的信息.對這些系統(tǒng),根據(jù)其物理和化學變化的機理,由相應(yīng)描述這些變化的物理和化學的定理、定律和規(guī)律等,可得系統(tǒng)各物理量之間所滿足的動靜態(tài)關(guān)系式.因此,在選擇適宜的狀態(tài)變量后,可建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型.27精品PPT·借鑒參考第二十七頁，共四十七頁。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型建立動態(tài)系統(tǒng)數(shù)學模型的主要機理/依據(jù)有:電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中回路和節(jié)點的電壓和電流平衡關(guān)系,電感和電容等儲能元件的電壓和電流之間的動態(tài)關(guān)系.機械動力學系統(tǒng)中的牛頓第二定律,彈性體和阻尼體的力與位移、速度間的關(guān)系.對旋轉(zhuǎn)運動,則相應(yīng)的為轉(zhuǎn)矩、角位移和角速度.化工熱力學系統(tǒng)中的熱量的傳遞與儲存,化工反應(yīng)工程系統(tǒng)中參加反應(yīng)的物料的傳遞和平衡關(guān)系.經(jīng)濟系統(tǒng)中的投入產(chǎn)出方程。28精品PPT·借鑒參考第二十八頁，共四十七頁。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型建立狀態(tài)空間模型的關(guān)鍵在于狀態(tài)變量的選取，它是建立狀態(tài)空間模型的前提狀態(tài)變量的主要選取辦法系統(tǒng)儲能元件的輸出系統(tǒng)輸出及其輸出變量的各階導(dǎo)數(shù)上述狀態(tài)變量的數(shù)學投影（使系統(tǒng)狀態(tài)方程成為某種標準形式的變量）29精品PPT·借鑒參考第二十九頁，共四十七頁。根據(jù)系統(tǒng)機理建立狀態(tài)空間模型下面通過常見的剛體力學系統(tǒng)、流體力學系統(tǒng)、典型化工(熱工)過程

機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)討論如何建立狀態(tài)空間模型.30精品PPT·借鑒參考第三十頁，共四十七頁。剛體動力學系統(tǒng)1.剛體動力學系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述圖2-7表示由彈簧、質(zhì)量體、阻尼器組成的剛體動力學系統(tǒng)的物理模型.試建立以外力u(t)為系統(tǒng)輸入,質(zhì)量體位移y(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.31精品PPT·借鑒參考第三十一頁，共四十七頁。剛體動力學系統(tǒng)(2/4)解對許多實際系統(tǒng),由于對系統(tǒng)的各種物理量的初始值或絕對值難于了解,一般將對物理量僅考慮在其相對于初始狀況之后的相對值。對本例的剛體力學系統(tǒng),一般先假設(shè)在外力u(t)作用于小車之前,小車已處于平衡態(tài)。下面僅考慮外力加入后,對小車運動的影響.系統(tǒng)的受力情況如下圖所示.32精品PPT·借鑒參考第三十二頁，共四十七頁。2.選擇狀態(tài)變量.對機械動力學系統(tǒng),常常將位移對本例,有剛體動力學系統(tǒng)(3/4)1.應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的內(nèi)部機理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所滿足的關(guān)系式.由牛頓第二定律有33精品PPT·借鑒參考第三十三頁，共四十七頁。剛體動力學系統(tǒng)4.建立輸出方程y=x15.經(jīng)整理,可得如下矩陣形式的狀態(tài)空間模型3.將狀態(tài)變量代入運動方程34精品PPT·借鑒參考第三十四頁，共四十七頁。圖2-8為串聯(lián)的兩個水槽,其截面積分別為A1和A2,當閥門的開度不變,在平衡工作點附近閥門阻力系數(shù)分別可視為常量R1和R2.圖中Qi,Q1和Qo為流量;h1和h2為水槽的水面高度.試求輸入為Qi,輸出為h2時的狀態(tài)空間模型.35精品PPT·借鑒參考第三十五頁，共四十七頁。流體動力學系統(tǒng)(2/5)下面在討論本例的解之前,先簡單總結(jié)一下如下流量與壓力(壓強)的關(guān)系.解

對本例的流體力學系統(tǒng),假設(shè)對兩個水槽的流入和流出的水流體已處于平衡.下面僅考慮流量Qi的變化量

Qi引起的水槽水位的變化.壓力流量電路電壓電流流體壓力(液位差)液體流量氣體氣壓差(壓強)氣流量(風量)壓力/流量電阻閥門阻力系數(shù)風阻力系數(shù)36精品PPT·借鑒參考第三十六頁，共四十七頁。流體動力學系統(tǒng)(3/5)1.

機理分析.根據(jù)水槽中所盛的水量的平衡關(guān)系和流量與壓力(水面高度,液位差)的關(guān)系,有其中

代表平衡工作點附近的變化量.將上述方程的中間變量

Q1和

Qo消去,則有37精品PPT·借鑒參考第三十七頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程為了使化學反應(yīng)向右進行,用蒸汽對反應(yīng)器內(nèi)的溶液進行加熱,蒸汽加熱量為q(t)。試以料液的流量Q(t)和蒸汽加熱量q(t)為輸入,容器內(nèi)的液體的溫度

(t)和濃度CA(t)為輸出,建立狀態(tài)空間模型。38精品PPT·借鑒參考第三十八頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程解1.機理分析.

在化學反應(yīng)中,一般應(yīng)保持熱量和物料的平衡關(guān)系。因此,對整個反應(yīng)器作熱量和物料平衡,就有其中V,ρ,CP分別為容器體積、比重和比熱;k為反應(yīng)速率常數(shù);

H為反應(yīng)熱。39精品PPT·借鑒參考第三十九頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程(4/5)2.選擇狀態(tài)變量.顯然,選擇容器內(nèi)的液體的溫度θ(t)和濃度CA(t)為狀態(tài)變量是合理的。因此,令x1(t)=θ(t)x2(t)=CA(t)3.

將狀態(tài)變量代入上述微分方程,則有如下狀態(tài)方程40精品PPT·借鑒參考第四十頁，共四十七頁。典型化工(熱工)過程上述狀態(tài)空間模型表示的是一個雙輸入雙輸出的非線性定常系統(tǒng)。和輸出方程41精品PPT·借鑒參考第四十一頁，共四十七頁。機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)4.機電系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

圖2-10表示某電樞控制的直流電動機,其中Ra和La為電樞回路總電阻和總電感,J為轉(zhuǎn)動慣量,負載為摩擦系數(shù)為f的阻尼摩擦.試列寫以電樞電壓u(t)為輸入,軸的角位移

(t)為輸出的狀態(tài)空間模型.42精品PPT·借鑒參考第四十二頁，共四十七頁。機電能量轉(zhuǎn)換系統(tǒng)解

1.

電動機勵磁電流不變,鐵心工作在非飽和區(qū).按照圖2-10所描述的電動機系統(tǒng),可以寫出如下主回路電壓方程和軸轉(zhuǎn)動動力學方程其中Ea和M分別為如下電樞電勢和轉(zhuǎn)矩Ea=Ced

/dt,M=CMia其中Ce和Cm分別為電樞電勢常數(shù)和轉(zhuǎn)矩常數(shù)