數(shù)值分析期末考試題庫及答案

［數(shù)值分析］題庫

單項選擇題（每小題2分，共10分）

■1x10-5,則該數(shù)是（

1.在下列四個數(shù)中，有一個數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為)

2

B

A0.001523D0.15230

C0.01523X1.52300

>X

之…〉乙，則AT的主特征值是（）

2.設方陣A可逆，且其n個特征值滿足:112

1BJ

八~~又一

1n

D11

C匕或九丁或又一

1n

In

.（k+l）.（A）

3.設有迭代公式X=Bx+f。若1囘|>1,則該迭代公式（）

A必收斂B必發(fā)散

C可能收斂也可能發(fā)散

4.常微分方程的數(shù)值方法，求出的結(jié)果是（）

A解函數(shù)B近似解函數(shù)

C解函數(shù)值D近似解函數(shù)值

5.反幕法中構(gòu)造向量序列時，要用到解線性方程組的（）

A追趕法BLU分解法

C雅可比迭代法D高斯一塞德爾迭代法

填空題（每小題4分，共20分）

x+x=4

23

1.設有方程組〈X-2x+3x=1則可構(gòu)造高斯一塞徳爾迭代公式為

I23

2x-x+x=0

I23

-一------

F1O

力-

211曲

設

Z一-

-

8

11

3iSjz'=x+2y2,y（0）=l,則相應的顯尤拉公式為“］=-----------------

4.設/口）=。乂+1,9。）=乂2。若要使/（乂）與9（乂）在［0,1］上正交，則。=__

->->

5.設X=（2,—2,—1）7,若有平面旋轉(zhuǎn)陣P,使pX的第3個分量為0,貝IJP=I

11

三.計算題（每小題10分，共5（）分）

1.求J方的近似值。若要求相對誤差小于0.1%,問近似值應取幾位有效數(shù)字？

第1頁共30頁

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2.設/（x）=X-2X4,若在卜1,0］上構(gòu)造其二次最佳均方逼近多項式，請寫出相應的法方程。

3.雰有方程組

x+2x-2x=1

123

'Xi+X2+X3={，考察用雅可比迭代解此方程組的收斂性。

2x+2x+x=1

1123

4.試確定常數(shù)A,B,C及a,使求積公式

f1

f/（x）dx=4/（-a）+的（0）+V（a）

一1

為高斯求積公式。

5.設有向量戈=（2,1,2）7,試構(gòu)造初等反射陣H,使H3=（3,0,0）、

四.證明題（每小題10分，共20分），

x2+4

1.V設有迭代公式=；，試證明該公式在x*=4鄰近是2階收斂的，并求

k+i2x—3

X-4k

lim__k±j____

KT8（X-4）2°

TTkf?IEfl

2設X,，是n維列向量，Q為n階正交矩陣，且V=QX,試證》=X。

22

模擬二

一、單項選擇題（每小題2分，共10分）

1.在下列四個數(shù)中，有一個數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為

A0.00217B0.02170

C0.21700D2.17000

2.已知入是A的特征值，p是給定參數(shù)，則B=A-pE的特征值是（）。

A入+pB入-p

C九+2pD九-2p

_＞（k+l）Jk）.

3.設有迭代公式X=BX+/,則是該迭代公式收斂的（）。

A充分條件B必要條件

C充分必要條件

4.三次樣條插值法中遇到的線性方程組應該用（）求解。

A雅可比迭代B高斯-塞德爾迭代

C平方根法D追趕法

5.若尤拉公式的局部截斷誤差是°（加），則該公式是（）方法。

A1階B2階

C3階D無法確定

二、填空題（每小題4分，共20分）

第2頁共30頁

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a)

2X2-x3=1

設有方程組彳2x+x3=1

b)則可構(gòu)造高斯一塞德爾迭代公式為

X+X+X=-1

I23

C)設y'="+2,則相應的顯尤拉公式為y,=--------------------------.

n+1

->—

d)設X=(1，2,—3)7,若有平面旋轉(zhuǎn)陣P,使pX的第3個分量為0,則P=

e)設/(x)=ax-2,g(x)=2x2.若要使/(x)與g(x)在［_l,0］上正交，貝心=______

三.計算題(每小題10分，共50分)

1.設/(x)=x3-2x，若在［0,1］上構(gòu)造其二次最佳均方逼近多項式，請寫出相應的法方程。

2.求屁的近似值。若要求相對誤差小于1%,問近似值應取幾位有效數(shù)字？

3.設有方程組

2x—x+x=0

123

<X1+X2+X3=l，考察用雅可比迭代解此方程組的收斂性。

x+x-2x=-1

iI23

4,試確定常數(shù)A,B,C及a,使求積公式

f1

Jf(x)dx=4/(-a)+時(0)+Cf(a)

—1

有盡可能高的代礬呼，則可該公式是否為高斯求積公式。

5.設有向量乂=匕_,一4,試構(gòu)造初等反射陣H,使”X=(1，0,0)T

四.證明題(共20分)

(X2-2)

1.設有迭代公式X=x一一：一一，試證明該公式。在X*=J2附近是平方收斂的，并

k+1k2X

k

1.X-匣

求lim.kx市?

-J2)2

2.設L(如是/(x)的一次拉格朗日插值，試證：

1

第3頁共30頁

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|/(X)-L(X)^1QC~~-X)2max|/”(X)

18?°xVx<x

01

模擬三

一、單項選擇題（每小題2分，共1（）分）

1、若近似410.（）0230具有7位有效數(shù)字，貝］其較小的絕對誤差限為（）。

A.—X10-7B.—xlO-6

22

11

C.一X10-5D.—X10-4

22

2、若已知迭代過程X=屮（X）是3階收斂，C是不為零的常數(shù)，則下列式子中，正確的式子是

k+1k

（）ovY

limx—xlim—x*

A.一k±l-3B.

…x_X*

Yk

limA-xlimX"—x*

c.一田---=CD.___________=C

38X-X*

kk

3、4階牛頓―柯特斯求積公式至少具有（)次代數(shù)精度。

A.4B.5C.8D.9

4、三次樣條插值與二階常微分方程的邊值問題中，都會用到求解線性方程組的（)?

A.LU分解法B.追趕法C.高斯消去法D.平方根法

設A的特征值滿足I入|>|九|>'''>|^

5、，則相應幕法的速比)。

入X

Ac高D.7T2-

-看Kn

1

填空題（每小題4分，共20分）

1、過節(jié)點X。=-1,X|=0,X,=1做近似/(X)=X3—2的二次拉格朗日插值，其表達式

是。

2、若

S(X)=h乂3Q<X<\

\Z(x-1)3+cz(x-1)2+b(x-1)+c1<x<3

是三次樣j函超］則0=-------------b=

,貝")二—

3、設2=卜1_

00

4、設C=PA,其中P是三階平面旋轉(zhuǎn)陣，

F2-111|

A=.03-1,若使C=o,則P—

II31

第4頁共30頁

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|_-3121

第5頁共30頁

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5、設y=2^2-i,則相應的隱尤拉公式為-----------

計算題（每小題10分，共50分）。

利用最小二乘法原理，求矛盾線性方程組

X-X=1

<XrX2=2的近似解。

2x-x=1

121

AJI->_->

-ir/b%

設丨丨，I?。若線性方程組

2、5x=匕僅有右端有擾動

L11-2」〔-1丿

..8x

上方=名義10-4。試估計由此引起的解的相對誤差>s。

8X

00

1

3、確定求積公式J/（x）dx=4o/（T）+4J（°）+4J⑴，并指明其代數(shù)精度。

［一］

x+2x-x=1

123

X+x+X=

4、設有方程組j123°，試考察求解該方程組的高斯-塞德爾迭代公式的斂散性。

2x+2x+x=-1

123

5、設有方程X2—2x—3=0。試確定迭代函數(shù)屮（X）,使迭代公式X=屮（））在

k+1k

X*=3附近收斂，并指出其收斂階。

四、證明題（每小題1（）分，共20分）

1、設〃是n階正交矩陣，A是n階方陣。試證明IIAU\\^\\UA\\=\\A\\。

___________222

（提示：11，.=JP（"））

2、設有差分公式y(tǒng),=y+-（3y‘一y’）。試證明該公式是二階公式。

n+1nOnn~*

模擬四

一、單項選擇題（每小題2分，共10分）

1、按四舍五入原則，數(shù)-700038的具有4位有效數(shù)字的近似值是（）。

A.-7.0004B.-7.000

C.-7D.-7.0003

2、若行列式I七一41=0,其中E是n階單位陣，A是n階方陣，則A的范數(shù)滿足（）。

A.IMII>1B.IMa1

C.IIA||<1D.II*區(qū)1

3、條件數(shù)Cond(/)=()。

A.|4114T|B.IM-/1-1II

第6頁共30頁

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c-"X-II

4、設A是n階方陣，則A可作唯一LU分解的充分必要條件是（）。

A.I//。B.A為正交陣

C.A為對稱正定陣D.A為對角占優(yōu)陣

5、判定某數(shù)值求積公式具有m次代數(shù)精度，只需該公式滿足條件（）。

A.公式對Xm準確成立，而對Xm+1不準確成立

B.公式對任意次數(shù)不超過m次的多項式準確成立

C.公式對任意次數(shù)為m+1次的多項式不準確成立

D.公式對任意次數(shù)不超過m的多項式準確成立，而對Xm+1不準確成立

二、填空題（每小題4分，共20分）

1、設片是方程/（X）=0的單根，（P（X）是對應的牛頓迭代函數(shù)。若/（X）在X*鄰近二階連續(xù)，

則屮'（X*）"。

2,次/（X）=X2+3x+1,則二階均差/［—1,0,1］=。

3,設R是含X*的鄰域。要使迭代公式X=X一%/（X）在R內(nèi)局部收斂，/，（x）應滿足

k+1k//k

條,

4、設x=（-2,l,l）T。若存在平面旋轉(zhuǎn)陣P,使pX=（-2rI，0）T,則p=。

5、設有數(shù)值求積公式，f（x）dx^f（a）+f（-a）。若該公式為高斯公式，則Q—

三、計算題（每小題10分「共50分）。

1、設9=span”,x,x2-/（x）=ex。試求/（x）在m，［］上的二次最佳均方逼近

多項式。

2、設曲線^=2X2+1和J/2+（X—4）2=R2相切。試構(gòu)造求切點橫坐標的近似值的收斂

迭代公式。

031

3、設4=04-2試求其QR分解。

212

力（k+i）＞（幻＞（外右

4、已知迭代公式》=BX+3x。設九是B的任意特征值，試確定使迭代公

式收斂的人的取值范圍。

5、設2，若用復化梯形K螃誤°/（x）dx的近似值，要求準確到小數(shù)點后第

-1

4位，問步長h應如何取值？

四、證明題（每小題10分，共20分）

第7頁共30頁

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1aa

1、設矩陣』=ala。

aa1

證明雅可比迭代法應用于解方程組Zx=b只對一%<a<%是收斂的。

2、證明：當|舊||<1時，E+B是可逆矩陣，且II（E+。其中IITI是指矩陣的

I-IID||

算子范數(shù)。

模擬五

一、單項選擇題（每小題2分，共10分）

1、厶階方陣A可作LU分解的一個充分條件是人為（）。

A.對角占優(yōu)陣B.正交陣

C.非奇異陣D.對稱正定陣

A

2、設n階方陣及單位陣E滿足I3E—A1=°,則譜半徑P（力）（)o

A.<3B.W3

C.>3D23

X-X"

x=屮(X)是p階收斂，則lim—---------)o

3、若迭代公式

卜+1kk->8(X-X*)P

k

A.0B.p!

c,屮（P）（X*）D.<p（p）（x*）/p!

4、設厶八仁）和Nzi（x）是相同的插值條件下關(guān)于f（x）的拉格朗日插值和牛頓插值，則下述式子中

正確的是（）。（其中w（x）="（x—x））

j=0

丿",X,...,X]W(X)

(n+1)!oin

B./(x)-Nn(x)w—-

5+1)!

c.f(x)-Ln(x)豐f[x,x,xxJuz(x)

01n

D.f(x)-Ln(x)=f[x,x,xx]w(x)

01n

5、稱函數(shù)￡(x)為[a,b]上的三次樣條函數(shù)，是指￡(X)滿足條件(

A.為分段三次多項式且有二階連續(xù)導數(shù)

B.為分段三次多項式且有三階連續(xù)導數(shù)

C.為分段函數(shù)且有任意階導數(shù)

D.為分段三次埃爾米特插值多項式

二、填空題（每小題4分，共20分）

1、若已知X的相對誤差為1%,則/（X）=X10的相對誤差為______

2、設/（X）=X3—1,則過節(jié)點一1,0,1的二次牛頓插值多項式為-----------

第8頁共30頁

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3、設有求積公式4/（一丄）+4/（

是插值型求積公式，則

0J31

A?A=

0一’1

4、設/(x)=X,若其在［0,1］上與g(x)=QX2+b帶權(quán)p(x)=Jx正交，則Q與b

的關(guān)系為.

x-2J2

5、設求解x2-8=0的牛頓迭代公式平方收斂，x是相應迭代序列值，則lim—u----三一

kk->8（X—2,2）2

k

三、計算題（每小題10分，共50分）

i、

X-1013

y-11331

y428

試求y’（o）及y'（i）的近似值。

2、確定參數(shù)a,b,c,使積分

1J

I(Q,瓦c)=I［ax2+bx+c-J1一X212一f--------dx取得最小值。

yjl-X2

x>0

3、設/（X）=

x<0

試確定用牛頓法求解/（X）=°時的收斂性及收斂階數(shù)。

->（A+D一〉（A）->R

4、已知迭代公式X=Bx+匕，設卩為”的任意特征值，設確定使迭代公式收斂的卩的

取值范圍。

064

5、設A=08—4,求其QR分解。

424

四、證明題（每小題10分,共20分）

設/(x)=Zaxk有n個不同的實根XJXJ..,》證明

1、k

k=0

ynXjf00<;<n-2

乙k二

n-l(aWO)

kJ')必n

2、設厶是對稱矩陣，入，x（llx||=1）A

2是的一個特征值及其相應的特征向量。又設P是一個正

交陣，使

Px=e、=（1,0,0,...,0）r

證明：的第一行和第一列除了九外，其余元素均為零。

模擬六

第9頁共30頁

［數(shù)值分析］題庫

單項選擇題(每小題2分，共1()分)

6.若某個迭代公式"=屮W)是三階收斂的，ej「x*,c是非零常數(shù)，則當k-8

時，有()

A->C

e/f3

。/A

7.已知九%A的特征值，p是給定參數(shù),

則B=A-pE的特征值是()

A九+pB^-p

C九+2pD'-2P

8.龍貝格算法是求()的算法。

A微分方法B插值函數(shù)

C數(shù)值積分D線性方程組

9,若|B-E|=0,則譜半徑()

AP(B)<1BP(B)>1

cP(B)<1DP(B)>1

10.反裏法中構(gòu)造向量序列時，要用到解線性方程組的()

A高斯一塞德爾迭代法BLU分解法

C雅可比迭代法D追趕法

填空題(每小題4分，共20分)

1、若某近似數(shù)具有6位有效數(shù)字,已知第一個非零數(shù)字在個位上，則其絕對誤差限為--------

2、求/(X)=在［0,1］上的一次最佳均方逼近多項式時所用的法方程為--------

3、設y'=x+2y2,jz(0)=l,則相應的顯尤拉公式為y=_________________.

n+l

4、矩陣的條件數(shù)是用來判斷線性方程組是否為.

5、設獷=(l,-l,T/2)r,若有平面旋轉(zhuǎn)陣P,使px的第3個分量為0,則P=

LJ

三、計算題(每小題10分，共50分)

1、為了使計算圓面積'=兀R2時的相對誤差小于1%,問R的允許相對誤差界應是多少？

2x+x+4x=-1

I23

2、用順序消去法解線性方程組《3X+2x+x=4

123

x+2x+4x=-1

l123

3、試確定常數(shù)A,B,C及a,使求積公式

r2

ff(x)dx=Af(-a)+Bf(0)+Cf(a)

一2

有盡可能高的代數(shù)精度，并問該公式是否為高斯求積公式。

4、設有向量戈=(2,1,2)7,試構(gòu)造初等反射陣H,使"x=(3,0,0)T

第10頁共30頁

［數(shù)值分析］題庫

5、用尤拉方法求解初值問題＜y步長取0.2,迭代2次。

〔y（0）=1

四、證明題（共20分）

］,設迭代函數(shù)0（％）在區(qū)間［a,b］上對任意％e［a,勿總有aW（I）（%）＜》，且,’（x）|＜1,試證明

x=巾（%）在［a,b］內(nèi)有且僅有一個解。

2設［（%）（k=0,1,2,…,n）是n次拉格朗日插值基函數(shù)，試證％1（%）=%，?（j=0,l,2,....

k=O

n）

模擬七

一、單項選擇題（每小題2分，共10分）］

1、若下列數(shù)中，有一個數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為3義1°"則該數(shù)是（

A0.001523B0.15230

C0.01523、D1.52300.

2、已知A的某一特征值是人,p是給定參數(shù)，則B=A-pE對應人的特征值是（）

A入+pB入-p

C入+2pD入-2p

3、若某個迭代公式X-=屮（匕）是三階收斂的，6-=匕一次*,c是非零常數(shù)，則當kT8

2+1kk+\k

時，有（）

4、三次樣條插值法中遇到的線性方程組應該用（）求解

A雅可比迭代B高斯-塞德爾迭代

C平方根法D追趕法

5、反幕法中構(gòu)造向量序列時，要用到解線性方程組的（）

A追趕法BLU分解法

C雅可比迭代法D高斯一塞德爾迭代法

五、填空題（每小題4,共20）

x2+x3=2

2%一482+6尤3=1，則可構(gòu)造高斯一塞德爾迭代公式為

2x-x+x=0

{I23

第11頁共30頁

[數(shù)值分析]題庫

01

廠1

一14

2設-2

、-1H

1

1

3、矩陣的條件數(shù)是用來判斷線性方程組是否為---------

4、設f(x)=ax—2,g(x)=2x2若要使小)與g(x)在[-1,0]上正交，貝U。=________

T-

5、設X=(1,-1「1/2)T,若有平面旋轉(zhuǎn)陣P,使px的第3個分量為0,則p=|

IL」

六、計算題(每小題10分，共50分)_____

1、近似數(shù)x*=0.937具有三位有效數(shù)字，試估計X*的相對誤差。對于f(x)=Jl-x,試估

計f(x*)的相對誤差。

[x+2x-2x=1

123

2、取初始向量x(。)=(0,0,0)7,用雅可比迭代法求解線性方程組〈X+x+x=3

!123

2x+2x+x=5

I123

3、已知f(x)的三個點(0,1),(—1,5),(2,—1),寫出拉格朗日插值基函數(shù)，并求/(x)的二次插值

多項式。

4、試確超常數(shù)A,B,C及D,使求積公式

f(x-a)f(x)dx=(b—Q)2[*(a)+矽(b)]+(b-a)3[C/(a)+Df(b)]

a

有盡可能高的代數(shù)精度，指出其代數(shù)精度。

5.設有向量x=(3,3/2,3)r,試構(gòu)造初等反射陣H,使”2=(3,0,0)T

七、證明題(共20)

1.設X*是/(x)=o的一個單根，在X*鄰近/”(x)存在且連續(xù)。試證明牛頓法在X*鄰近具有

局部收斂性并且至少是平方收斂的。1h

2.證明解V=f(x,y)的差分方程y=_(y+y)+_(4y'-y'+3y')是二階

n+12nn+14n+1n〃一]

方法(假設y?=y(x丿，V=V(x),y'=y'(x))o

n-1n-1n-1n-1n+1n+1

模擬八

一、單項選擇題(每小題2分，共10分)]

1、若下列數(shù)中，有一個數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為'X10-5,則該數(shù)是()

A0.001223B0.12230

C0.01223D1.22300

->(A+D->(〃)t

2、設有迭代公式X=Bx+/。若囘>1,則該迭代公式()

A必收斂B必發(fā)散

C可能收斂也可能發(fā)散

第12頁共30頁

［數(shù)值分析］題庫

3、常微分方程的數(shù)值方法，求出的結(jié)果是(

A解函數(shù)B近似解函數(shù)

C解函數(shù)值D近似解函數(shù)值

4、專用來求解三對角形線性方程組的方法是()

A追趕法BLU分解法

C雅可比迭代法D平方根法

5、若必一百=0,則譜半徑()

AP(fi)<lBP(B)>1

CP(5)<1DP(B)>1

八、填空題(每小題4,共20)

fx+x=8

I23

1、設有方程組〈X-2x+3x=2則可構(gòu)造高斯一塞德爾迭代公式為

123

2x-x+x=