高考數(shù)學(xué)考前最后一輪基礎(chǔ)知識鞏固之第七章第1課空間幾何體

第1課空間幾何體

【考點導(dǎo)讀】

1.觀察認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中

簡單物體的結(jié)構(gòu)；

2.能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別

上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；

3.通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同

表示形式；

4.了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。

【基礎(chǔ)練習(xí)】

1.一個凸多面體有8個頂點，①如果它是棱錐，那么它有14條棱,8個面；②如果

它是棱柱，那么它有北—條棱6個面。

2.AA'5'C'是正AABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若AA'3'C'的面積為0，

那么AABC的面積為

3.（1）如圖，在正四面體A—BCD中，E、F、G分別是三角形ADC、ABD、BCD的中心，則aFFG

在該正四面體各個面上的射影所有可能的序號是③④。

（2）如圖，E、F分別為正方體的面ADDA、面BCCB的中心，則四邊形BFDE在該正方體的

11111

面上的射影可能是圖的②③（要求：把可能的圖的序號都填上）.

①②③@

4.一個圓錐的側(cè)面積是其底面積的2倍，則該圓錐的母線與底面所成的角為

60。。

￡兩個完全相同的長方體的長、寬、高分別為5cm,4cm,3cm,把它們重疊在一起組成一個新

長方體，在這些新長方體中，最長的對角線的長度是57'攵機。

-1-/7

【X例導(dǎo)析】

例1.（1）下列結(jié)論中，正確的是。

（1）各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

（2）以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓

錐

（3）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐

（4）圓錐的頂點與底面圓周上的任意一點的連線都是圓錐的母線

（2）下列命題中，假命題是（1）（3）。（選出所有可能的答案）

（1）有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱

（2）四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形

（3）有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺

（4）若一個幾何體的三視圖都是矩形，則這個幾何體是長方體

分析：準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解決概念題的關(guān)鍵。

（1）（4）是正確的。（1）中可以是把兩個三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形,

但不是三棱錐。（2）中要取決于三角形的形狀，以及旋轉(zhuǎn)方式，比如等腰直角三角形中以直

角邊為旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)就不是圓錐。（3）中若棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六邊

形，由幾何圖形可知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長。

（2）（1）和（3）是錯誤的。（1）中將兩個斜棱柱對接在一起就是反例。（3）中是不是棱

臺還要看側(cè)棱的延長線是否交于一點。

點評：對于概念判斷的類型，舉反例是非常有效的方法。

例2.AA'8'C'是正^ABC的斜二測畫法的水平放置圖形的直觀圖，若AA'3'C'的面積為,

那么4ABC的面積為o

解析：2屈。

點評：該題屬于斜二測畫法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實物圖元素與直觀圖元素之間的對

應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對應(yīng)關(guān)系。

例3.多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰的，如圖，正方體的一個頂點A在平面a

內(nèi)，其余頂點在a的同側(cè)，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到a的距離分別為1,2和4,

P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面a的距離可能是：

①3；②4；③5；?6；⑤7

以上結(jié)論正確的為（寫出所有正確結(jié)論的編號）

解析：如圖，B、D、A1到平面a的距離分別為1、2、4,則D、的中

點到平面a的距離為3,所以［到平面a的距離為6；B、A1的市點到

511

平面a的距離為2,所以B1到平面a的距離為5；則D、B的中點到平

_3_

面a的距離為所以C到平面a的距離為3；C、A］的中點到平面a的

7一

距離為所以Q到平面a的距離為7；而P為C、C>B「？中的一

點，所以選①③④⑤。

點評：該題將計算蘊涵于射影知識中，屬于難得的綜合題目。

例4.（1）畫出下列幾何體的三視圖_一

-2-/7

(2)某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀

主祝困

分析：三視圖是從三個不同的方向看同一物體得到的三個視圖。

解析：(1)這兩個幾何體的三視圖分別如下：

(2)該幾何體為一個正四棱錐。

點評：畫三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個合適的主視方向。一般先畫主視

圖，其次畫俯視圖，最后畫左視圖。畫的時候把輪廓線要畫出來，被遮住的輪廓線要畫成虛

線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。主視圖反映物體的主要形狀特征,

主要體現(xiàn)物體的長和高，不反映物體的寬。而俯視圖和主視圖共同反映物體的長要相等。左

視圖和俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。

例5.如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球(與四個面都相切的球)的球

心0,且與BC,DC分別交于E、F,如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A—

BEFD與三棱錐A—EFC的表面積分別是S/則S?的大小關(guān)系是SO

解析:連0A、OB、0C、0D,

則V=V+V+V

A-BEFDO-ABDO-ABEO-BEFD

V=v+v+v

A-即CO-ADCO-AECO-EFC

又V=v，

A-BEFDA-EFCF

而每個三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑,

故S+S+S=S+S+SB

ABDABEBEFDADCAECEFC

又面AEF公共，故選CEC

點評：該題通過復(fù)合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度,求解棱錐的體積、表面

積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應(yīng)關(guān)系。

備用題：lo如圖所示，在平行六面體ABCD—ARCR中，已知AB=5,AD=4,AA=3,AB_LAD,

1

兀

ZAAB=ZAAD=—o

13

(1)求證：頂點'在底面ABCD上的射影0在/BAD的平分線上;

求這個平行公面體的體積。

(2)

-3-/7

解析：⑴如圖2,連結(jié)AQ則A/）,底面ABCD。作0MLAB交AB于M,

作0N_LAD交AD于N,連結(jié)AM1,A1N。

易得A]M_LAB,AN±ADo;NA】AM=NA^AN,

ARtAANiA^iRtAAMiA,iAAM=AN,

從而0M=0N。.,.點0在/BAD的平分線上。

n13AM3f-

(2)AM=AAcos—=3X—=—；.A0=-----=—、/2o

1322兀2

COS—

4

?99

又在RtAAOA中，A02=AA2-A0?=9--=-

11122

3[23/2

.?冉0=」1-,平行六面體的體積為V=5x4x與-=30”。

2.如圖1是一個幾何體的三視圖，想象它的幾何結(jié)構(gòu)特征，并說出它的名稱.

/A

圖1俯視圖圖2

變式題1.如圖2是一個幾何體的三視圖（單位：cm）

（T）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；

（II）求這個幾何體的表面積及體積；

（III）設(shè)異面直線A4'與3C'所成的角為6,求cos。.

解：（I）這個幾何體的直觀圖如圖3所示.

（II）這個幾何體是直三棱柱.

由于底面AABC的高為1,所以=J12+12=霹.

故所求全面積+S+2S

S=2S.BB'C'CABB'A'

-4-/7

=2x￡x2x1+3x2+2x3x>/2=8+65/2(cm2).

這個幾何體的體積V=S,BB'=J_x2xlx3=3(cm3)

AABC2

(III)因為A4'〃班'，所以A4'與3C'所成的角是ZB'BC'.

在RtABB'C中，BC'=^BB'2+B'C'2=4+22=7n,

八BB'

故cosB—

nC

【反饋演練】

1+271

1.一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是F—

271

2.如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球,

__R2J3

水面高度恰好升高r,則一=｛一。

r3

⑵

解析：水面高度升高r,則圓柱體積增加mR-r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此

4R_2書2,/3

有丁…叱故丁丁。答案為丁。

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。

3.在AABC中，AB=2,BC=1.5,ZAB01200（如圖所示），若將AABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)

3

一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是豆兀。

4.如圖所示，0A是圓錐底面中心。到母線的垂線，0A繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲

1

面將圓錐分成相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為0

5.若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是六棱錐

-5-/7

6.正四棱柱的底面邊長為。，高為b（a〈b）,一螞蟻從頂點A出發(fā)，沿正四棱柱的表面爬到

頂點C,那么這只螞蟻所走過的最短路程為'；4。2+從。

1--

7.空間四邊形A3CD中，AC=8,BD=12,E、E、G、H分別是A5、3C、CD、ZM邊上

的點，且EFGH為平行四邊形，則四邊形EFG”的周長的取值X圍是_。6，%）0

8.設(shè)棱長為4的平行六面體ABCD-ABCD的體積為V,E、尸、G分別是棱AB、AO、A4

iiii1

上的點，且AE=1,AF=2,AG=3,則三棱錐A-EfG的體積口=/。

64

9.一個透明密閉的正方體容器中，恰好盛有該容器一半容積的水，任意南這個正方體，則

水面在容器中的形狀可以是：（1）三角形；（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）正六邊形。

其中正確的結(jié)論是（2）（3）（4）（5）o（把你認(rèn)為正確的庠號都填上）

10.三棱錐P-A3C中，PC=x,其余棱長均為1。

（1）求證：PC1AB；

（2）求三棱錐尸-ABC的體積的最大值。

解：（1）取中點M與AC43均為正三角形,

ABLPM,AB1CM,

：.A3,平面PCM。

AB±PC

⑵當(dāng)PM_L平面ABC時，三棱錐的高為PM,

此時V=4-5-PM=4--<1-X3.=4-

max3MBC3428

11.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，它被過底面中心0且平行于母線AB的平面所截，若

截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)（焦點到準(zhǔn)線的距離）為p'的拋物線.

（1）求圓錐的母線與