江蘇省七校（基地學(xué)校）聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二年級上冊階段測試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

江蘇省七校（基地學(xué)校）聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期階

段測試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線y=2/的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

2.曲線/（耳=》3+1在點(diǎn)處的切線方程為（）

A.y=-3x-lB.3x+1

C.y=3x+3D.y=-3x-3

3.正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝中，%=1，〃5ali=81,則4=（）

A.V3B.3C.6D.9

4.已知數(shù)列也J的前〃項(xiàng)和為S〃，6=1,當(dāng)〃>2時(shí)，2sl=〃，則S2021等于（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

5.設(shè)Q,b都為正數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若俗。+1+6<加11人貝U（）

A.ab>eB.b>ea+i

C.ab<eD.b<ea+i

6.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率e=。（其中二L）的橢圓為黃金

2

22

橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，+4=1,（。>6>0）,若以原點(diǎn)。為圓心，短軸長為

ab

直徑作OO,P為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意T點(diǎn)，過P作。。的兩條切線，切點(diǎn)分別為42,

122

直線N8與羽V軸分別交于兩點(diǎn)，則二（）

\OMI\ONI

11

A.—B.coC.-coD.——

0）CD

7.已知數(shù)列｛。〃｝滿足q■!---^2---"3"'-----1---Q“二〃〃eN+）,設(shè)數(shù)列低｝滿足：

23n

b“=,數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和為心若7；<—2（，?eN+）恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值

%。用?+1

范圍為（）

A.B.C.[|,+3D.1，+°°]

8.如圖，已知橢圓G和雙曲線C?具有相同的焦點(diǎn)耳（-c,0）,g（c,0），/、8、C、。是

試卷第1頁，共4頁

它們的公共點(diǎn)，且都在圓-+y2=c2上，直線48與x軸交于點(diǎn)尸，直線CP與雙曲線。2

交于點(diǎn)0,記直線ZC、的斜率分別為《、k2,若橢圓G的離心率為半，則匕能

二、多選題

9.已知函數(shù)/0)=$3-以+4(%6［0,3］),則()

A.函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減

B.函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值為1

C.函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,/■⑴)處的切線方程為y=-3x+g

D.若關(guān)于尤的方程/(x)=。在區(qū)間［0,3］上有兩解，則

10.設(shè)數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S",關(guān)于數(shù)列｛《,｝,下列命題中正確的是()

A.若%+i=a“，則｛〃“｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

B.若S.=42+胡(〃€N)(/,8為常數(shù)),則｛%｝是等差數(shù)列

C.若S“=l-(-1)",則｛%｝是等比數(shù)列

D.若包｝是等比數(shù)列，則5,邑-5,￡-邑”(〃€川也成等比數(shù)列

11.雙曲線，-我=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為月，工.過且作其中一條漸近線

的垂線，垂足為P.已知2乙=2,直線尸鳥的斜率為-g,則()

A.b=2B.e=A/2

C.雙曲線的方程為x2-且=1D.P

4語I5芽5J

試卷第2頁，共4頁

12.在平面直角坐標(biāo)系中，/(4,0),8(1,4),點(diǎn)M在圓。：。+釬+/=16上運(yùn)動(dòng)，下列

說法正確的是()

A.點(diǎn)”到直線Z3的距離最大值是22?

B.疝.礪的最小值為56-4Vi礪

C.+的最小值為10

D.過直線N8上任意一點(diǎn)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為尸,0,直線尸。過定點(diǎn)

三、填空題

13.等差數(shù)列｛%｝中，%=18,出。=30,則滿足不等式與>"的正整數(shù)"的最大值

是.

14.已知直線/是拋物線C:必=2x的準(zhǔn)線，拋物線的頂點(diǎn)為。，焦點(diǎn)為尸，若A為。上

一點(diǎn)，/與C的對稱軸交于點(diǎn)B,在AABF中，sixiZAFB=桓sin/ABF，則|，目的值

為.

15.已知函數(shù)/(%)=無e"T-lnx-"，若存在%>0,使得/(尤。)=0,則實(shí)數(shù)a的最小

值為.

22

16.如圖，雙曲線=-4=l(a>0/>0)的兩頂點(diǎn)為4，4，虛軸兩端點(diǎn)為耳，B],

兩焦點(diǎn)為耳，F(xiàn)],若以44為直徑的圓內(nèi)切于菱形甲?再鄉(xiāng)，切點(diǎn)分別為4用C,。,則

菱形FXBXF2B2的面積&與矩形ABCD的面積邑的比值卷=.

四、解答題

17.已知圓C的圓心在直線y=-2x上，且過點(diǎn)(2,-1),(0,-3)

試卷第3頁，共4頁

(1)求圓。的方程；

(2)已知直線/經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長為2,求直線/的方程.

2

18.已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，an+a?=2Sn+2,數(shù)列也,｝滿足"=%.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列血,｝的前〃項(xiàng)和

19.已知函數(shù)/(x)=/-2(。+l)x+2alnx(a>0).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線了=〃x)在點(diǎn)(1,/⑴)處的切線方程；

(2)求/⑴的單調(diào)區(qū)間;

13

20.從①%,%成等差數(shù)列；②4,g+1，/成等比數(shù)列；③邑這三個(gè)條件

中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問題中，并解答下列問題.

已知E,為數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和，31=%+2%(“€^),且.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(a〃為偶數(shù)

⑵記"=1'為在獨(dú)，求數(shù)列低｝的前2〃+1項(xiàng)和應(yīng),

[logs〃為奇數(shù)

注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

21.函數(shù)/(x)=e*cosx.

⑴求/(x)在(-乃,乃)上的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x?0時(shí)，不等式/'(x)Ve2工恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓G：5+i=1.>6>0)過點(diǎn)(2,1),離心率

為交，其左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2.

2

⑴若點(diǎn)P與耳，鳥的距離之比為g,求直線尤-后y+百=0被點(diǎn)P所在的曲線截得

的弦長；

⑵設(shè)4,4分別為橢圓。的左、右頂點(diǎn)，。為。上異于4,4的任意一點(diǎn)，直線4Q，

40分別與橢圓￡的右準(zhǔn)線交于點(diǎn)M,N,求證：以兒w為直徑的圓經(jīng)過x軸上的定點(diǎn).

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.c

【分析】化拋物線方程y=2/為標(biāo)準(zhǔn)方程從而可求解.

【詳解】化拋物線方程y=2f為標(biāo)準(zhǔn)方程所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為

故選：C

2.C

【分析】求出/(-1)=0和/'(-1)=3,利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求出切線方程.

【詳解】/(-1)=T+1=。，/'("=3/,故/'(-1)=3,

所以/(#=/+1在點(diǎn)(-處的切線方程為"3(x+l),

即>=3x+3.

故選：C

3.B

【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛與｝的公比為9,

因?yàn)閿?shù)列｛?！埃秊檎?xiàng)等比數(shù)列，所以4>0,

由題為=1,

則=81=>&"為/=q8=8i,所以/=3,

所以&/=3.

故選：B

4.D

【分析】由"22時(shí)，%+25,1="得至1」.用+25“=〃+1,兩式作差，整理可得：an+1+an=],

結(jié)合并項(xiàng)求和，即可求解.

【詳解】解：由題意可得,當(dāng)心2時(shí),an+2Sn_x=n,an+l+2Sn=n+\,

兩式作差可得an+i-an+2an=1,

即a”+i+a〃=1("-2),

答案第1頁，共18頁

即當(dāng)〃22時(shí)，數(shù)列任意連續(xù)兩項(xiàng)之和為1,又因?yàn)?=1,

2020

所以邑021=%+(出+%)+(44+%)~*---(^2020+。2021)=1----—=1011,

故選：D.

5.B

【分析】把不等式進(jìn)行變形，引入函數(shù)/(x)=xlnx,由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性及

不等關(guān)系得結(jié)論.

【詳解】由已知，aea+l<b(lnb-l)=bln-,則e"Ine"<.

eee

設(shè)/(x)=xIn%,

因?yàn)镼>0,則e“>l.又6(1口6-1)〉0,6>0,則為6>1,即6〉e,從而一>1.

e

當(dāng)x〉l時(shí)，/"(x)=lnx+l>0,貝ij/(x)在(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,

所以即

e

故選：B.

6.A

【分析】根據(jù)題意。、/、P、2四點(diǎn)在以。尸為直徑的圓上，可設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為尸(七,%),從

而得出四點(diǎn)所在圓的方程為x(x-Xo)+y(y-yo)=0,利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)/、5所在

直線方程，進(jìn)而求得“、N兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決本題.

【詳解】依題意有0/P8四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為尸(%,%),則該圓的方程為：

x(x-xo)+y(y-yo)=O,

將兩圓方程：/+/=/與X?-x°x+V一%>=0相減，得切點(diǎn)所在直線方程為

(入2、(入2、22

2

lAB:xxQ+yy0=bf解得M—,0,N0—,因?yàn)楹?咚=1,所以

1/JIyQ)ab?

Na2b2a2_b2xl+a2yl_oV_a2_12_J_

\OM^+|ON二一史小/-P~~V~~V~l-<y2-V5-1-~m

"-2

%y0

故選：A

7.D

【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，最

答案第2頁，共18頁

后利用函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛4｝滿足4+大。2+彳。3---1—a=n2+n,①

23nn

]]]2

當(dāng)〃22時(shí)，—6Z2~^3---1----^%一1二(〃-1)+〃一1，②

①一②得，，%=2〃，故%=2",

n

2〃+12n+l111

貝坨=

4/("+1)24[/n+i)2

22

則T"=：1-￡111

++??十—

2n幾+1)24

由于《恒成立,

故；1-1n.

<----A,

n+\yn+1

〃+211

整理得：力>-----——I-------

4幾+444(〃+1)，

11

因1+4(〃+,隨〃的增加而減小，

11

所以當(dāng)〃=1時(shí),l+而包最大'且為|,

3

即4>工

8

故選：D

8.B

【分析】根據(jù)已知條件依次求得兩點(diǎn)的坐標(biāo),由此可求得左?內(nèi)的值.

.2,2.2,2

【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為二+烏=1(°>6>0),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，-吟=1,

abst

則"—，由/竽,—手

所以/=/-2=5/,所以橢圓方程可化為f+5/=。2

x2+5/=a2

由兩式相減得4/=/c2=b2,y=±—b,

V+y'2

=±^~b,則/三岳三瓦111b,

x2=c2——b1=—62,x

22

4427

根據(jù)對稱性可知4c關(guān)于原點(diǎn)對稱，48關(guān)于X軸對稱.

答案第3頁，共18頁

貝

直線CP的方程為

將/

代入9"得譬！=1,

15b2b2

由彳一彳二,解得§2=3/或$2=5〃,

s2+t2=a2-b2=4b2

而〃2=5Z?2,s<a,所以S2=3",

22

所以/=4/-3/=/,所以雙曲線方程可化為二一烏=1,

3b2b1

消去y并化簡得76/+47^-255一=0

設(shè)0("。)，解得/=小叵6,盟=」6,所以。1暝1瓦_(dá)以,

383813336

11,

k+b

[7b17z23S10z72

所以|="=為豆=正'2=用。=而卜176J3r/2=i-

-----b-----------b

238

故選：B

【點(diǎn)睛】本題中，涉及圓和雙曲線、圓和橢圓、直線和雙曲線等圖象的“交點(diǎn)”，求交點(diǎn)的坐

標(biāo)，主要是通過聯(lián)立方程組來進(jìn)行求解，要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，另外也要注意運(yùn)算的速度.

在雙曲線和橢圓中，的關(guān)系是不相同的.

9.AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/&)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷

C選項(xiàng)；畫出函數(shù)〃x)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)椤▁)=§x3-4尤+4,xe[0,3],

所以/''(x)=/-4=(x+2)(x-2),

令/'(x)>0,即x>2；^f\x)<0,即0Vx<2,

答案第4頁，共18頁

所以函數(shù)〃X)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，在［2,3］上單調(diào)遞增，故A正確;

因?yàn)?0)=4,/(3)=1,

所以函數(shù)〃x)在區(qū)間［0,3］上的最大值為4,故B錯(cuò)誤；

因?yàn)榘?)=一3,=

所以函數(shù)/⑴在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為

即y=-3x+g,故C正確；

4

因?yàn)椤?)=-函數(shù)/⑴大致圖象如圖，

要使方程/(X)=。在區(qū)間［0,3］上有兩解,

則一:<aVI,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

10.BC

【分析】對于A：根據(jù)等差、等比數(shù)列的定義分析判斷；對于BC：根據(jù)均與S“之間的關(guān)系,

結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義分析判斷；對于D：根據(jù)等比數(shù)列的和項(xiàng)性質(zhì)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A:因?yàn)?=%("—*),即氏+「為=(),可知數(shù)列缶,｝是等差數(shù)列，

當(dāng)氏=0時(shí)，數(shù)列出,｝不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)镾"=N"2+3〃，

當(dāng)〃=1時(shí)，ax=Sx=A+B-

當(dāng)〃22時(shí)，a”=S”—S0-i=(/斤+Bnj—［4〃-1)+及1)］=2Arn-B-A；

可知〃=1時(shí),符合上式,

答案第5頁，共18頁

綜上所述：a?=2An+B-A,

可得=所以數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，故B正確；

對于選項(xiàng)C:因?yàn)镾“

當(dāng)〃=1時(shí)，%=I=2；

當(dāng)“22時(shí)，a“=S“-S.T=2x(-1)"，

可知〃=1時(shí)，符合上式，

綜上所述：a?=2x(-l)-1,

可得—],所以數(shù)列｛?！埃堑缺葦?shù)列，故C正確;

a?2x(-1)

對于選項(xiàng)D:當(dāng)數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列時(shí)，取%=(-1)",貝！|邑=7+1=0,

此時(shí)顯然邑，$4-$2，$6-S4不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤;

故選：BC.

11.ACD

【分析】根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式可得6=2,可判斷A；設(shè)/尸。8=6,根據(jù)漸近線的性質(zhì),

結(jié)合直角三角形中各邊關(guān)系可得尸再根據(jù)直線質(zhì)的斜率為列式化簡求得

后，即可判斷BCD.

【詳解】因?yàn)閍(c,0),不妨設(shè)漸近線方程為y=2x,即區(qū)-町=0,

a

IbeIbe

所以|%|==1=6，所以6=2,故A正確;

設(shè)/尸。巴=6,因?yàn)殚?c且盧巴|=6,所以|。尸|=°,

ab

因?yàn)??力，所以力=約

,所以tan6="=上=力

22c

xpxpa

2

所以馬=土，所以尸

C

答案第6頁，共18頁

ab

_ab_2a_a

所以kpF?c—，解得。=1,

4-Ca2-(?2+4)-2

所以c=右，則離心率0=￡=右，故B錯(cuò)誤,

a

所以雙曲線方程為：x2-^=l,故C正確，

4

故選：ACD.

12.BCD

【分析】對A：求出直線的方程，算出圓心到該直線的距離，進(jìn)而通過圓的性質(zhì)即可判

斷；對B：利用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，通過三角函數(shù)求最值即可判斷；對C：利用轉(zhuǎn)化

思想，結(jié)合點(diǎn)〃在圓C上，探求一定點(diǎn)。，利用三點(diǎn)共線時(shí)+取最值，即可判斷;

對D：設(shè)N為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)N作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為尸,。，先求出

切點(diǎn)R0所在圓G的方程，再與圓C的方程聯(lián)立作差，得到直線尸。的方程，即可求其定點(diǎn),

即可判斷.

【詳解】由圓的方程U(X+4)2+>2=16可知:圓心C(-4,0),半徑廠=4,

由4(4,0),3(1,4)可知:直線的方程為胃=即4x+3k16=0,

|-4x4-16|32

對于選項(xiàng)A：圓心C到直線N8的距離為:d-/

A/42+325

所以點(diǎn)M到直線45的距離最大值是1+4二5，故A錯(cuò)誤;

對于選項(xiàng)B：由M(xj)在C：a+4)2+/=i6上,

所以可設(shè)X=-4+4cosy=4sin^,0G[0,2兀),

所以AM=(8-4cos0,-4sin0),MB=15—4cos。,4—4sin9),

答案第7頁，共18頁

所以A//4.Affi=(8—4cos9X5—4cos9)+卜4sin9)g—4sin。)

=4O-52cos0-16sin0+16sin20+16cos20

=56-52cos0-16sin0,

所以疝?麗二56—4"^"sin(。+夕),其中sin°=J_,cos0=-4=,

A/185A/185

故當(dāng)sin(e+9)=l時(shí)，?！龅Z的最小值為56-4A幅'，故B正確；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)?=+

設(shè)存在定點(diǎn)。&0),使得點(diǎn)“在圓C：(x+4)2+/=16上運(yùn)動(dòng)時(shí)均有如。|=

設(shè)M(x,y),則有J(x-J+y2=1,J(x-4)2+y2,

化簡可得3無2+3/+(8-&)X=16-4/，①

又因?yàn)镃:(x+4)2+y2=i6,即/+y2+8x=0,②

②代入①化簡可得-8(/+2卜=16-4產(chǎn)，

即(f+2)(2x-f+2)=0,

所以t=一2,所以+2|M3|==2(|Affi>|+|Affi|),

因?yàn)閨A0|+|M5|z忸刈=5,當(dāng)〃■在線段助上時(shí)，|A?|+|M5|=忸q=5,

所以+2=2+|MB|)210,

所以W伍|+2WM的最小值為IO,故選項(xiàng)C正確；

對于選項(xiàng)D：設(shè)N為直線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)N作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為尸,。,

連接CP,CQ,CN,如圖所示：

由直線與圓相切的性質(zhì)可知：CP±PN,CQ±QN,

所以C,P,N,0在以CN為直徑的圓上，其圓心為CN的中點(diǎn)，設(shè)為￡,

答案第8頁，共18頁

設(shè),

所以￡,ICN|=++Z?2,

半件為|C7V|=J5+"2+從,

22

所以c,p,N,°所在圓G的方程為：1-J+,-(J=("+?+”

2

整理得爐—(fl-4)x+y-by-4a=0f

(x+4)2+/=16

將圓。與圓G的方程聯(lián)立

x2一(Q_4)x+y2_"_4。=0

作差得直線PQ的方程（。+4）X+如+4。=0,

因?yàn)辄c(diǎn)N（a,b）在直線45上,

416

所以4。+3b—16=0,b=—a-\,

33

416

代入直線PQ的方程得(。+4)x+(--a+—)y+4a=0f

整理得|-]+4]+(4工+')=0,

'4

x——y+4=0rx=-2

所以3；解得3，

.16?y=—

4x+-y=02

所以直線PQ恒過定點(diǎn)1-21],故D正確；

故選：BCD.

13.59

【分析】計(jì)算得到%=上『，解不等式?！?二亍”>"得到答案.

_63

%=+3d=18/曰％460+3〃60+3〃

【詳解】由%o=q+19d=30倚3即an>n,解得〃<60,

4~4

d—

L4

故正整數(shù)〃的最大值為59.

故答案為：59.

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

14.V2

答案第9頁，共18頁

【分析】在△48尸中，由$吊//尸3=后反二48尸結(jié)合正弦定理可得48=血/尸，在設(shè)拋

物線上點(diǎn)/,列式求解即可得產(chǎn),則即|可求.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C:/=2x的準(zhǔn)線，焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線/與。的對稱軸交于點(diǎn)B,

所以叫。d-別，

因?yàn)樵贏ABF中，sinZAFB=s/lsmZABF，

所以由正弦定理可得，\AB\=42\AF\,

因?yàn)锳為拋物線C上一點(diǎn)，所以可設(shè)為/

平方化簡可得：/一2尸+1=0,即(--1)2=0,可得產(chǎn)=1,

幽=+/=也■

故答案為：V2.

【分析】對函數(shù)同構(gòu)，利用ei'x中等號成立條件，將問題轉(zhuǎn)化為。=上照有實(shí)根，構(gòu)造

X

函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性和極值即可求解。的最小值.

【詳解】令f(x)=e'i-x,則?x)=eiT,由4x)=0得x=l,

由?x)=ei-l>0得x>l,所以函數(shù)《x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，

由(力=--1<0得x<l,所以函數(shù)f(x)在(-%1)上單調(diào)遞減,所以《尤)>《1)=0,

答案第10頁，共18頁

所以eiAx,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)，等號成立，

可知/(x)=xe-i-In無一依=etoM-1-(lnx+ax)>0,

當(dāng)且僅當(dāng)lnx+依=1時(shí)等號成立，原條件等價(jià)于方程。=匕叱有實(shí)根，

X

令g(x)=^詈，則g，(x)=@p,由g，(x)=O得x=e。

由g'(x)>0得x>,，所以函數(shù)g(x)在卜2,+動(dòng)上單調(diào)遞增，

由g'(x)<0得x<e"所以函數(shù)g(x)在(-叱e?)上單調(diào)遞減，

所以g(x)而"=g@)=-5，所以0的最小值為

故答案為：--7

e

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：

一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用；

二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.

u亞+2

10.----------

2

【分析】根據(jù)題意得到gbc=ga區(qū)聞，求得6=痔1,設(shè)包用0=6,可得

t

ZF2Ap=ZAOB2=d,進(jìn)而求得岳=26c和星=T哄，即可求得1的值.

b+C?2

【詳解】因?yàn)橐?4為直徑的圓內(nèi)切于菱形4男2當(dāng)，可得點(diǎn)。到直線2芻的距離為。，

又因?yàn)樘撦S的兩端點(diǎn)為民,當(dāng)，所以。鳥=。，

在A/O芻中，由三角形的面積公式值夫=；a忸典=；a病77,即bc=°病1

2

因?yàn)榭傻胏,-3a2c2+?！?gp/-3e+l=0，

又因?yàn)閑>l,解得e=S±L

2

設(shè)Nfi2￡0=e,可得//。當(dāng):。，所以邑=2/sin28,

bc

在△耳08中，可得sin6>=cos6>=

yjb2+c2>Jb2+c2

所以星=4<72sin0cos0=4：氣,

2b2+c2

菱形片即技的面積H=2bc,

答案第11頁，共18頁

2222

S|_26c_b+c_2c-a_2_1__6+2

所以亡歪廷一2a2-2A2e~2~F—.

故答案為：叵工.

2

3

17.(1)(尤一iy+(y+2)2=2；(2)尤=0或了=-1x.

(2一4+(-1+2h=/解得

【解析】(1)根據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)為(。,-2a),進(jìn)而得(0-0>+(-3+2a)2=/'腫何

a=l,r=應(yīng),故圓的方程為(x-l)2+(y+2)2=2

(2)分直線/的斜率存在和不存在兩種情況討論求解即可.

【詳解】(1)圓C的圓心在直線>=-2》上，設(shè)所求圓心坐標(biāo)為-2a)

?；過點(diǎn)(2,-1),(0,-3),

,f(2-a)2+(-l+2a)2-r2

"|(0-a)2+(-3+2a)2=r2

解得?=1,r=A/2

所求圓的方程為(x-1)?+(y+2>=2

(2)直線/經(jīng)過原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長為2

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,

此時(shí)直線/被圓C截得的弦長為2,滿足條件；

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為》=依，

由于直線/被圓C截得的弦長為2,故圓心到直線/的距離為4=1

故由點(diǎn)到直線的距離公式得："=與空=1

yj\+k-

解得后=-：3，所以直線/的方程為y=-3：x

44

3

綜上所述，則直線/的方程為％=0或了=-^X

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問在解題的過程中要注意直線斜率不存在情況的討論，即分

直線/的斜率存在和不存在兩種，避免在解題的過程中忽視斜率不存在的情況致錯(cuò)，考查運(yùn)

算求解能力與分類討論思想，是中檔題.

18.(l)a?=?+1

答案第12頁，共18頁

⑵T”手T

【分析】(1)利用S"與巴的關(guān)系，求解通項(xiàng)公式；

(2)利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

【詳解】(1)當(dāng)"=1時(shí)，a；+%=2E+2,即。；一%-2=0,4=2或4=-1(舍)

當(dāng)〃22時(shí)，a"+a"-=2S"_]+2,

又因?yàn)?2+?！?2sH+21

兩式相減得%*一%_[=0,整理得(%+%)(%-%-1)=0

｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，

an~an-\=1

數(shù)列｛劭｝為等差數(shù)列，公差為1.

an=%+-1)x1=〃+1

(2)a=0j3""=(〃+1)3用,

7；,=2X32+3X35+4X34+???+R+1卜3(向)

3(,=2X33+3X34+4X35+???+R+l卜3("+2)

兩式相減得

-27；,=2X32+33+34+35+???+x3(n+1)-R+l)<3(n+2)

2〃+l3“+29

4p4

19.(1)y=-3(2)詳見解析

【解析】(1)分別求得/■⑴和r(i),從而得到切線方程；

(2)求導(dǎo)后，令/'(x)=o求得兩根，分別在0<a<l、。=1和a>1三種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)

的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

答案第13頁，共18頁

c2

【詳解】(1),：a=\,/(x)=x2-4x+2Inx,/./'(%)=2x-4+—,

.J⑴=0,又/⑴=1-4=-3,

\y(尤)在(ij⑴)處的切線方程為尸-3.

(2)/,(x)=2x-2(a+l)+—=-----i——』------=二----——x>+

令/'(x)=0,解得：Xj=a,x2=l.

①當(dāng)0<a<l時(shí)，若xe(0,a)和(1,+8)時(shí)，/0(x)>0；若xe(a,l)時(shí)，/,(x)<0；

\了(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,a),(1,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為

②當(dāng)°=1時(shí)，/'卜)20在(0,+8)上恒成立，

\/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

③當(dāng)a>1時(shí)，若xe(0,1)和(a,+oo)時(shí)，/^(x)>0；若xe(l,a)時(shí)，f'(x)<0；

\了(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(a,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(l,a)；

綜上所述：當(dāng)0<a<l時(shí)，〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,a),。,+向；單調(diào)遞減區(qū)間為(d1);

當(dāng)a=l時(shí)，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>l時(shí),〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(…)；單調(diào)遞減區(qū)間為(La).

【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點(diǎn)處的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)討論含參

數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.

20.⑴條件選擇見解析，%=?-

(2)^?+i=-?(?+l)log32-|-1-

【分析】(1)根據(jù)%,s”的關(guān)系確定數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比為-;，再結(jié)合條件求出首

項(xiàng)即可求解；

(2)分奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和分組求和即可求解.

答案第14頁，共18頁

【詳解】(1)由3S〃=a〃+2q,〃EN*,當(dāng)〃22時(shí)，3S〃T=Q〃T+24,

a1，、1

兩式相減得力,=4t，即N=-J,所以數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比為一3.

an-\,2

選①，由外,生成等差數(shù)列，

4

可得q+出=2xI=J,即％—3%=5,解得%=1,

選②，由％,a2+1,成等比數(shù)列，得為。3=(%+1)2，

選③,得6=1,

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),=-(n-l)log2,

b?=皿3??=log33

記前2〃+1項(xiàng)和心田中的奇數(shù)項(xiàng)之和為金，

e/、(n+lY2n./、

則0=々+&+々+—F%+1=-(0+2+4+—b2"log32=-Wlog32=-。H+)log3：.

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，”=|一；]=一(]"，記前2〃+1項(xiàng)和凡M中的偶數(shù)項(xiàng)之和為7a，

則

i.Lml

桑=…+%+…+%=一出+出+出+...+@JJ嚀￡

4-

答案第15頁，共18頁

故7L+l=f("+l)l°g32_g1-1j.

21.⑴單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為，巴-1［和

⑵(-*2］

【分析】(1)求出/'(x),然后可得答案;

/、，后，“一1*/口smx-cosx2丫八八、門丁/\sinx-cosx2r八e

(2)由條件可得-----：----+e2-2ax>0,設(shè)〃(％)=----------+e2-2ax,則

exe

〃，⑺=言￡+2/-2a,然后利用導(dǎo)數(shù)可得〃⑴在［0,+紇)上單調(diào)遞增,

〃卜”〃⑼=4-2a,然后分042、a>2兩種情況討論求解即可.

【詳解】(1)由題可得/''(X)=e*cosx-eJsinx=e*(cosx-sinx)=cos(?

令/(x)>0,得一奢及苦；

令得一萬<X<一號，^<X<7t

所以人無)的單調(diào)遞增區(qū)間為卜單調(diào)遞減區(qū)間為1匹-今［和

/-、，/，/、x(?