空間曲線的曲率撓率

關(guān)于空間曲線的曲率撓率定義：如果曲線的參數(shù)表示式或是階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這類曲線稱為類曲線。當時,類曲線又稱為光滑曲線。第2頁,共42頁，2024年2月25日，星期天自然參數(shù)：我們知道曲線有不同的參數(shù)表示，能否找一種參數(shù)使研究曲線很方便呢？回答是肯定的這就是以弧長s為參數(shù)（自然參數(shù)）對于光滑曲線1、的參數(shù)是自然參數(shù)的充要條件是2、弧長參數(shù)優(yōu)越性：3、弧長作參數(shù)是可以做到的：由于則s(t)是t的嚴格單調(diào)函數(shù)，存在反函數(shù)t=t(s),代入有

4、對于1.曲線的自然參數(shù)第3頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例：圓的參數(shù)化為r(t)

(acost,asint),t

R

，其中常數(shù)a>0,試將參數(shù)化為自然參數(shù)。解:第4頁,共42頁，2024年2月25日，星期天給出類曲線得一單位向量，

稱為曲線（C）上P

點的單位切向量。

稱為曲線在P

點的主法向量,

它垂直于單位切向量。稱為曲線在P點的次法向量。把兩兩正交的單位向量稱為曲線在P

點的伏雷內(nèi)（Frenet)標架。2.空間曲線的基本三棱形、伏雷內(nèi)標架第5頁,共42頁，2024年2月25日，星期天3)由任意兩個基本向量所確定的平面分別叫做:密切平面：法平面：從切平面：而由三個基本向量和上面三個平面所構(gòu)成的圖形叫做曲線的基本三棱形。2)對于曲線（C）的一般參數(shù)表示有第6頁,共42頁，2024年2月25日，星期天定義過空間曲線上P點的切線和P點鄰近一點Q

可作一平面，當Q

點沿曲線趨于P

時，平面的極限位置稱為曲線在P點的密切平面。關(guān)于密切平面對于類的曲線上任一正常點處的密切平面是最貼近于曲線的切平面。密切平面以為法向。第7頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

密切平面的方程

給出類的曲線（C）：有因為向量和都在平面上，所以它們的線性組合也在平面上。兩邊取極限得在極限平面上，即P

點的密切平面上，因此由于,這個向量就可以作為密切平面的一個法向量。密切平面方程為

第8頁,共42頁，2024年2月25日，星期天表示P

點的密切平面上任一點的向徑，則上式表示為如果曲線用一般參數(shù)t表示，則將上式中的撇改成點。平面曲線的密切平面就是曲線所在的平面。例

求圓柱螺線r={acost,asint,bt}在任一點的密切平面第9頁,共42頁，2024年2月25日，星期天3.空間曲線的曲率，撓率設(shè)空間曲線(C)為的，且以s為參數(shù)。1)曲率

定義（C）在P點的曲率為

越小就越接近曲線在P點的彎曲程度,進一步令則的極限就應(yīng)該是曲線在P點的彎曲程度。曲率的幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。曲率越大，曲線的彎曲程度就越大，因此它反映了曲線的彎曲程度。第10頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第11頁,共42頁，2024年2月25日，星期天第12頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例：

空間曲線，為直線的充要條件是曲率證明：若為直線

其中

都是常向量，

并且

，則

反之,若,則于是所以該曲線是直線.第13頁,共42頁，2024年2月25日，星期天2)撓率

與曲率類似有

定義曲線（C）在P點的撓率為撓率的絕對值是曲線的次法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。撓率恒為零的曲線是平面曲線第14頁,共42頁，2024年2月25日，星期天3)曲率和撓率的一般參數(shù)表示式給出類的曲線（C）：所以因此由此得到曲率的一般參數(shù)的表示式第15頁,共42頁，2024年2月25日，星期天

由可得撓率公式為第16頁,共42頁，2024年2月25日，星期天有曲率近似計算公式則曲率計算公式為二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧說明:若曲線由參數(shù)方程給出,則若曲線方程為則若曲線由參數(shù)方程給出,則第17頁,共42頁，2024年2月25日，星期天4）密切園（曲率園）

過曲線（C）上一點P

的主法線的正側(cè)取線段PC，使PC

的長為1/k。以C

為園心，以1/k為半徑在密切平面上確定一個園，這個園稱為曲線在P點的密切園或曲率園，園的中心叫曲率中心，園的半徑叫曲率半徑。第18頁,共42頁，2024年2月25日，星期天曲率中心軌跡設(shè)對應(yīng)Y=(x,y,z)，則有容易證明C在P點與曲率圓相切，且在P點的曲率相同在點P

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.第19頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例

求圓柱螺線r={acost,asint,bt}(a>0,b>0均為常數(shù))

的曲率、撓率、曲率中心和曲率圓.解

={-asint,acost,b}，

={-acost,-asint,0}，

={asint,-acost,0}.于是

=

=所以圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù).第20頁,共42頁，2024年2月25日，星期天.故曲率中心的半徑向量為可以求出密切平面為于是曲率圓為第21頁,共42頁，2024年2月25日，星期天設(shè)曲線方程為且求曲線上點M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第22頁,共42頁，2024年2月25日，星期天由此可得曲率中心公式(注意與異號)第23頁,共42頁，2024年2月25日，星期天例.設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為可知,橢圓在處曲率最大,即曲率半徑最小,且為顯然,砂輪半徑不超過時,才不會產(chǎn)生過量磨損,或有的地方磨不到的問題.例3目錄上頁下頁返回結(jié)束第24頁,共42頁，2024年2月25日，星期天5）伏雷內(nèi)（Frenet)公式由定義可得又于是有這個公式稱為空間曲線的伏雷內(nèi)（Frenet)公式。它的系數(shù)組成一反稱方陣第25頁,共42頁，2024年2月25日，星期天當點M(x,y)沿曲線C

移動時,的軌跡G

稱為曲線C的漸屈線,相應(yīng)的曲率中心曲率中心公式可看成漸曲線C稱為曲線G

的漸伸線

.屈線的參數(shù)方程(參數(shù)為x).6）曲線的漸屈線、漸近線第26頁,共42頁，2024年2月25日，星期天(仍為擺線)例.

求擺線的漸屈線方程.解:代入曲率中心公式,得擺線目錄上頁下頁返回結(jié)束第27頁,共42頁，2024年2月25日，星期天微分幾何

Differential

Geometry坐標系、微積分應(yīng)用于幾何學，產(chǎn)生了微分幾何研究如何描述空間中一般的曲線和曲面的形狀參數(shù)變換下幾何不變量：曲線弧長、曲率、撓率；曲面第一基本形式、第二基本形式等微積分，拓撲學，高等代數(shù)與解析幾何知識的綜合運用第28頁,共42頁，2024年2月25日，星期天突出的數(shù)學家Euler(1707-1783),Morge(1746-1818)引進曲線曲面參數(shù)表示法曲率能夠由主曲率表示，Euler公式Gauss(1777-1855)曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，內(nèi)蘊幾何學IntrinsicdifferentialgeometryRiemann(1826-1866)度量Measure、流形Manifold、黎曼幾何學；彎曲空間Klein(1849-1925)變換群Cartan(1869-1951)活動標架，纖維叢及其聯(lián)絡(luò)第29頁,共42頁，2024年2月25日，星期天突出的數(shù)學家陳省身開創(chuàng)并領(lǐng)導(dǎo)著整體微分幾何、“陳省身示性類”丘成桐“卡拉比猜想”，“微分幾何中偏微分方程作用”，“完備黎曼流形上調(diào)和函數(shù)”楊振寧先生對幾何學的概括天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。第30頁,共42頁，2024年2月25日，星期天微分幾何的應(yīng)用理論物理廣義相對論將物理量解釋為幾何量。具體的說，空間和時間結(jié)合在一起由一個流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標；不同參照系之間的關(guān)系即是坐標變換。時空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時空的物理量（能量動量張量）等于時空的幾何量（Ricci曲率張量）。第31頁,共42頁，2024年2月25日，星期天微分幾何的應(yīng)用計算幾何、圖形學曲線曲面設(shè)計離散微分幾何網(wǎng)格曲面計算機視覺基于流形的學習方法拓撲學，代數(shù)拓撲和微分拓撲與之緊密相連代數(shù)幾何，代數(shù)方程（組）的零點集第32頁,共42頁，2024年2月25日，星期天計算機視覺

ComputerVision第33頁,共42頁，2024年2月25日，星期天數(shù)字幾何1D2D2D3D數(shù)字幾何媒體：拓撲結(jié)構(gòu)復(fù)雜；采樣非均勻；沒有通用標準數(shù)字幾何媒體(Digitalgeometrymedia)正成為繼聲音、圖像和視頻之后的下一輪數(shù)字媒體浪潮。第34頁,共42頁，2024年2月25日，星期天幾何造型

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