湖南省衡陽市2022-2023學(xué)年高一年級(jí)上冊期末數(shù)學(xué)試題

2022年衡陽市高一年級(jí)期末質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)卷

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共四道大題，滿分150分.

2.測試時(shí)量：120分鐘，請同學(xué)們科學(xué)、合理地安排好答題時(shí)間.

3.本卷為試題卷，答案必須答在答題卡的指定位置，答在試題卷上無效.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

L集合4={小。以，＞1},則（）

A.leAB.2w4C.3eAD.4eA

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.

【詳解】..Tog1tx＞1=10gli兀，；.*＞兀，，A={x|x＞7i},

可知164,2?74,3仁4,故A、B、C錯(cuò)誤；4eA,故D正確.

故選：D.

3

2.函數(shù)/（x）=lnx--的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.（1.5,2）B,（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理即可得答案.

【詳解】/（X）在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增，

/（2.5）=ln|-1＜lne-|=-1＜0,/（3）=ln3-l＞0,

而/（1.5）＜/（2）＜/（2.5）＜0,/（3.5）＞/（3）＞0,

由“2.5）〃3）＜0,根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知零點(diǎn)/42.5,3）,

故選：C.

1

3.相的值為（）

1

A.10B.C.1D.不能確定

10

【答案】A

【解析】

【分析】令，，兩邊取常用對數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.

a6=t

i1.

【詳解】令c嬴，，兩邊取常用對數(shù)，得;一?lg〃=lg%,解得U10,

a=tIga

故選：A.

4.如圖為函數(shù)/(司的大致圖象，其解析式可能為()

B.小)=則

A.〃x)=

COSTLXX

c.y(x)=^^D-/(^)=—

Xsin

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的特征及選項(xiàng)中的解析式,利用排除法進(jìn)行選擇.

<1.6兀<2兀,/.sin1.6K<0,cos1.6K>0

由圖知XHO,排除A；

由圖知/(1.6)<0,進(jìn)而排除C；

對于D中解析式，顯然x/2,與圖不符,排除D,

所以函數(shù)/(尤)的解析式可能為B.

故選：B.

5.已知。為第三象限角，且tan[5——,則COS[0+5)=(

【答案】c

【解析】

【分析】已知條件式切化弦，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得3cos8=4sin。，又。為第三象限角,

sin2，+cos2，=l，可解得sin。，cos。，化簡所求式子即可得出答案.

即3cos8=4sin8,

又sin2，+cos2(9=l，。為第三象限角，sine<0,cose<0,

,34

sin0——,cos0——,

55

//)兀、.c3

I2j5

故選：C.

6.Jsin3，2,叫In(sin3)的大小關(guān)系為()

A.ln(sin3)>2sin3>V^K3B.2sin3>Vsi^3>ln(sin3)

C.Jsin3>2sm3>山(sin3)D.2sm3>In(sin3)>Jsin3

【答案】B

【解析】

【分析】由一<3<兀得0<sin3<l,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及中間值。和1求得結(jié)果.

2

71

【詳解】V—<3<71,0<sin3<1,

2

0<^in3<1-ln(sin3)<0,2sin3>1>

/.2sin3>VEiK3>ln(sin3).

故選：B.

7.若(a—Ip+Qb—I)?=0,則2"+4"的最小值為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知a+26=2,利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題可知：a-l=-（2b-l）=>a+2b=2,

2"+4"=2"+22b>2,2".沖=242a+乃=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=l時(shí)等號(hào)成立，

故選：C.

8."a〉；”是“函數(shù)/（x）=lg（ar-l）在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.

【詳解】令M=y=lg〃，

若/（*）=坨（依一1）在（。，+°°）上單調(diào)遞增，因?yàn)閥=1g”是（0,+°o）上的增函數(shù)，

則需使"=依一1是（。,+8）上的增函數(shù)且U>0,則a>0且120，解得aNl.

因?yàn)?g,+co][1,+8）,故a〉g是的必要不充分條件，

故選：B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得。分.

9.若a>b>0>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

11LL

A.—>—B.^]c>yjdC.a—d>b—cD.aobd

cd

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、C,利用特殊值判斷D.

【詳解】解：因?yàn)閐<c<0,所以!<工<0,故A錯(cuò)誤；

ca

因?yàn)閐<c<o,所以版〉17,故B正確，

因?yàn)閐<cvO,所以一">一。>0,又a>b,：.a-d>b-c,故C正確；

對于D：令a=l,b=—,。=一1,d=-2,滿足但是=故D錯(cuò)誤.

2

故選：BC

10.能正確表示圖中陰影部分的是()

A.Bc&A)B.AA(^B)C.Q⑷AD.備(4B)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)集合運(yùn)算，結(jié)合圖形分析可得.

【詳解】因?yàn)殛幱安糠衷贐中不在A中，根據(jù)集合的運(yùn)算分析可知ACD正確.

故選：ACD

11.函數(shù)/(x)=sin(&x+e)(0>0)的部分圖象如圖所示，則下列正確的是(

0,則左為奇數(shù)

C.若%+/=等，則/(%)=/(%)

D.若上一目=；,貝1]|/(七)一/(%2)|的最大值要大于孝

【答案】BCD

【解析】

【分析】由圖象確定函數(shù)的周期求得。，再由零點(diǎn)求得。，從而得函數(shù)解析式，然后由結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)、

輔助角公式，判斷各選項(xiàng).

27r1jr3

【詳解】選項(xiàng)A,T=2,。=——=兀，x=—是/⑺的零點(diǎn)，由圖象得一+。=兀+2也，得。=—71+2E,

T444

3

keZ(以下只要取。=—兀即可)，A錯(cuò)；

4

(k、GTTk1

選項(xiàng)B,/I-1=0,則1+l=2&兀+兀，k?eZ,-=-+k2^k=l+4k2,故無為奇數(shù)，B對;

37r37rQar+r9023

選項(xiàng)C,由兀r+工=k2Ji+—,k2GZ,可得%=+—,即/(x)對稱軸為元=+&，122=4

2023

%=-----為其對稱軸，C對;

4

選項(xiàng)D,當(dāng)%=0,%=；時(shí)，〃(菁)_/(々)卜等，

137171371

設(shè)g(x)=于(X)-/(%+-)=sing+—)-sing+-+—)

4444

.3兀.3?r..A/2.

-sin7txcos——+cos7rxsm—+sin7tx=(1---)sinTUCH----cos7tx>

4422

易知g(X)的最大值是j(l—曰>+(等了=也―0>今，

所以|/(玉)—/(%2)|的最大值為亞二75，大于9，D對.

故選：BCD.

12.奇函數(shù)/(x)aeR)滿足/(x)=/(l—x),則下列選項(xiàng)正確的是()

A./(九)的一個(gè)周期為2B./(100.4)</(2.6)

C.—為偶函數(shù)D.〃2x—4)為奇函數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/⑴=/(1一%)得/(%)的對稱軸為x=g，結(jié)合/(%)的奇函數(shù)性質(zhì)對選項(xiàng)逐一辨析即可.

【詳解】/(x)=/(l—x),/(%)的對稱軸為x=g,

/(x+2)=/(-x-l)=-/(%+1)=-/(-%)=/(%),.*.7=2,A正確；

T=2,故/（1004）=/（0.4）,/（2.6）=/（0.6）,

/（可關(guān)于x=g時(shí)稱，故/（0.4）=/（0.6）,B錯(cuò)誤；

/[zx-J==-/Q+ZxL-Zx-j,/，工-]]偶函數(shù)，C正確；

〃2x—4）=/（2x+4）=—/（—2x—4）,〃2x-4）為奇函數(shù),D正確,

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)“X）與y=2,互為反函數(shù)，則/（〃2））=.

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互反函數(shù)求解即可.

【詳解】/（X）與y=2'互為反函數(shù)，

.-./（x）=log2%,^/（2）=log22=l,

???/（/（2））=〃1）=1鳴1=。.

故答案為：0

14.命題p：玉eR,公2—》—“五0的否定為；使命題p成立的一個(gè)x的值為.

【答案】①.VxeR,ax2+x-a>0②?1

【解析】

【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗(yàn)證x=l時(shí)，命題?成立，即得第二空答案.

【詳解】解：因?yàn)槊}0：HxeR,ax2-x-a^：O^

所以命題p：—'P''VxeR,a）c—x—a>0<

當(dāng)x=l時(shí)，ad—x—a=a—1—a=—1<0成立，

所以命題P成立的一個(gè)尤的值為L

故答案為：VxeR,ax2+x—a>Q>1.

15.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的，弦圖是由四

個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖），直角三角形中較小的銳角為9,若

sin0+cos0=1V5,則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為

【答案】5

【解析】

【分析】用三角函數(shù)表示直角三角形的兩條直角邊，得小正方形的邊長為cos。-sin。，由

sine+cos6=1行解出cos?！猻in。，即可求大正方形與小正方形的面積之比.

【詳解】如圖所示,

設(shè)大正方形邊長為1,則￡>G=sin6=CF\CG=cos8,小正方形的邊長為cos6—sin。,

由94

sine+cos8=]&，兩邊同時(shí)平方得l+2sin9cose=—,2sin6cose=—

55

9]

所以(cosS—sin。)=l-2cos^sin<9=-

I2

則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為7―-~—-I=5

（cos”一sm〃）

故答案為：5

二|lnx|[,x>V0?！艉瘮?shù)尸，°

16.已知函數(shù)/（%）=所有零點(diǎn)的乘積為1,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

【答案】（0,1]（2,”）

【解析】

【分析】令」3=/,則可得/（x）=a,結(jié)合/（尤）的圖象，即可得答案.

a

【詳解】解：令

a

則有/（?）=0=>r=1,

/（%）=a,

如圖，當(dāng)。>2或0<aWl,|lnxj=，nx21n%％=1，滿足題意.

故答案為：（0,1]（2,+8）

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)〃x）=x+L

X

（1）若于（a）=]，求。；

（2）用定義法證明：函數(shù)/（九）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減.

【答案】（1）。=3或。=,

3

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）直接解方程可得；

（2）根據(jù)定取值、作差、定號(hào)、下結(jié)論的步驟證明即可.

【小問1詳解】

,,ZX101_10

由〃a)=《，ZB

故3a2—10。+3=0,解得。=3或”;

【小問2詳解】

證：任取0cxi<%<1

/

11）_（%一9）（1一%%2）

則/（盾）-/（%）=菁+一

1玉/

*.<0<<x2<1,/.xl-x2<0,^x2-1<0

故/(%)—/(々)>。，即/(芯)>/(%2)

故/(九)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

18.己知函數(shù)/(x)=2sin12x—t].

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

JTJT

(2)求/(%)在區(qū)間-上的最值.

【答案】(1)+/-Z

⑵/(無心=百"(龍)皿=一2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解即可;

(2)先求出2x-m的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

6

【小問1詳解】

因f(x)=2sin^2x-^,

.71_,_兀3_,,

令—F2kli<2x---v—7i+2kli,kwZ,

262

兀5

解得—Fkit<x<—7i+kitk￡Z,

36f

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為1+也，|兀+也，左eZ.

【小問2詳解】

令2%--=t,由X￡

了‘3

nr'IT)TTyr

所以要求/(x)在區(qū)間一n上的最值，即求y=2sin/在％￡--—,y上的最值,

71一2,當(dāng)/=1時(shí),y=2sin|=73,

當(dāng)f=-5時(shí)，JnJn=2sinmax

19.如圖為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日燈內(nèi)點(diǎn)上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力

造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動(dòng).輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖像便不斷走動(dòng)，因剪細(xì)圖像為古代

武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)看起來好像幾個(gè)人你追我趕一樣，故名走馬燈，現(xiàn)打算做一個(gè)體積為96000cn?

的如圖長方體狀的走馬燈(題中不考慮木料的厚薄粗細(xì)).

(1)若底面大矩形的周長為160cm,當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時(shí)，底面面積最大？

(2)若燈籠高為40cm,現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時(shí)，框架用料最少？

【答案】(1)當(dāng)長、寬皆為20cm時(shí)，底面矩形面積最大

(2)當(dāng)長為60cm、寬為40cm時(shí)，用料最少

【解析】

【分析】(1)設(shè)大矩形的長為x,寬為y,則有x+y=80,借助基本不等式計(jì)算面積的最大值;

⑵易得底面面積5=孫=2400,借助基本不等式計(jì)算底面周長最小值.

【小問1詳解】

設(shè)大矩形的長為無，寬為y

X

y

(x+y)2

依題有：2（%+y）=160,即x+y=80,貝小二孫忘~^-=1600

4

當(dāng)且僅當(dāng)％=y=40時(shí)，底面矩形面積最大

【小問2詳解】

依題有5=孫=也也=2400,

4

框架用料最少等價(jià)于底面用料為2x+3y最小即可,

2x+3yN216xy=240,當(dāng)2x=3y,即y=40,x=60取等

故當(dāng)長為60cm、寬為40cm時(shí)，用料最少

20.已知函數(shù)/(x)=cos[ix-zj+l.

44

【答案】（1）4A：--,4A：+—（左eZ）；

（2）36

【解析】

【分析】（1）由題意可得/'（2x+l）-；三0,結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求解即可;

（2）由題意可得/（%）+/（-2-無）=2,將所求式子重新結(jié)合，即可得答案.

【小問1詳解】

解：由題知：〃2x+l）—；三0,

/（2x+l）=cos—x+l>

22

.兀1

cos—x2—,

22

r\0

所以———+2kji<—x<—7i+2kji,kGZ,

323

44

----\-4k<x<§+4左（左wZ）

3

44

其定義域?yàn)閊k--,4k+—（左6Z）.

【小問2詳解】

7171

解：因?yàn)椤▁)=cos—X------+1,

44

所以

/（-2-%）=cos[-^（-2-x）--^]+1=cos（一：x-?）+l=cos[-兀一（：x—￡）]+1=-x--^-）+l,

所以/（%）+/（-2-％）=2,

Pi37333531里

又因?yàn)?----1--=---1--=L.2,

所以/2,

所以/

2L"Z,〃為函數(shù)/(%)=%2-2%108“/7+1089的兩個(gè)零點(diǎn)，且0<“<1<加.

⑴若m=2,求不等式/(“<0的解集；

(2)比較a,6,1的大小關(guān)系.

【答案】(1)(72-1,2)

(2)b>a>1^0<b<a<l

【解析】

【分析】(1)由韋達(dá)定理聯(lián)立消去log06得(加+〃>〃m=2,從而求得〃的值，得到〃])<0的解集;

(2)解法一：根據(jù)零點(diǎn)的分布列出滿足的不等式組求解即可；

解法二：根據(jù)不等式根+“〉2^/%萬及韋達(dá)定理得log。6>1，求解即可.

【小問1詳解】

由換底公式得log。b?log)。=魯一，=1，

IgaIgb

m+n=2102^b.、

依題意得,，兩式相乘得（加=2

mn=10gba

代入機(jī)=2,得“2+2〃—1=0

由0<〃<1,得〃=&-1，而/（x）<0

故不等式解集為（應(yīng)-1,2）

【小問2詳解】

7（o）=iogu^>o

解法一：因0<“<1<加，故</（l）=l—log〃6<0,

log。b>0

化簡得log/>1,

a>1[0<a<l

故4成s,

\b>a[o<b<a

即b>a>l或Ovbvavl.

解法二：