《高等數(shù)學(上冊)》教案 第2課 數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第，課

課題數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

課時2課時(90min)

知識技能目標：

(1)理解數(shù)列的極限。

(2)掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。

(3)理解函數(shù)的極限，會計算函數(shù)的極限，包括函數(shù)在某點的左極限、右極限。

(4)理解函數(shù)極限的性質(zhì).

教學目標

思政育人目標：

通過數(shù)學史和數(shù)學文化的記載，提出極限思想，讓學生充分感覺到我國深厚的文化底

蘊，激發(fā)學生的愛國情懷；引導(dǎo)學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；培養(yǎng)學

生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學生運用所學知識揭示生活中的

奧秘',在實踐中深化認識，達到學以致用的目的

教學重點：數(shù)列極限的定義、收斂數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)極限的概念和性質(zhì)

教學重難點

教學難點：計算函數(shù)的極限、左極限和右極限

教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法

教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材

第1節(jié)課：考勤(2min)一知識講解(33min)一問題討論(10min)

教學設(shè)計

第2節(jié)課：知識講解(30min)一問題討論(lOmin)一課堂小結(jié)(5min)

教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖

第一節(jié)課

■【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤培養(yǎng)學生的組

考勤織紀律性，掌握學

(2min)■【學生】班干部報請假人員及原因生的出勤情況

通過數(shù)學史和

數(shù)學文化的記載，

■【教師】通過莊子的“截杖問題"和劉徽的“割圓術(shù)"，引出

提出極限思想，讓

并講解數(shù)列以及數(shù)列的極限

學生充分感覺到

案例1“一尺之趣，日取其半，萬世不竭”.

我國深厚的文化

知識講解

底蘊，激發(fā)學生的

(33min)分析這是戰(zhàn)國時期哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》中

的一句話，意思是“一根長為一尺的木棒，每天截去一半，愛國情懷。學習數(shù)

永遠取不盡”.我們把每天取后剩下的部分用算式表示可得列極限的定義和

數(shù)列：收斂數(shù)列的性質(zhì)。

邊做邊講，及時鞏

固練習，實現(xiàn)教學

第2課數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

1111做一體化

一，一，-，，--，?

2482"

隨著時間的推移，剩下的木棒長度越來越短，顯然，當天數(shù)"

無限增大時，剩下的木棒長度將無限縮短，即剩下的木棒長

度越來越接近于數(shù)0.

2"

案例2劉徽稱“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可

割，則與圓周合體而無所失亦”.

分析“割圓術(shù)”求圓面積的作法和思路是：先作圓的內(nèi)接

正六邊形，把它的面積記為a；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，

其面積記為A；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為4；

照此下去，把圓內(nèi)接正6x2”'邊形的面積記為A”，這樣得到

一個數(shù)列：A，A2,A.：,，An,如圖1-18所示.

圖1-18

由圖1-18可以看出，隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，

圓內(nèi)接正多邊形的面積與圓的面積越來越接近.當邊數(shù)n無

限增大時，圓內(nèi)接正6X2"T邊形的面積A“會無限接近圓的面

積A.

對于一些數(shù)列，如｛J>｛誓卜’(I)「若當"無限增加

時，一般項無限接近于某一個常數(shù)，則這個常數(shù)稱為數(shù)列的

數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第2課

極限.在數(shù)學上，需要從定量角度定義數(shù)列的極限.

給定一個數(shù)列｛??｝和常數(shù)a,為證明｛??｝的極限為a,需要證

明”越來越大時，|凡-4|越來越趨于0.為了定量描述隨”

增大逐漸接近于0,｛4｝與a的接近程度可用

\a,-a\<￡（€為任意小的正數(shù)）代替.￡越小，｛4｝越接

近于。，滿足成立的生,的項數(shù)〃越大.因此，給

定一個正數(shù)￡,就存在一個正整數(shù)NeZ+,當”>N時，

\an-a\<c,￡越小，N就越大，如圖1-19所示.

02a\G附I0N+3°N+2的

a-Eaa+ex

圖1?19

定義1設(shè)｛%｝是數(shù)列，。為常數(shù)，若對任意給定的正數(shù)￡,

總可以找到正整數(shù)N,使得所有滿足〃>N的自然數(shù)小都有

|q-4|<￡成立，則稱數(shù)列｛〃〃｝收斂于m。稱為數(shù)

列｛〃“｝的極限，記為lima”=a.

當取G=0.1,￡2=0.01,求滿足

-0<邑的〃的范圍，并證明

解因為匕￡-0=1,所以要使上叱-0<4=0.1,

nnn

只要-<0.1,即?>10即可.同理，要滿足

n

—--0<s=0.01,,只要”>100即可.

n2

現(xiàn)證明lim±±~=0.

第2課數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

對任意給定的￡>0,要使上1匚-0=-<￡,只要〃>2，

nn8

因此，可以取N=[]+l（[口可能為0）.當〃〉N時，

就有上空-0<￡,故Iim￡^=0.

nnen

如果數(shù)列｛“"｝沒有極限，則稱該數(shù)列發(fā)散.我們還可以用數(shù)

列極限的定義證明如下重要極限：

limC=C（C為常數(shù)），lim-=0,lima"=0（|。|<1）,

n-^x,n-^oc幾n-^

liman=1（a>0）,lim標=1.

M-^30〃一>ac

■【學生】理解數(shù)列及數(shù)列的極限

■【教師】講解收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理1（極限的唯一性）如果數(shù)列｛%｝收斂，那么它的極

限唯一.

證明用反證法.假設(shè)同時有l(wèi)imq=a和lim%=6,且

“f8n-^

a<h,取g=---.

2

因為lima〃=a,故三正整數(shù)乂，當〃〉乂時、不等式

/J—>00

..b-a..

1%。1<2（1）

成立.同理，因為lim%二人，故三正整數(shù)M,當〃》小時，

M->00

不等式

Ub\<2⑵

也成立.WN=max｛N1,N?｝（表示N是乂和他中較大的

4

數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第，課

那個數(shù)），則當〃>N時，（1）式及（2）式同時成立.但

由（1）式有為<3女，由（2）式有可>審，這是矛盾

的，故假設(shè)不成立.

定義2對于數(shù)列｛%｝,如果存在正數(shù)M,使得對于一切

都滿足不等式|4|?M,則稱數(shù)列僅“｝是有界的；否則稱數(shù)

列｛《,｝是無界的.

定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列｛q｝收斂，那么數(shù)

列｛?！埃欢ㄓ薪?

證明設(shè)數(shù)列｛”,｝收斂于a，根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于

￡=1,存在正整數(shù)N,當〃〉N時，不等式|-4|<1成立.于

是，當">N時，有

\an\=\an-a+a\?\an-a\+\a\<\+\a\.

取M=max｛|4|,|生1，，1許1，1+14“1｝，則數(shù)列｛““｝中的

一切/都滿足不等式1%1,,M.這就證明了數(shù)列｛七｝是有界

的.

定理3（收斂數(shù)列的保號性）如果數(shù)列｛4｝收斂于。，且

a>0（或a<0）,那么存在正整數(shù)N,當〃>N時，有>0

（或見<0）.

當”>0時，根據(jù)極限定義，只要取￡=幺>0,即可證明結(jié)

2

論.

推論如果數(shù)列｛a,,｝從某項起有4…0（或4”0）,且數(shù)

列｛《,｝收斂于。，則?！?（或0）.

證明就a“…0情形證明.設(shè)數(shù)列｛對｝從M項起，即當

時有a“…0.

+

現(xiàn)在用反證法證明，若。<0,則由定理3知，3N2eZ,

當〃〉N2時，有〃〃<0,取N=max（M,N2）,則當九>N時，

第2課數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

有?！啊?與<0同時成立，矛盾，所以a…。.

對于耳,,0的情形，可以類似地證明.

定義3在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持這些項在原

數(shù)列｛4｝中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列

｛a,J的子數(shù)列（或子列）.

設(shè)在數(shù)列｛4｝中,第一次抽取冊,第二次在冊后抽取外,

第三次在品后抽取品，,這樣無休止的抽取下去，得到

一個數(shù)列

a“「a”」,%,<

這個數(shù)列他,“｝就是數(shù)列｛a?｝的一個子數(shù)列.

■【學生】掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)

■【教師】組織學生討論以下問題

1.若lima〃=a,能否得到結(jié)論：對任意給定的正數(shù)￡,總

"T8

可以找到正整數(shù)N,使得所有滿足”>"的自然數(shù)n,都有

\an-a\<—（或儲）成立？

2.在數(shù)列極限定義的￡-N語言中對任意給定的正數(shù)￡,可

通過課堂討論，

否規(guī)定0<￡<1?

問題討論活躍課堂氣氛，力口

（10min）3.有界數(shù)列是否一定收斂？發(fā)散的數(shù)列是否一定無界？深學生對知識點

的理解

4.如果數(shù)列｛《,｝收斂于a,且wN,有a”>0（或<0）,

則是否一定有a>0（或a<0）?

5.若數(shù)列的任何子數(shù)列都收斂，那么此數(shù)列是否一定收斂？

發(fā)散數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？

■【學生】發(fā)言

第二節(jié)課

數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第，課

■【教師】講解函數(shù)極限的概念，并通過例題講解介紹其應(yīng)用

1.自變量趨于無窮時函數(shù)的極限

當Xf+8時，函數(shù)/(X)的極限定義與數(shù)列極限定義相似，

因此可以給出當Xf+8時，/(X)極限的￡—M定義.

定義1設(shè)f(x)在(a,+00)上有定義，A為實常數(shù)，若對

Ve>0,3M>0(M>|a|)>當時，有|/(x)-A|<￡,

則稱函數(shù)當x趨于+oo時，以A為極限，記為

limf(x)=A或/(x)-?A(x—>-KO).

XT+8

定義1'設(shè)/(x)在(-8,編上有定義，A為實常數(shù)，若對

V￡>0,3M>0(-M<?),當時，"(X)-A|<￡,

則稱函數(shù)/(x)當xf-8時，以A為極限，記為

學習函數(shù)極限

lim/(x)=A或/(x)fA(xf-<?).的概念和函數(shù)極

知識講解限的喉。邊做邊

(30min)定義1"設(shè)/(x)在(7,a)(a,+8)上有定義，A為實常講，及時鞏固練

數(shù)，若對V￡>0,3M>0(M>|a|),當|x|>M時，習，實現(xiàn)教學做一

體化

|f(x)-A|<￡,,則稱函數(shù)y=/(x)在x->8時，以A為極

限，記為

lim/(x)=A.

定理1lim/(x)=A=lim/(x)=lim/(x)=A.

A—>oox—>+X.r—>-00

證明必要性顯然.下證充分性.

limf(x)=lim/(x)=A時，Ve>0,>0,使當x>A/1

X—>400X—>-00

時"(X)—A|<￡；BM2>0,使當x<-“2時

|f(x)-A\<c.取M=max{M,%},則當％〉A(chǔ)/或

x<-M,即|n|>〃時，同時有|/(x)—A|V￡,所以

lim/(x)=A.

X->CO

第2課數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

例1求1而|1+二_b

XT8

解考察函數(shù)/(X)=1+二，如圖1-21所示.

當X—>+8時,函數(shù)1+無限趨于常數(shù)1；當X-—8時,

函數(shù)1+1同樣無限趨于1,所以

limf1+-^-I=1.

XT/(X')

例2考察函數(shù)/(x)=arctanx當X—>+oo和X—>-8時的極

限，并說明它在％f②時的極限是否存在.

解如圖1-22所示，當xf+oo時，，函數(shù)/(x)=arctanx無

限趨于常數(shù)乙，所以

2

limarctanx=—.

XT+oo2

當xT-oo時，函數(shù)/(x)=arctanx無限趨于常數(shù)-二，所以

..兀

hmarctanx=——.

XT-002

由于limarctanxwlimarctanx,所以limarctanx不存在.

X-^-KOX->-?X-YX>

8

數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第2課

2.自變量趨于有限值時函數(shù)的極限

對于函數(shù)，(x)=^?/(X)在X=1無意義.當1?寸，

X-I

f\x)=x+\,如圖1-23和表1-2所示，當X—>1時，

f(x)f2.這樣對X/￡>0,要使|/(x)-2|=|x—I|<e,定

有|x-l|在確定的范圍內(nèi)，即5=￡>0,￡越

小，5越小，5由￡確定.這樣我們可以得到，當xf不時,

函數(shù)/(X)極限的￡-5定義.

表1-2

X0.90.990.9991…1.0011.011.1

y1.91.991.99922.0012.012.1

定義2設(shè)/(x)在/的某個去心鄰域。(不花)上有定義，A

為實常數(shù)，若對V￡>o,ms>o(3<a),當0<|x-$|<6

時，"(X)-A|<￡，則稱函數(shù)/(x)當x趨于與時，以A為

極限，記作

limf(x)=A或f(x)-A(x—>.

定義2,設(shè)f(x)在％的某個去心右鄰域“(與電)上有定

第2課數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

義.A為一實常數(shù)，若對Ve>0,33>0(3<的)，當

0<|x-%]<5時，|/(x)—A|<5,則稱4為函數(shù)f(x)在x

趨于與+時的右極限，記作

limf(x)=A或f{x)—>4(x—>xj).

Xf>b*

定義2"設(shè)/(x)在與的某個去心左鄰域力(飛,百)上有定

義，A為一實常數(shù)，若對\/￡>O,3J>0(^<,當

0<|x->|<b時,\f(x)-A\<3,則稱A為函數(shù)f(x)在x

趨于XJ時的左極限，記作

lim/(x)=A或f(x)f4(x->/-).

XT%-

定理2limf(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A.

XfSXT&+XT

證明與定理1類似.

Cx+2JC1

例3設(shè)/(元)=仁'二'試判斷l(xiāng)im/(x)是否存在.

[3x,x<1,zi

解先分別求/(x)當x-1時的左、右極限，

lim/(x)=lim3x=3,limf(x)=lim(x+2)=3,

XTrX->Fx-?l+XT|+

因為左、右極限各自存在且相等，所以lim/(x)存在，且

x-?l

lim/(x)=3.

X―>1

■【學生】理解函數(shù)的極限，會計算函數(shù)的極限，包括函數(shù)在某

點的左極限、右極限

■【教師】講解函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3(極限的唯一性)如果lim/(幻存在，則極限

lim/(x)是唯一的.

XT8

定理4(局部有界性)如果limf(x)=A，則存在常數(shù)">0

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數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第，課

和6>0,使得當0<|x-x0|<6時,有|f(x)|v".

局部有界性是指函數(shù)在X。的去心鄰域t/(X0，多內(nèi)有界.

定理5(局部保號性)設(shè)lim/(x)=A,如果A>0(或

XT飛

A<0),則m3>0,使當0<|x-x0|<3時，/(x)>0(或

/(x)<0).

推論如果在X。的某去心鄰域內(nèi)/(X)…0(或/(X),,0),

且lim/(x)=A,則A…0(或A”0).

XT%

■【學生】理解函數(shù)極限的性質(zhì)

■