2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué) 人教A版2019必修第一冊(cè) 同步講義 第21講 指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)壓軸題 （解析版）

第21講指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)壓軸題精選

一、單選題

Q

1.（2021?河南?內(nèi)黃縣第一中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試（文））已知兩條直線《：＞=機(jī)和，2：y=T~~7（加＞。），

2∕π+l

4與函數(shù)y=∣l0g2X的圖像從左至右相交于點(diǎn)A,8,4與函數(shù)y=∣bg2X的圖像從左至右相交于C,

D.記線段Ae和8。在X軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,當(dāng)機(jī)變化時(shí)，2的最小值為（）

a

A.16√2B.8√2C.8√4D.4√4

【答案】B

【分析】作出函數(shù)圖像，結(jié)合圖像計(jì)算48,C,。四點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后求出線段AC和8。在X軸上的

bh

投影長(zhǎng)度4，b,代入士，表達(dá)士關(guān)于m的函數(shù)，整理后，換元法利用基本不等式求最小值.

aa

【詳解】作出函數(shù)y=Mg2M圖像如圖，如圖所示，

貝IJOVx<1<X2,0<X3<1<X4,

88

此時(shí)有Tog2玉="，Iogx=m,-logΛ?=-——-,?og?X=7——7

22o2m+142"z+l

8

=w+1,42w+,,

解得百=(T),%=2刑,x3^y?=2

線段ΛC和BD在無(wú)軸上的投影長(zhǎng)度分別為，

8

α=k∣-WI=S一出，?=∣?-?∣=2"'-22m+,,

4

=m+------?-

則

m??-

2

當(dāng)且僅當(dāng),+9=4,即〃，=|時(shí)，取得最小值?此時(shí)，最小值為8萬(wàn)

故選：B.

【點(diǎn)睛】（1）求最值幾個(gè)常見(jiàn)的兩個(gè)方向：一是解不等式求范圍產(chǎn)生最值；二是利用函數(shù)求最值，

其中利用函數(shù)求最值是首選；

（2）函數(shù)求最值又常見(jiàn)兩種類(lèi)型：一是給出函數(shù)表達(dá)式求最值，二是沒(méi)有表達(dá)式求最值，此類(lèi)問(wèn)題

需首選要尋找合適的變量，表達(dá)函數(shù)關(guān)系式；

(3)求函數(shù)最值常用的方法有利用基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法.如果是分段函數(shù),

應(yīng)先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.

(4)本題屬于沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式求最值，取自變量為"?，分別表達(dá)線段AC和8。在X軸上的投影長(zhǎng)

hh

度。，匕，代入2,得到關(guān)于2=/(⑼的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)基本不等式求出最小值，屬于難題.

aa

2.(2022?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)”彳)=1。82(4'+1)+如是偶函數(shù)，函數(shù)

g(x)=22*+2-2"+"2?2/⑶的最小值為-3,則實(shí)數(shù)小的值為()

54

A.3B.—C.—2D.—

23

[答案]B

折】利用函數(shù)的奇偶性求出參數(shù)，在利用換元法把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含參的二次函數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)討

論參數(shù)來(lái)處理二次函數(shù)軸動(dòng)區(qū)間定的問(wèn)題進(jìn)行求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)"x)=log2(4'+l)+ar是偶函數(shù)，所以“r)=∕(x),即

jcX-JC

Iog2(4^+l)-ax=Iog2(4'+l)+or,所以2ax+Iog2(4+1)-Iog2(4+1)=0,

/?/?4'+1(4'+l)?4t(4,+l)?4x

t42x

其中Iog2(4*+1)-Iog2(4-+l)=Iog2E?=Iog2('，+小中=':+ι=陛？'='所以

2奴+2x=0,解得α=T,所以/(x)=log2(4'+l)-x,所以2小)=2‘°8內(nèi)”卜=娛=2'+2-',故

函數(shù)g(x)=22，+2-2，+w(2<+2T)的最小值為-3.令2*+2-*=f,則/N2,故函數(shù)

g(x)=22t+23+%(2"+2-')的最小值為-3等價(jià)于h(t)=t2+mt-2(t≥2)的最小值為-3,等價(jià)于

ITl

--≤2?

2解得機(jī)=-∣.故A,C,D錯(cuò)誤.

Λ(2)=2w+2=-3

故選：B.

3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))關(guān)于函數(shù)/(x)=InlXI+ln∣x-2|有下述四個(gè)結(jié)論：

①/(X)的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱(chēng)②/(X)在區(qū)間(2,+8)單調(diào)遞減

③/(x)的極大值為O④/(x)有3個(gè)零點(diǎn)

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)為()

A.①③B.①④C.②③④D.①③④

【答案】D

【分析】根據(jù)給定函數(shù)，計(jì)算f(2—x)判斷①；探討F*)在(2,內(nèi))上單調(diào)性判斷②：探討了CO在(0,1)

和(1,2)上單調(diào)性判斷③：求出F(X)的零點(diǎn)判斷④作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=InIXl+ln∣x-2∣的定義域?yàn)?-∞,0)50,2)52,+∞),

時(shí)于①，-V∈(-∞,0)o(0,2)o(2,+∞),則2-xe(-∞,0)u(0,2)u(2,+∞),

/(2-x)=ln∣2-x∣+ln∣x∣=∕(x),f(χ)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，①正確；

對(duì)于②，當(dāng)x>2時(shí)，/(x)=lnx+ln(x-2),/3在(2,+8)單調(diào)遞增，②不正確；

對(duì)于③，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=ln(-x)+ln(2-x),/(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，

當(dāng)0<x<2時(shí)，/(x)=Inx+ln(2-x)=In[-(x-l)2+1],/⑴在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減,

乂/(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增，因此/S)在x=l處取極大值f(1)=0,③正確；

對(duì)于④，由/(x)=0得：I/-2χ∣=ι,即χ2-2χ-l=0或f-2x+l=0,解得x=l±√∑或X=I,

于是得/O)有3個(gè)零點(diǎn)，④正確，

所以所有正確結(jié)論的編號(hào)為①③④.

故選：D

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)V=/(x)的定義域?yàn)镺,Vx∈E>,存在常數(shù)。使得

/U)=/(2α-X)O/(α+X)=f(a-x),則函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=。對(duì)稱(chēng).

4.(2022.湖北.二模)己知函數(shù)f(x)=lg(∣>T)+2'+2τ,則使不等式F(X+D<f(2x)成立的X的取

值范圍是()

A.(-∞,-l)u(l,+∞)B.(-2,-1)

C.18,-g)(l,+∞)D.(v,-2)(l,+∞)

【答案】D

【分析】判斷/S)的奇偶性與單調(diào)性，由題意列不等式后求解

【詳解】由IXIT>O得/(χ)定義域?yàn)?7,—1)u(1,+∞),

f(-x)=lg(∣x∣-l)+2^x+2x=f(x),故/(χ)為偶函數(shù),

而y=lg(∣X|-1),y=2'+/在。,”)上單調(diào)遞增，

故/U)在(l,+∞)上單調(diào)遞增，

[x+l∣<∣2x∣

JX2+2尤+1<4/2

則/(x+l)<f(2x)可化為｛∣X+1∣>1,得《

∣2x∣>ιU+1>1^÷1<-1

解得x>l或￥<-2

故選：D

5.(2022?吉林?梅河口市第五中學(xué)高一期末)已知函數(shù)/(x)=χ2-2x+ln∣x-1|,若實(shí)數(shù)α滿足

/(?-1)>/(2?-1),則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(θ,g)B.(-∞,0)

C.(l,g)D.(θ,l)uɑ,?j

【答案】D

【分析】由題可得函數(shù)Ax)=%?-2x+ln∣x-1|關(guān)于χ=l對(duì)稱(chēng)，且在(1,一)上單調(diào)遞增，在(e,l)」:

'∣0-l-l∣>∣2α-l-l∣

單調(diào)遞減，進(jìn)而可得,“Twl，即得.

2a-l≠l

【詳解】；函數(shù)/(x)=χ2-2x+ln∣x-l∣,定義域?yàn)閤e(-∞,l)∣(1,物)，

X/(2-x)=(2-x)^-2(2-x)+ln∣2-x-l∣=x2-2x+ln∣x-l∣=/(x).

所以函數(shù)/(x)=χ2-2x+ln∣x-l∣關(guān)于X=I對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)x∈(l,+∞)時(shí)，y=X2-2x,y=ln∣x-l∣單調(diào)遞增，故函數(shù)/(x)=x2-2x+ln∣x-l∣單調(diào)遞增,

.?.函數(shù)〃x)=d-2x+ln∣xT∣在(1,X)上單調(diào)遞增，在(—,I)上單調(diào)遞減，

'∣α-l-l∣>∣2α-l-l∣

由—)>∕(24T)可得，a-l≠l,

2α-l≠l

4

解得ftα≠l.

故選：D.

6.(2022?江西撫州?高一期末)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)椤?，若滿足：(1)在。內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：(2)

存在?,??D,使得f(x)在y,∣上的值域?yàn)閇加,〃],那么就稱(chēng)函數(shù)“X)為“夢(mèng)想函數(shù)”.若函數(shù)

/(_￥)=108”("+。(6(>0,4Η1)是“夢(mèng)想函數(shù)”，貝〃的取值范圍是()

A.(-√2,θ)B.(-1,0)

c?卜別d?卜[θ)

【答案】D

【分析】由題意可判斷函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)/(x)=log,,("+f)=2x,可以求出使

得〃X)=log,,(at+r)=2x有兩解的f的取值范圍.

【詳解】因?yàn)椤▁)=log“S+f)(">0,a≠l)是單調(diào)函數(shù)

若O<α<l,則g(x)=a*+f是減函數(shù)，所以/(x)=log<,S+。為增函數(shù)；

若α>ι,則g(χ)="+r是增函數(shù)，所以/(χ)=Iog"("+，)為增函數(shù)；

22

由于f(5)=log"a+J=∕w=y×2,/(])=1Og(Ja+t=n=→2

所以/(X)=?og,,(α'+t)=2x

所以/=戶_優(yōu)=優(yōu)(優(yōu)一I)=R-￡)-?

又因?yàn)?∈(0,+8),所以滿足/(x)=k>g<α*+r)=2x有兩解的f的取值范圍為1;,0).

故選：D

7.(2022.浙江?嘉興一中高二期中)設(shè)函數(shù)=In(急+"Q,bwR,且a>0),則函數(shù)”x)

的奇偶性()

A.與“無(wú)關(guān)，且與h無(wú)關(guān)B.與“有關(guān)，且與〃有關(guān)

C.與“有關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D.與“無(wú)關(guān)，且與6有關(guān)

【答案】D

【分析】根據(jù)奇偶性的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，及奇偶性定義判斷參數(shù)滿足的條件.

【詳解】由函數(shù)/(x)=In(2+3=lnj2α+"-fcγ),

?a-xJVa~xJ

令2a+"b?Λ>0,即[6χ-(2α+4b)](χ-α)>0,

方程[版-(2"+αb)](x-α)=0的一個(gè)根為x=“，要保證函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

需另一個(gè)根為x=-%^b(-a)-(2a+ab)=0,解得b=T

.?.[-x-w](x-a)>0,即函數(shù)的定義域?yàn)?-α,α)

當(dāng)b=—1時(shí)，〃x)=In(空B=In[m]=_1?巖)=_〃_,，f(x)為奇函數(shù);

當(dāng)bw-l時(shí)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)

所以函數(shù)f(x)的奇偶性與。無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

故選：D

8.(2022?寧夏吳忠區(qū)青銅峽市教育局高一開(kāi)學(xué)考試)已知/(x)=?1，"一∣"+5x≤%>0,?？?/p>

[logflx,x>?

減函數(shù)，則”的取值范圍是()

4(噎4*7B-(K)c?[?0d-[?)

【答案】D

【分析】利用分段函數(shù)在R上單調(diào)遞減的特征直接列出不等式組求解即得.

【詳解】因函數(shù)/(x)=[*'T)x^7"'X3(a>0,4Rl)是定義在R上的減函數(shù)，

5a-↑<0

∣,解得

則有,0<α<1≤α<L

75

（5。-1）+2?！軮ogu1

所以”的取值范圍是?,?).

故選：D

2Λ+1

9.(2021?福建三明?高一期中)若函數(shù)/(χ)=K±i是奇函數(shù)，則使0</(尤)<3成立的X的取值范圍

2x-a

是()

A.(―∞,-1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(l,+∞)

【答案】D

【分析】由/(%)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求m代入即可求解不等式.

【詳解】???〃力=『>是奇函數(shù)，.../(—幻=一/(工)，即—匕=二^,

??/?.t?_ACX

1+2*1+2v1x÷1

整理可得」=匕二,.?.l-a?2v=a-2v,?Q=1,.?./(X)=V二

1-Λ?2Va-2x2x-l

v

2-l>0r

2Λ-12-l>02Λ>1

0<∕(x)<3,.?「v

2+lC="2'+l<3(2T)n、v

2Λ+1-------<32>2'

-------<3O12T

[2x-l

,?2>2,解可得x>l?

所以不等式的解集為(1,÷∞)

故選：D.

10?(2021?云南?昆明市官渡區(qū)第一中學(xué)高二期中)己知直線/∕y=m,3)=J二(m>0),若44分

別與函數(shù)y=IlogzX的圖象相交于C,AB,O(從左到右)4個(gè)不同的交點(diǎn)，曲線段C4,B。在X軸上

投影的長(zhǎng)度為。力，則當(dāng)log,2取得最小值時(shí)，機(jī)的值為()

a

A.?B.—C.-D.一

2346

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，易得XEa=XCXo=1，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算以及均值不等式即可求解.

【詳解】設(shè)點(diǎn)c,A,8,￡>的橫坐標(biāo)分別為X。，則結(jié)合函數(shù)y=∣log2X∣的圖象，易得

-11xn-X∕>b

由題意得，O-XA-XC--------=-----,h=XD-XB,^L-=XBXD,

XBXDXBXDCl

..l..h.14AΠ÷111、CI1WL『w4/w+l1

01?Iog2-=log,xll+log,XD=m+-——-=--—+-——---≥2×----,當(dāng)且僅當(dāng)一；一="——-,

a4∕π÷144/H÷142444∕π+1

即加=J時(shí)，取等號(hào).

4

因此當(dāng)log,2取得最小值時(shí)，mΛ.

'a4

故選：C.

二、多選題

11.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)〃X)的定義域?yàn)镈,若存在閉區(qū)間［a,b］=Q,使得函數(shù)〃行同

時(shí)滿足①f(x)在［?；厣鲜菃握{(diào)函數(shù)；②/(x)在口々上的值域?yàn)椋郾厝?4>0),則稱(chēng)區(qū)間［a,勾為

/(x)的“左倍值區(qū)間下列函數(shù)存在“3倍值區(qū)間”的有()

A./(x)=InXB."x)=’(x>())

γ

C./(Λ)=√(X>0)d?f(χ)=ττ7(o≤E)

【答案】BC

【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合各選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性判斷a、b的存在性，即可得答案.

【詳解】A：/(x)=InX為增函數(shù)，

/、r

若/(x)=InX存在“3倍值區(qū)間”[凡々，則[fU(a)==↑n]nab==33a>，

結(jié)合y=Inx及y=3x的圖象知，方程InX=3x無(wú)解，

故/(x)=InX不存在“3倍值區(qū)間”，A錯(cuò)誤；

B：f(x)=g(x>0)為減函數(shù),

f(^a)=-=3b

若存在“3倍值區(qū)間”［。,耳，則有｛:，得“T，乂α>0,b>0,

/(?)=-=3α

所以可取4=；,b=?,

所以f(x)=g(x>O)存在“3倍值區(qū)間”，B正確；

C:CX)=X2(x20)為增函數(shù),

若/(x)=V(x≥0)存在“3倍值區(qū)間”則匕==；：,得

所以“X)=V(X≥0)存在“3倍值區(qū)間”,C正確;

D：當(dāng)X=O時(shí)，/(x)=0:當(dāng)O<χ≤l時(shí)，"”=：!，從而可得f(x)在[0,1]

上單調(diào)遞增,

X

a-O

若"x)=7AT存在“3倍值區(qū)間”[a，勾且[a，6]=2/，則有T解得不符

b=0'

限)=i?=肪

合題意，

所以〃X)=士(04x41)不存在“3倍值區(qū)間”，D錯(cuò)誤.

故選：BC

Iog1(l-x),-l≤x≤n

12.(2022?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí))已知〃<根，函數(shù)/(X)=3的值域是[T1],則

22∣Λ^1I-3,n<x<m

下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)〃=O時(shí)，"?￡(；,2B.當(dāng)〃W0,g)時(shí)，∕w∈(π,2]

C.當(dāng)〃E0,g]時(shí)，m∈[l,2]D.當(dāng)〃=；時(shí)，m∈(g,2

【答案】CD

【分析[先對(duì)分段函數(shù)去絕對(duì)值討論單調(diào)性，作出>=l°gl(lτ),Λ≥-H∏γ=22÷-,l-3,XNT的

2

圖象，〃=0時(shí)，由圖可得m的范圍，可判斷A；當(dāng)0,：)時(shí)先求出了=108](1一*),T≤x≤〃的

_2)2

值域，進(jìn)而可判斷時(shí)，/(x)=l必有解，即可得加的范圍，可判斷B,C；當(dāng)〃=：時(shí)，先

計(jì)算"x)=log,(l-x)在1-I,』上的值域，即可得y=22TT-3,”<x≤m的范圍，進(jìn)而可得小的

2[_2_

范圍，可判斷D.

【詳解】當(dāng)x>l時(shí)，x-l>O,此時(shí)y=22TT-3=22τ"-3=23r-3單調(diào)遞減，當(dāng)-l<x<l時(shí)，X-IV0,

此時(shí)y=22ψ^ll-3=22+t^l-3=2"'-3單調(diào)遞增，所以y=2。TT-3在(TI)上單調(diào)遞增，在(1,轉(zhuǎn))上

單調(diào)遞減，所以當(dāng)x=l時(shí)，y=22TT-3取得最大值，為2°-3=1.作出y=l°gI(I-X)與y=戶T-3

2

在11,用)上的圖象如圖所示：

時(shí)，此時(shí)

對(duì)于B,當(dāng)θ,?j,XeI-LHI-Xe[1-〃,2],/(x)=IogKI-x)∈-1,log1(l-n),此

22

時(shí)一1≤"x)41og,(l-")<l,因?yàn)?(χ)的值域?yàn)椴?,1],則x∈(〃,同時(shí)，/(x)=l必有解，即

2

2

2-M-3=I,解得X=1,由圖知me[l,2],故B不正確，C正確；

對(duì)于D,當(dāng)〃=?0寸，/(x)=l°gjl(lr)在1-I,：]上單調(diào)遞增，此時(shí)/(x)的最小值為

22L2J

〃-l)=k)g；2=-l,/(χ)的最大值為/(；)=IOg(I-J=I,要使〃χ)的值域?yàn)閇75，由圖知

機(jī)e(；，2,故D正確.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查分段函數(shù)的值域，解題的關(guān)鍵是根據(jù)

題意作出/(x)的圖象，結(jié)合圖象逐個(gè)分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題

13.(2021?江蘇?礦大附中高三階段練習(xí))函數(shù)/(x)=22-2川+2的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)閇1,2],下

列結(jié)論中一定成立的結(jié)論的序號(hào)是()

A.Λ/?(-∞,1]B.M?[-2,lJC.1∈Λ∕D.OeM

【答案】ACD

【分析】先研究值域?yàn)榭冢?]時(shí)函數(shù)的定義域，再研究使得值域?yàn)閇1,2]得函數(shù)的最小值的自變量的取

值集合，研究函數(shù)值取1,2時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的取值，由此可判斷各個(gè)選項(xiàng).

【詳解】由于∕ω=2"-2-r+l+2=(2l-D2+Ie[1,2],

.?.(2X-1)2∈[0,1],.?.2Λ-1∈[-1,1],.?.2te[0,2],.?.xe(→o,l],

即函數(shù)AX)=22'-2*"+2的定義域?yàn)?y),l]

當(dāng)函數(shù)的最小值為1時(shí)，僅有X=O滿足，所以O(shè)eM,故D正確；

當(dāng)函數(shù)的最大值為2時(shí)，僅有x=l滿足，所以IwM,故C正確：

即當(dāng)M=[O,1]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇L2],故Mu(f,l],故M衛(wèi)不一定正確，故A正確，B錯(cuò)

誤；

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，解題的關(guān)鍵是通過(guò)函數(shù)的值域求出函數(shù)的定

義域，再利用元素與集合關(guān)系的判斷，集合的包含關(guān)系判斷，考查了學(xué)生的邏輯推理與轉(zhuǎn)化能力，

屬于基礎(chǔ)題.

14.(2022.河北.大名縣第一中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/(x)=IgHX2-2x+2-x+lbg(χ)=∣^∣則

下列說(shuō)法正確的是()

A.是奇函數(shù)

B.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)

C.若函數(shù)尸(X)=/(x)+g(x)在xw[lτ%l+間上的最大值、最小值分別為M、N,則"+N=4

D.令尸(X)="x)+g(x),若.⑷+網(wǎng)-2a+l)>4,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-1,+8)

【答案】BCD

【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義，可判定A錯(cuò)誤；利用圖像的平移變換，可判定B正確；利用函

數(shù)的圖象平移和奇偶性，可得判定C正確；利用函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.

【詳解】由題意函數(shù)/(X)=lg(√x2-2x+2—X+1)=lg(7(x-l)2+l-(x-l)j,

因?yàn)椤?x-l)2+l-(x-1)>0恒成立，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，

又因?yàn)?⑼=lg(√5+l)H(),所以/(x)不是奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；

將g(x)=土型的圖象向下平移兩個(gè)單位得到尸廿_2=上二，

再向左平移一個(gè)單位得到MX)==W，

1_Qx一1

此時(shí)MT)=罟7=∣7g=-%(x),所以〃(χ)圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱(chēng)，

所以g(x)的圖象關(guān)于(1,2)對(duì)稱(chēng)，所以B正確；

將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得，W(X)=Ig(√7W-x),

因?yàn)閙^-x)+m^x)-Ig(JX2+1+x)+?g^y∣x2+l-X)=IgI=0,

HPm(-x)=-m(x),所以函數(shù)∕n(x)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)關(guān)于。,0)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

所以F(X)若在l+a處取得最大值，則尸(力在I-“處取得最小值，

則F(l+α)+F(I-q)=∕(l+o)+∕(l-α)+g(l+α)+g(l-α)=0+4=4,所以C正確；

由F(α)+F(-2α+1)>4,可得/(?)+/(l-2a)+g(α)+g(l-2a)>4,

由/(x)=Ig(J(X-I)2+1-(x-l)j,

2

設(shè)m(x)=lg墳χ2+l-x)∕=√x+i-x,

可得∕=^n=-ι<°,所以Z=JT幣―工為減函數(shù)，

7X+1

可得函數(shù)，"(χ)=?g(7?+1-X)為減函數(shù)，

所以函數(shù)"x)=lg("(x-l)2+l-(X-D)為單調(diào)遞減函數(shù),

乂由g(x)=4J=I+m三為減函數(shù)，所以F(X)為減函數(shù)，

因?yàn)槭?χ)關(guān)于點(diǎn)(1,2)對(duì)稱(chēng)，

所以P(α)+/(一加+1)>4=F(o)+F(2-a),即F(-2a+l)>F(2-a),

即-2z+l<2-α,解得α>-l,所以D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】求解函數(shù)有關(guān)的不等式的方法及策略：

1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，

具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為/(χ,)>/(S)的形式；

②根據(jù)函數(shù)〃力的單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)法則轉(zhuǎn)化為形如：>々”或"±<與''的常規(guī)不等式，從而得

解.

2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問(wèn)題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問(wèn)題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.

15.(2022?江蘇?高一期末)已知正實(shí)數(shù)居y,z滿足2x=3?v=6l則()

xyz

A.x+y=zB.xz+yz=xyC.->2->-D.xy≥4∑-0

236

【答案】BCD

,

【解析】令2'=3>'=6==f則，>1，可得：X=Iog>=Iog31,Z=IOg,/，

利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算χ+>可判斷選項(xiàng)A,驗(yàn)證'+,=［是否正確可判斷選項(xiàng)B,山于

xyz

通?=罩比較21g2<31g3<61g6可判處選項(xiàng)C,利用基本不等式可判斷選項(xiàng)D,進(jìn)而可得正

aQlga

確選項(xiàng).

v,

【詳解】令2*=3?=6：=，則f>］，可得：X=Iog2，>=Iog31,Z=Iog6，，

對(duì)于選項(xiàng)A：x+y=∣0g2f+bg3"獸+瞿=Igd=+=a,

?g2Ig3(lg2Ig3jIg2lg3Ig黑2-lg3

z=??若x+N=z則=因?yàn)殪*心，所以x+y≠z,故選項(xiàng)A不正確；

Ig6Ig2?lg3Ig6Ig2?lg3Ig6

χ+V111?

對(duì)于選項(xiàng)B：由％z+yz=移可得----=—,即一+—=一,

xyzxyz

因?yàn)?垣+螞=-^(Ig2+lg3)=逆=Iog,6=1,

“戈ylog2rlog3rIgrIgrIgrlg∕Z

所以一+—=-，即xz+yz=孫，故選項(xiàng)B正確；

xyz

對(duì)于選項(xiàng)C：??i=華，因?yàn)?1g2<31g3<61g6,所以有二>六>工，

aalga2Igz31g36Ig6

因?yàn)閘gf>0,所以懸>黑>黑，即警>粵>留，即故選項(xiàng)C正確；

21g231g361g6236236

對(duì)于選項(xiàng)D：Λy=Iogr÷Iog/=—?—=—，

23Ig2Ig3Ig2×lg3

4z」(bg"=4層)=向("，

因?yàn)镮g2χlg3<(跳詈J=粵匚，因?yàn)镮g2*lg3所以等號(hào)不成立,

14nɑr)24Z、2

所以四愴3>詞'即>宙W)'

所以Xy>4Z2,根據(jù)“或”命題的性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是令2*=3,=6：=f則，>1，可得：X=IOgy?=?ɑg?t,

Z=Iogef,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式化筒每一個(gè)選項(xiàng)的等式，注意利用基本不等式時(shí)等

號(hào)能否成立.

16.(2020?全國(guó)?高一單元測(cè)試)對(duì)于函數(shù)/(x)定義域中任意的Λ,,Λ2(Λ?≠Λ2),有如下結(jié)論，當(dāng)

/(x)=IgX時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是()

A./(x1+x2)=∕(x,)√(x2)B./(xl?x2)=∕(xl)+∕(x2)

f(xi)-f(X2)Df(x∣+±](XJ+/(%)

■玉-々-?l2J2

【答案】BC

【解析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷A,B,由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C,由對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合基本不等式

判斷D.

x

【詳解】對(duì)于A,Q/(xl+x2)=?g(?i+?)≠?g?)?lg?,即/(x∣+X2)≠∕(x∣>∕(2)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,Q∕(Λ??x2)=lg(xlx2)=Igxl+Igx2=∕(xl)+∕(x2),故B正確；

對(duì)于C,Q∕(χ)=lgχ在定義域中單調(diào)遞增，；.㈤>0,故C正確；

對(duì)于D,QΛ1,Λ?>O(Λ1≠Λ2),利用基本不等式知七旦)=lg(土產(chǎn))>lg斥，又

f叫S*幽=?p)=lg斥,則牛/叫/⑷,故D錯(cuò)誤；

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，

解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將對(duì)數(shù)形式化為根式，即里空嶼=Ig斥，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合基本不等

式放縮得出答案，并驗(yàn)證取等條件，考查了學(xué)生邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.

17.(2023?全國(guó)?高三階段練習(xí))關(guān)于函數(shù)y=lg(占-1)說(shuō)法正確的是()

A.定義域?yàn)?-1,1)B.圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增

【答案】ACD

2

【分析】由六-1〉。即可求出其的定義域；利用Ar)=-/(幻可判斷/W為奇函數(shù)；求利用復(fù)合

i-x

函數(shù)的單調(diào)性即可判斷/(x)在(0,1)內(nèi)的單調(diào)性.

【詳解】因?yàn)?(X)=Ig(占-I)=Ig(三)，

所以--->0=>------<0=>-l<x<l,

I-Xx-1

所以定義域?yàn)?TJ),故A正確；

因?yàn)?D=Ig(Wj=-f(χ),

所以/(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤，C正確;

又y=l-x>O在(0,1)上單調(diào)遞減，

2

所以y=Fτ>o在(。，1)上單調(diào)遞增,

X

又y=igχ在(O,+8)上單調(diào)遞增，

所以y=3(占-1)在(。,1)上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：ACD.

第II卷(非選擇題)

三、解答題

?—∣ζjζ

18.(2022?河北武強(qiáng)中學(xué)高二期末)已知函數(shù)/O)=bgI—為奇函數(shù).

iXTr

⑴求常數(shù)k的值；

⑵當(dāng)x>l時(shí)，判斷了3的單調(diào)性，并用定義給出證明；

(3)若函數(shù)=且g(x)在區(qū)間［3,4］上沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)&=-1；

(2)/S)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；

159

⑶m∈(-∞,-+log-)u(-,+00).

Io23o

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)值：

(2)令再>%>1，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷f(xl?f(x2)的大小關(guān)系即可.

I-Uv-

(3)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根=(g)-1Ogl士在區(qū)間［3,4］上無(wú)解，根據(jù)右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性求值域，即可確

2X-I

定，”的范圍.

(1)

1

由/(一幻=-f(x),即IogI=-logIγ=θgl?-?

2-X-I2x~'2］一"

?+kxx—\

所以?Jl2x2-I=X2-I.貝必=±1,

-X-I~?-kx

1—X

當(dāng)A=I時(shí)，->O顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證：Z=T符合題意;

X-I7

所以％=-1;

(2)

Fa)單調(diào)遞增,證明如下：

1+X

由(1)知：/W=Iog--若%＞無(wú)，＞1,

?lX—1

2xx-X+x,-1

則/(Xj-F(W)Togi??-?θg??^=IOgl(1+占)(々-1)=t8101

'°；X1X2÷x.-x2-l

xi

l?l-?22-2(xl-1)(1+x2)

即中2

而xlx2-xl+x2-?＜X1X2+X1-X2-I,

xlx2÷x1-x2-1

所以，(西)-/(工2)>°，故/(X)單調(diào)遞增.

(3)

由

?(x)=logl-?4+m.令g(x)=O,

2X-I

61-log'7≡7,由(2)知：/(X)在［3,4］上遞增，而y=Gj在［3,4］上遞減,

所以Zn=

所以go=(：)-1叫霆在［3,4］上遞減，則〃(幻6［、+1082：爭(zhēng).

159

又m=人(x)在區(qū)間［3,4］上無(wú)解，故m∈(-∞,—+Iog-)u(-,+∞)

16238

19.(2022?廣東韶關(guān)?高一期末)雙曲函數(shù)是一類(lèi)與常見(jiàn)的三角函數(shù)類(lèi)似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)

是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問(wèn)題”與之相關(guān)).記雙曲正弦函數(shù)為/(X),

雙曲余弦函數(shù)為g(χ),已知這兩個(gè)最基本的雙曲函數(shù)具有如下性質(zhì)：

①定義域均為R,且“X)在R上是增函數(shù)；

②f(χ)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù);

③/(x)+g(x)=e'(常數(shù)e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828).

利用上述性質(zhì)，解決以下問(wèn)題：

(1)求雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)的解析式；

(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)X,Iy(X)了-[g(x)了為定值;

(3)已知m∈R,記函數(shù)y=2κ?g(2x)-4∕(x),xe[θ,ln2]的最小值為以機(jī))，求夕(相).

【答案】⑴/(X)=三匚，g(x)=二二

⑵證明見(jiàn)解析

17wC2

-------3,m<—

⑶夕(,")=，4??

2m----,m>—

m3

【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可得出關(guān)于f(x)、g(x)的等式組，即可求得這兩個(gè)函數(shù)的解

析式；

(2)利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

-3^1「3一

(3)設(shè)f=e'-e-jr,可得出fe。弓，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)Mr)=儂02+2,〃，fe0,1的最小值,

對(duì)實(shí)數(shù)機(jī)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，分析函數(shù)〃⑴在0，上的單調(diào)性，即可求得夕(時(shí)的表達(dá)式.

(1)

解：由性質(zhì)③知/(χ)+g(χ)=e*,所以/(τ)+g(-x)=eτ,

由性質(zhì)②知，.f(-x)=-f(x),g(τ)=g(x),所以-f(x)+g(x)=eτ,

jt

[/(x)+g(x)=ePΛ一P~xp?v4-?

解得

[-f(χ)+g(χ)=e/(χ)=jj,g(x)=V

因?yàn)楹瘮?shù)y=e*、y=-e-"均為R上的增函數(shù)，故函數(shù)/(X)為R上的增函數(shù)，合乎題意.

(2)

證明：由(1)可得：

22i2x2x2x

[/(χ)]-?(<=[≤τ'e+e--2e+e^+2

44

(3)

解：函數(shù)y=2,"?g(2x)-4∕(x)=We2'+e3)-2(e,-eτ),設(shè)ue'-e'

由性質(zhì)①，/(x)=*J?在R是增函數(shù)知，當(dāng)x∈[0,ln2]時(shí)，reps],

「3-

所以原函數(shù)即y=mJ-2z+2"z,t∈O弓,

3

設(shè)〃(。二"以2—2f+2"7,t∈0,—,

當(dāng)加=0時(shí)，在0,|上單調(diào)遞減，此時(shí)代L=/7(|)=-3.

當(dāng)"2≠0時(shí)，函數(shù)Mr)的對(duì)稱(chēng)軸為f=2,

當(dāng)m<0時(shí)，則L<O,/()在上單調(diào)遞減，此時(shí)MOmM=4?]=?-3,

tnZ?Zy4

當(dāng)o<?<∣時(shí)，即機(jī)時(shí)，Mf)在jo,上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

此時(shí)MOmin

132

當(dāng)上二三時(shí),即0<m≤W時(shí),Mf)在。,|上單調(diào)遞減,

m23

17mr,2

-------3,/W<—

43

綜上所述，e(m)=<

2Cm---1,m>-2,

tn3

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：”動(dòng)軸定區(qū)間''型：次函數(shù)最值的方法：

(I)根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類(lèi)討論；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的

函數(shù)值進(jìn)行分析；

(3)將分類(lèi)討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.

t

20.(2022?山西運(yùn)城?高二期末)已知函數(shù)〃%)=1嗝(4*+1)-1嗎2*,?(x)=log4fa?2-'-∣0j.

(D若Vx∣eR,對(duì)叫WT1],使得〃蒼)+4*—加2$≥0成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(2)若函數(shù)/(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

Q

【答案】(l)m≤;

4

(2){-6}∪(2,+∞)

【分析】(1)由已知/(x)min≥m?2--4?利用基本不等式求