高等代數(shù)(II)期末考試試卷及答案(A卷)

高等代數(shù)〔II〕期末考試試卷與答案〔A卷〕

一、填空題〔每小題3分，共15分〕

1、線性空間?上]的兩個(gè)子空間的交心(1—%)L(1+%)=

2、設(shè)E],%，…，，與J逐2是n維線性空間V的兩個(gè)基，

由弓,與，…,吃到邑',％'，…，的過(guò)渡矩陣是c,列向量x是v

中向量自在基片,與，…，￡〃下的坐標(biāo)，則自在基0'，“'，…，，'下

的坐標(biāo)是

3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，

則A與B的關(guān)系是

4、設(shè)3階方陣A的3個(gè)行列式因子分別為：1,X,V(X+1),

則其特征矩陣XE-A的標(biāo)準(zhǔn)形是

5、線性方程組AX=5的最小二乘解所滿足的線性方程組是：

二、單項(xiàng)選擇題〔每小題3分，共15分〕

1、〔)復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個(gè)

線性空間同構(gòu)：

〔A〕數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)角矩陣作成的線性空間；

[B)數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)稱矩陣作成的線性空間；

(C〕數(shù)域P上所有二級(jí)反對(duì)稱矩陣作成的線性空間；

(D)復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間.

2、〔)設(shè)人是非零線性空間V的線性變換，則下列命題正確的是：

(A)4的核是零子空間的充要條件是4是滿射；

(B)4的核是V的充要條件是4是滿射；

1/10

4的值域是零子空間的充要條件是4是滿射;

（D）4的值域是V的充要條件是4是滿射

3、〔）入—矩陣A@）可逆的充要條件是：

（A）|A（X）|^O;（可卜0）|是一個(gè)非零常數(shù)；

（。）人（九）是滿秩的；（Q）A@）是方陣.

4、〔）設(shè)實(shí)二次型/=XAX〔A為對(duì)稱陣）經(jīng)正交變換后化為：

%%+入2y2+…+入"V",則其中的九1，九2，…入〃是：

（A）±l;（B）全是正數(shù)；（。）是A的所有特征值；（。）不確定.

5、（）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A有三重特征根”一2〃，則A的若當(dāng)

標(biāo)準(zhǔn)形是：

（。）以上各情形皆有可能.

三、是非題〔每小題2分，共10分〕

（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“〃，否則打”義〃〕

1、（）設(shè)V1,V2均是n維線性空間V的子空間，且匕匕={0}

則丫=匕十匕.

2、〔）n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下

的矩陣是一對(duì)角矩陣.

3、〔）同階方陣A與B相似的充要條件是入E—A與入￡—3

等價(jià).

4、1）n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣.

5、〔〕歐氏空間的內(nèi)積是一對(duì)稱的雙線性函數(shù).

四、解答題〔每小題10分，共30分〕

2/10

1、在線性空間04中，定義線性變換：

(1)求該線性變換4在自然基：￡1=(1,0,0,0)',￡2=(0，1，0，°)'

￡3=(0,0,1,0)',￡4=(0,0,0,1),下的矩陣A；

〔2)求矩陣A的所有特征值和特征向量.

2、11)求線性空間尸［%］中從基(1)：1,(%—1),(%一廳到基

(〃)：l,(x+l),(x+l)2的過(guò)渡矩陣；

［2)求線性空間尸［%］中向量—2%+3Y在基

(/)：1,(%-I7下的坐標(biāo).

3、在R2中,Va=(%,“2)，P=(412),規(guī)定二元函數(shù)：

(1)證明：這是R2的一個(gè)內(nèi)積.

(2)求R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

五、證明題〔每小題10分，共30分〕

1、設(shè)P3的兩個(gè)子空間分別為:

x3=0

證明：〔1〕尸3=%+%；

121%+卬2不是直和.

2、設(shè)4是數(shù)域P上線性空間V的線性變換，證明卬二乙(四,012，...,%)

是4的不變子空間的兗要條件是a”w(1=1,2,....)

3、已知A—石是n級(jí)正定矩陣,證明：

〔1)A是正定矩陣；

［2)\A+2E\>T

答案

3/10

一、填空題〔每小題3分，共15分〕

1、線性空間「[%]的兩個(gè)子空間的交心（1一%）L（l+x）={0}

2、設(shè)邑，…，工與￡；，“'，…，，'是n維線性空間V的兩個(gè)基，

由，,%到7，％的過(guò)渡矩陣是c,列向量x是v

中向量。在基與，…，工下的坐標(biāo)，則己在基7'，q'，…，"'下

的坐標(biāo)是c]x

3、設(shè)A、B是n維線性空間V的某一線性變換在不同基下的矩陣，

則A與B的關(guān)系是相似關(guān)系

4、設(shè)3階方陣A的3個(gè)行列式因子分別為：1,X,V（X+1）,

,100、

則其特征矩陣九E—A的標(biāo)準(zhǔn)形是。九°

、00九（九+1、

5、線性方程組AX=5的最小二乘解所滿足的線性方程組是：

二、單項(xiàng)選擇題〔每小題3分，共15分〕

2、〔A〕復(fù)數(shù)域C作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間可與下列哪一個(gè)

線性空間同構(gòu)：

（A〕數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)角矩陣作成的線性空間；

[B）數(shù)域P上所有二級(jí)對(duì)稱矩陣作成的線性空間；

（C〕數(shù)域P上所有二級(jí)反對(duì)稱矩陣作成的線性空間；

〔D〕復(fù)數(shù)域C作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間.

2、（D〕設(shè)/是非零線性空間V的線性變換，則下列命題正確的是:

[A）4的核是零子空間的充要條件是4是滿射；

[B）4的核是V的充要條件是4是滿射；

4/10

（C）4的值域是零子空間的充要條件是4是滿射；

（D）/的值域是V的充要條件是4是滿射

3、（B〕九—矩陣A。）可逆的充要條件是：

（A）|A（X）|^O;（可卜0）|是一個(gè)非零常數(shù)；

（。）人（九）是滿秩的；（Q）A@）是方陣.

4、〔C〕設(shè)實(shí)二次型/=XAX（A為對(duì)稱陣）經(jīng)正交變換后化為:

%%+入2y2+…+入"V",則其中的九1，九2，…入〃是：

（A）±l;（B）全是正數(shù)；（。）是A的所有特征值；（。）不確定.

5、（A〕設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A有三重特征根”一2〃，則A的若當(dāng)

標(biāo)準(zhǔn)形是：

（。）以上各情形皆有可能.

三、是非題〔每小題2分，共10分〕

（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為對(duì)的小題對(duì)應(yīng)的括號(hào)內(nèi)打“〃，否則打”義〃〕

1、（X）設(shè)Vi,V2均是n維線性空間V的子空間，且匕匕=｛。｝

則V=K十匕.

2、（J〕n維線性空間的某一線性變換在由特征向量作成的基下

的矩陣是一對(duì)角矩陣.

3、〔J〕同階方陣A與B相似的充要條件是九E—A與九￡—3

等價(jià).

4、（X〕n維歐氏空間的正交變換在任一基下的矩陣都是正交矩陣.

5、（J）歐氏空間的內(nèi)積是一對(duì)稱的雙線性函數(shù).

5/10

四、解答題〔每小題10分，共30分）

1、在線性空間24中，定義線性變換:

（1）求該線性變換4在自然基：G=（l,0,0,0）',￡2=（0，l，0,0）'

￡3=（0,0,1,0）,,￡4=（0,0,0,下的矩陣A；

（2）求矩陣A的所有特征值和特征向量.

'1000、

0100

解：口）線性變換4在自然基下的矩陣是A=1010(5分1

<010b

（2）因?yàn)閮?nèi)石一A|二（九一I），

所以矩陣A的所有特征值是％%二%=九4二1

解齊次線性方程組（石一A）x=0

得矩陣A的所有特征向量：

左1（0,0,1,0）,+左2（0,0,0,1）',其中左1,左2不全為零.15分）

2、（1）求線性空間中從基（/）：1,（X—1）,（X—1）2到基

(〃)：l,(x+1),(*+1)2的過(guò)渡矩陣;

（2）求線性空間尸［%］中向量/（X）=1—21+3無(wú)2在基

（/）：l,（x—l）,（x—1）2下的坐標(biāo).

'1-11'

解：⑴因?yàn)椤叮╔—1）,?！?）2卜（1,羽/）。1-2

10。1J

所以

6/10

'124、

即所求的過(guò)渡矩陣為014工分)

(2、

4

所以/(%)在基(1)：1,(KT),(%T)2下的坐標(biāo)是：[5分)

3、在R2中,Va=(%,Q2)，P=色,4),規(guī)定二元函數(shù)：

(3)證明：這是R2的一個(gè)內(nèi)積.

(4)求R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

⑴證明：(a,P)=afy-axb2-a2b1+4a2b2

(1-1)

因?yàn)開(kāi)14是正定矩陣，

所以這個(gè)二元函數(shù)是R2的一個(gè)內(nèi)積.〔5分)

⑵解：考察自然基￡1=(1,。)，￡2二(°』)

(1-1)

它的度量矩陣正是[_]4

令：%=令=(1,

7/10

0t2=82

111

再令:印嚼…，92=網(wǎng)。2=有（1，1）

則瓦02是R2的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.[5分）

[2）解法二：考察自然基7二（1,。），￡2=（0,1）

(1-1}

它的度量矩陣正是bl4J

0產(chǎn)〃灼口010、

(1—110、r2+ri(101

1JCX6/M0H/V31/G

-1401幾+Cj(O312

1

1OL]=7

￡

令

a-/即

Z?2Z*2O

a2=(1/73)(1,1)

2

則ccl?a2的度量矩陣是E,從而是R的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

五、證明題〔每小題10分，共30分〕

2、設(shè)P3的兩個(gè)子空間分別為:

%3=。}

證明：〔1〕尸3=%+%；

⑵％+卬2不是直和.

證明：（1）Wi的一個(gè)基是：0tl=（—1,1,0）,。2=（TO』）

W2的一個(gè)基是：ft=(i,i,o),p2=(1,0,1)

因?yàn)閃1+嗎:”四@,Bi，02)

8/10

其中必。2，01是％+%的生成元的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組

從而是％+%的一個(gè)基，

所以dim（叱+嗎）=3=尸3=叱+嗎3分）

（2）因dim嗎=2,dim（叱+%）=3

即dim他+嗎）wdimW；+dimW

所以叱+%不是直和.［5分）

⑵之證法二：因?yàn)檫硢?"（0,-1,1））"0}

所以叱+也不是直和.

2、設(shè)4