天津市培杰中學(xué)2022-2023學(xué)年高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)學(xué)情調(diào)查

一、單選題

1.已知集合。={-2，」，。，1，2},4={。},5斗所+-2<。},則”

A.{-1}B.{1}C.{-1,1,2}

【答案】A

【解析】

【分析】

化簡集合8,根據(jù)補集和交集的概念運算可得結(jié)果.

【詳解】gA={—2,—1』,2},8={加一2<%<1},

?A）8={-1

故選：A

2.“蘇<〃2"是"]nzn《ln九”（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用充分條件、必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】由In7〃<In”，

可得0<加<〃，

故根2</成立；

NP7<n2，

得帆<w，

當(dāng)機<0,〃<0時，

lnzn<ln〃不成立；

所以“加2<是"]口相<111〃”必要不充分條件.

故選：B.

2sinx

3.函數(shù)f(x)=在［-匹?I的大致圖象是（）.

e八%+Ie八一%

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除C、D,根據(jù)％6（0,萬）時，函數(shù)值的符號排除B,故選A.

2sinx2sin(-x)_2sinx

【詳解】因為/（%）=，所以〃r）==-7（%）,所以/（X）為［—?,?］上

,+e

的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故C、D不正確;

當(dāng)^^（0,不）時，sinx>0,所以/（x）>0,故B不正確;

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用函數(shù)的性質(zhì)排除不正確選項是解題關(guān)鍵.

4.已知等比數(shù)列｛%｝滿足q=2,〃3,〃5=44，則。3的值為（

1

A.-BC.1D.2

4-I

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)%?%=4尺，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得小,再利用通項公式求解.

【詳解】在等比數(shù)列｛4｝中，4=2,%-%=4d，

所以aj=4aA，

所以/=：,/=彳，

42

所以4=%/=1,

故選：C

5.已知正方體ABC。-的所有頂點都在球。的表面上，若球。的體積為36乃，則正方體

ABC?！猘4Goi的體積為（）.

A.2A/3B.373C.126D.2473

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出球。的半徑，再根據(jù)正方體的棱長與其外接球半徑的關(guān)系，求出正方體的棱長，即可求出正方體的

體積.

【詳解】解：球。的體積為36"，

4二

即一TTP=36%,

3

解得：R=3,

設(shè)正方體ABC?！?4GR的棱長為。，

由題意知：2尺='/+片+片,

即6=A/3?>

解得：a=26

二正方體ABC?！狝4C[O]的體積V=（2=245/3.

故選：D.

A-0-8

08

6.設(shè)。=（,沙=3叫c=log07-,則a,b,c的大小關(guān)系為（）.

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出仇c的大小關(guān)系.

【詳解】解：4==308>3°=1,

.2=3°9>3°-8=。>1，

0807

又，C=log07-<log07-=1,

:.c<a<b.

故選：D

22

19-VY

7.已知拋物線%/=丁的焦點戶與雙曲線2T——=1(a>0,z?>o)的一個焦點重合，且點尸到雙

曲線的漸近線的距離為4,則雙曲線的方程為()

22222222

A,土-乙=1B,土-乙=1c.U1D.匕-j

91616414116916

【答案】D

【解析】

【分析】

由拋物線=求得歹(0,5),得到c=5,再由焦點廠(0,5)到漸近線的距離為4,求得6=4,進(jìn)而

得到a=Jc2—爐=9,即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到答案.

【詳解】由題意，拋物線4-必=丁可化為必=20>,可得焦點坐標(biāo)為尸(0,5),

即雙曲線三—

=1的焦點坐標(biāo)為歹(0,5),即c=5,

礦

又由雙曲線之―*=1的一條漸近線的方程為y=-x,即ax—力=0,

5b

所以焦點尸(0,5)到依—勿=。的距離為一=4A,

2—2

所以6=4，又由Q=Jc?-=>/54=9,

所以雙曲線的方程為工-土=1.

916

故選：D.

【點睛】本題主要考查了雙曲線與拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線和

拋物線的幾何性質(zhì)，合理運算時解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5TT11IT

8.設(shè)函數(shù)/(x)=2sin((yx+。)，xeR,其中力＞0,|。|〈乃.若/(k)=2,/(—)=0,且人B的

88

最小正周期大于27，則

271211K111K17萬

A.co=一,(D——B.CD=—,cp=------C.0)=-(P-------D.CD——,(D----

312312324324

【答案】A

【解析】

、①兀八,n

-------\-(P—2k、7i-\—

812422萬

【詳解】由題意〈,其中心左2￡Z,所以口=—(42—2勺)一一,又T=——>2"，所

Won733

-------\-(p-1兀CD

21IIn

以0<GV1,所以啰=耳，夕=2%］兀+兀，由乃得0=故選A.

【考點】求三角函數(shù)的解析式

【名師點睛】有關(guān)y=Asin(s+°)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象

的最高點或最低點確定A,再根據(jù)周期■周期或小期求出。，最后再利用最高點或最低點坐標(biāo)滿足解

析式，求出滿足條件的。值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點，如對稱軸或曲線經(jīng)過的點的

坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求?；?。的值或最值或范圍等.

9.已知函數(shù)/(%)={2_,若函數(shù)g(x)=/(—x)+/(x)有且只有四個不同的零點，則實數(shù)上

的取值范圍是().

A.(-co,-4)B.(4,+oo)

C.(-oo,0)(4,+oo)D.(-00,4)(4,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

判斷可得g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)在(0,+8)上有且僅有2個不同的零點，求出g(x)在(0,+8)上的解析

式，根據(jù)二次函數(shù)知識列式可得解.

【詳解】因為g(x)=/(—x)+/(x),所以g(—%)=/(%)+/(—無)=g(無)，所以g(x)為偶函數(shù),

因為g(無)有且只有四個不同的零點，

所以g(x)在(0,+co)上有且僅有2個不同的零點，且g(O)=2/(O)=YkwO,即左wO,

當(dāng)x>0時，一九<0,f(-x)=k(-x+3),J(x)=x2-2k,

所以g(x)=k(-x+3)+x2-2k=/一位；+左在(0,+oo)上有且僅有2個不同的零點,

g(0)〉0

所以一E〉°,解得左>4?

2

A=k2-4k>0

故選：B

【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解

二、填空題

(I2?

10.己知i是虛數(shù)單位，則一-=

【答案】l+4z

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算法則可得結(jié)果.

5+3/(5+30(1+02+8,

【詳解】=l+4z,

1-/(1-0(1+02

故答案為：1+4九

6

11.二項式2x-的展開式中常數(shù)項為.

【答案】60

【解析】

【分析】求出二項式的通項公式，再令X對應(yīng)的幕指數(shù)為。即可求解

【詳解】二項式"x—十］的展開式的通項公式為&］=禺(2x)6-1—十］=禺26一(—1)46后,令

3

6-1r=0,解得r=4,所以該二項式展開式中常數(shù)項為或?26-4(—1)4=60,

故答案為：60

【點睛】本題考查二項式中常數(shù)項的求解，屬于基礎(chǔ)題

12.圓Y+y2+2x—2y+a=0截直線尤+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)。的值是.

【答案】-4

【解析】

【分析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑"，利用點到直線的距離公式，算出圓心到直線/

的距離，再根據(jù)截得弦的長度為4,得到關(guān)于〃的方程，解出即可

【詳解】由圓/+y?+2x-2_y+a=0可得(尤+1)一+—=2-a

二圓心為(—1」)，半徑r=《2-a*a<)

直線方程為％+y+2=0

二圓心到直線的距離d=1=72

Vi2+i2

截得弦的長度為4

.-.(V2)2+22=2-a,解得a=T

故答案為T

【點睛】結(jié)合弦長的長度求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只需將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后運用弦長公式的求法求出參量

即可

13.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊5種在線教學(xué)軟件，若某學(xué)校從中隨機選取3種作為教師“停課不停學(xué)”的教

學(xué)工具，則其中甲、乙、丙至多有2種被選取的概率為.

9

【答案】記

【解析】

【分析】

先列出從5種教學(xué)軟件中隨機選取3種的所有情況，然后計算出甲、乙、丙至多有2種的情況，再利用古

典概型公式計算即可.

【詳解】解：從甲、乙、丙、丁、戊5種在線教學(xué)軟件隨機選取3種，

共有以下10種等可能的情況：

甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊,

其中甲、乙、丙至多有2種被選取的有以下9種情況：

甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁，乙丙戊，乙丁戊，丙丁戊，

9

即所求概率為一,

9

故答案為：—.

10

14.已知正數(shù)b滿足ab=l,則3+2里的最小值為.

ba

【答案】4

【解析】

【分析】

由己知得^-+^-=-+-+a+b,然后利用基本不等式求最值即可.

baba

【詳解】由題可知，a>0,b>0,且就=1,所以

a+1b+1aba+bab..\ab_r_T,

---------1---------=—Hb----------—+—+a+b>2A--------+27ab=4,

babaabba\ba

當(dāng)且僅當(dāng)a=3=1等號成立，

故答案為：4.

【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

27r

15.在菱形ABCQ中，NBAD=——,AB=2,點N分別為BC,邊上的點，且滿足

3

\BM\|CN|—.-,

7^77=77右，則AM?AN的取小值為______________?

ICD\

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】

IBMIICNI

設(shè)匕個=需=L0</<1,將40和AN用A3、AD表示，再根據(jù)向量數(shù)量的運算律進(jìn)行求解可

IBC\|CD\

得結(jié)果.

\BM\8”

【詳解】設(shè)0<t<l,

VBC\\CD\

AM=AB+BM=AB+tBCAB+tAD>

UUU1UUUUUIUUUIU

AN=AB+BC+CN=AB+BC+tCD=AB+AD-tAB=(l-t)AB+AD,

所以AM,AN=(AB+%AD)((1—%)AB+AD)

=—+MD+(1+t2)AB-AD

1

=4(1-^)+4z+(1+^-9)x2x2x(--)

—2t2—21+2，

13..3

因為所以當(dāng)方=5時，2產(chǎn)一21+2取得最小值萬，即AM-AN的最小值為

3

故答案為：—

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：將AM和AN用A3、AO表示，再根據(jù)向量數(shù)量的運算律進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.

三、解答題

16.在ABC中，角A、B、。所對的邊分別為mb,c,且Z?—c=l,cosA=；，一ABC的面積為2近.

(1)求q,b,c的值；

(2)求cos(2C+A)的值.

【答案】(1)a=3,b=3,c=2

23

(2)

27

【解析】

【分析】（1）由cosA=1求出sinA,再由三角形的面積列方程可求得物'=6,再結(jié)合已知條件解方程

3

組可求得b,c的值，再利用余弦定理可求出a，

（2）利用正弦定理求出sinC=生色，再求出cos。，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式可求得結(jié)果

【小問1詳解】

*/cosA=-,且Aw(0,?),

???的面積為2企，

?S17?/*172拒6

??S=—bcsmA=—bex-----=2,2,

223

bc-6,

又b—c=\,：.b=3,c=2,

由余弦定理知，a?=/+02-2Z?ccosA=9+4-2x3x2x—=9，

3

:?a=3,

綜上，a-3,b-3,c-2.

【小問2詳解】

3_2

ac—；=~=-----

由(1)及正弦定理-----=-----，知2Asine,

sinAsinC-----

解得sinC=32

9

■:c〈b,cosC=Vl-sin2C=—

9

/.sin2C=2sinCcosC=2x^lx-=^^,cos2C=2cos2C-l=—

998181

/.cos(2C+A)=cos2CcosA—sin2CsinA=Ux』—x

81381327

17.如圖，在四棱錐尸-ABC。中，B4_L平面ABC。，AB±ADf5C〃AD,點M是棱尸。上一點，且A3=

BC=2,AZ)=B4=4.

p

(1)若PM：M￡)=1：2,求證：尸8〃平面ACM；

(2)求二面角A-CD-P正弦值；

(3)若直線AM與平面PC。所成角的正弦值為亞，求的長.

3

【答案】(1)證明見解析；(2)Y5；(3)2夜.

3

【解析】

【分析】(1)以A為原點，AB為x軸，為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能證明尸8〃

平面ACM.

(2)求出平面尸的法向量和平面AC。的法向量，利用向量法能求出二面角A-C。-尸的正弦值.

(3)求出平面CDP法向量，由直線AM與平面PC。所成角的正弦值為亞，利用向量法能求出的

3

長.

【詳解】(1)證明：：在四棱錐尸-A8CD中，

E4J_平面ABC。，ABLAD,BC//AD,

.?.以A為原點，為x軸，A。為y軸，AP為z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

M

???點M是棱尸。上一點，PM：MD=1：2,

AB=BC=2,AD=PA=^.

：.P(0,0,4),A(0,0,0),B(2,0,0),

4

C(2,2,0),M(0,*

PB=(2,0,-4),啟=(2,2,0),AM=(0,

設(shè)平面ACM的法向量〃二(羽y,z),

n-AC=2x+2y=0

則《48取x=2,得(2,-2,1),

n-AM=—y+—z=0rb-

33

:港：=4-4=0,P8C平面ACM,.,.尸8〃平面4cM.

(2)D(0,4,0),pC=(2,2,-4),無=(0,4,-4),

設(shè)平面CD尸的法向量2_(a,b,c),

，，l-

m-PC=2〃+2b-4c=0

則《取b=l,得(1,1,1),

m-PD=4Z?-4c=0rn-

平面AC。的法向量7=(0,0,1),

設(shè)二面角A-CD-P的平面角為e,

1PM1

則性產(chǎn)麗=耳,

，二面角A-CD-P的正弦值為‘1一(耳)=-y-

(3)設(shè)0M=2PD,(OW%Wl),

則-4)=(0,4尢-42),

xl=0,%=4尢Z[=4-42,；.M(0,42,4-42),

AM=(0,42,4-42),平面COP的法向量〃z=(1,1,1),

：直線AM與平面PCD所成角的正弦值為亞，

3

IAM-m|4a

解得力=《，

：.MD=-PD=-xy/42+42=2y/2.

22

18.已知點尸為橢圓［+?=1(a>Z?>0)的一個焦點，點A為橢圓的右頂點，點B為橢圓的下頂點,

橢圓上任意一點到點尸距離的最大值為3,最小值為1.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若M、N在橢圓上但不在坐標(biāo)軸上，且直線AM〃直線8N,直線4V、的斜率分別為％和％2,求

證：ki'ki=e2--1(e為橢圓的離心率)*

【答案】(1)—+^=1(2)證明見解析

43

【解析】

【分析】

a+c=3

(1)根據(jù)橢圓上任意一點到點尸距離的最大值為3,最小值為1,則有｛1求解.

a-c=l

(2)由(I)可知，A(2,0),B(0,—石)，分別設(shè)直線AM的方程為y=A(x-2),直線3N的方程為

y=kx-y/3,與橢圓方程聯(lián)立，用韋達(dá)定理求得點N的坐標(biāo)，再利用斜率公式代入心噥2求解.

a+c=3[a=2

【詳解】(1)由題意可知，〈一解得〈?

a-c=l[c=l

b2=a1-c2=3,

22

...橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：土+匕=1;

43

(2)由(1)可知，A(2,0),B(0,一百),

設(shè)直線AM的斜率為左，則直線BN的斜率也為左,

故直線AM的方程為y=k(x-2),直線BN的方程為y=kx-百,

3》2+4/=12

得（3+4F）X2-16Fx+16F-12=0,

y=^（x-2）

.c1642—12.8左2—6_-12k

??2%=乎丁

、/弘2-6-12）

/.M------------------,

（3+4左23+4左2J

22

f3x+4y=12（…廠

由《?廣得：（3+4左2）三—8?x=0,

y=kx-有、'

._8?_4百左2—3百

?.馬=17病，＞N=3+4H，

/8以4限2_3疔

13+4/'-3+4F-,

4辰2-3括「、

_3+442二石（44—3）

廣〉出以4左2—4辰+3）

842一6—2（4左2-3）'

3+442

_0（4左2—3）百（4左2—4辰+3）3

—2（4j_4?+3）2（44_3）~~4

:?ki，kz=0~1.

【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法和直線與橢圓的位置關(guān)系，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

19.己知等比數(shù)列｛?！埃凉M足%-。2=1°，。14。3=125.

(1)求數(shù)列｛4｝的前〃項和S“

⑵若數(shù)列也｝滿足4=1，MA+—+-++4=%1—K〃eN*),

23n

①求也｝的通項公式：

_n

②求X。也I?

Z=1

【答案】(1)3(3"—1)⑵①句=〃②3("—1)義3"+』

633

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出首項和公比，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果；

(2)根據(jù)錯位相減法可求得結(jié)果.

【詳解】(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4，

(21八份=3

aq-aq=10

則""23,解得5，

qqgy=125a=—

、x3

所以_q(l—q")_3(1—3")=9(3"—1).

Sn=~rr=~^6

bbA

(2)①因4+上+4++—=&?-l(neN*),

123nn+l+1

所以九22時，偽+%+%++^-=bn-1,

23n-1

bb〃+1

兩式相減得」=優(yōu)+i—〃，即n+言｝=—(n>2),

nbnn

b.2

又4=%-1，且4=1,所以4=2,—

力1

所以.=3(〃EN*),即媼=%，

bnnn+1n

hhh

所以數(shù)列｛」｝是常數(shù)數(shù)列，所以」='=1，即2=〃.

nn1

②由⑴知/=弓/-1=|義3"-1,

_n

令T"=E=她+。2b3+a3b5++anb2n_x,

i=l

即4=1X：X3°+3X；X31+5X；X32++(2H-1)X|X3"-1,

即7；=￡1+3x31+5x32++(2〃-1)X3"T),

所以31,=￡1x3+3x32+5x33++(2〃-1)x3"),

所以—27；=|[l+2(3'+32+33++3n-1)-(2n-l)x3"],

所以—27；=：l+2x型]答—(2“—1)x3",

所以—2看][(2—2〃)x3“—2],

S5n55

所以〈=5_l)x3"+z，即Za，4，T=W("—l)x3〃+w

33i=i33

【點睛】關(guān)鍵點點睛：掌握等比數(shù)列的求和公式以及錯位相減法是解決本題的關(guān)鍵.

20.已知函數(shù)/(%)=/-2雙一1,g(x)=2aln(x+l),a^R.

(1)若“X)在點(0"(0))處的切線傾斜角為5,求。的值；

(2)求“力的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對于任意xe[0,+oo),/(x)+g(x)2x恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)0；(2)當(dāng)aW0時，/a)的單調(diào)遞增區(qū)間為R；當(dāng)a>0時，/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間是(-a),ln(2?)),

單調(diào)遞增區(qū)間是(ln(2a),+oo)；(3)-co,1

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)在點(0"(0))處的切線傾斜角為5,得到/'(。)=1，對“X)進(jìn)行求導(dǎo)，再求解即可；

(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑶構(gòu)造函數(shù)0(x)=/(x)+g(x)_%,將原式化為：對于任意xe[0,+oo),0()加恒成立，再利

用dNx+l進(jìn)行適度放縮，從而判斷0(x)的單調(diào)性，找到對應(yīng)的參數(shù)范圍即可.

【詳解】⑴由題意知：f'(x)=ex-2a,

.?.r(0)=e°-2a=1-2