2024屆新高考數(shù)學(xué)小題微點(diǎn)特訓(xùn)27 空間中的平行和垂直關(guān)系含答案

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)（新）

微點(diǎn)學(xué)不可以已。

27.空間中的平行和垂直關(guān)系

特訓(xùn)完成日期：月日

［考點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練］一保分必拿A.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形；

［考點(diǎn)一］平行關(guān)系B.水面EFGH所在四邊形的面積為定值；

1.已如三個(gè)示同而乖而a,由丁和直線m,"，若any=，"，C.棱Ai）始終與水面所在的平面平行；

?ny=".則"a〃g'是，〃/的（）D.當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí),BE?BF是定值.

A.充分不必要條件6.在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A|BIGDI中.E.F分

B.必要不充分條件別是BC和gDi的中點(diǎn),經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,E,F的平面把正

C.充要條件方體ABCD-AjBjC|D|截成兩部分.則截面與

D.既不充分也不必要條件

BCC.B,的交線段長(zhǎng)為.

2.設(shè)a",c表示不同直線,a邛表示不同平面,下列

命題：［考點(diǎn)二1垂直關(guān)系

7.下列命題錯(cuò)誤的氯（）

①若&〃C,則a//bi

②若a//b-b//a.則a//a;A.若平面a_L平面仇則平面a內(nèi)所有直線都垂直于

③若a//a,〃〃a.則a〃/，；平面f

④若aUa“Uf,a〃f.則a//b.B.若平面aj_平面區(qū)則平面a內(nèi)一定存在直線垂直于

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）平面B

A.1B.2C.3D.4C.若平面a不垂直于平面?則平面a內(nèi)一定不存在

3.在正方體ABCD

直線垂直于平面f

A|B［C|D|中，E.F,G分

D.若平面。1_平面y.平面足1平面y.af］/3=/則/J_y

別是的

8.棱長(zhǎng)為1的正方體ABC/>AiB|C|D|中，P為正方體

中點(diǎn)，給出下列四個(gè)推斷：

①FG〃平面AA|D|D；表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總有PC_LBD一則動(dòng)點(diǎn)P的軌

②EF〃平面BCjD”跡所圍成圖形的面積為（）

③FG〃平面BGU；④平A.V3B.3"

面EFG〃平面BC1D）.

其中推斷正確的序號(hào)是C.yD.1

A.①③B.①④C.②③D.②④

9.如圖所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,在

4.如圖，正方體A^BtCiDi-ABCD中，E、F分別為棱

△BCD中，/BCD=90°且BC=3.將△ABC沿BC邊

A|A、BC上的點(diǎn)，在平面ADD|A|內(nèi)且與平面DEF

平行的直線（）翻折?設(shè)點(diǎn)A在平面BCDI:的射影為點(diǎn)M,若AM=

，?那么（）

5.（多選）如圖.透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A.平面ABDJ_平面BCD

內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于B.平面ABC_L平面ABD

地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度不同，有下面四個(gè)C.ABA.CD

命題,其中正確的是（）D.AC1BD

10.《九章算術(shù)》中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面

垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角

形的四面體稱之為鱉脯.在如圖所示的陽(yáng)馬P-AB-

CD中?側(cè)棱PD_L底面ABCD.且PD=CD=BC,則

當(dāng)點(diǎn)E在下列四個(gè)位置：PA中點(diǎn)、PB中點(diǎn)、PC中

點(diǎn)、PD中點(diǎn)時(shí)分別形成的四面體E—BCD中.鱉H

有（）

?64

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)（新）

5：如囪:五宿百極荏3說(shuō)方二浦瓦七五音二E「丁芬麗

是ABi.BC］的中點(diǎn),則以下結(jié)論中不成立的是

11.在矩形ABCD中，AB<BC,現(xiàn)將△ABD沿矩形的

對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折.在翻折的過(guò)程中.

給出下列結(jié)論：A.EF與881垂直B.EF與BD垂直

①存在某個(gè)位置.使得直線AC與直線BD垂直；C.EF與CD異面D.EF與A?G異面

②存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直；

ABCD3.如圖，已知四棱錐P-AI3CD的底面是平行四邊形.

③存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直.

點(diǎn)F在棱尸A上，PF=；IAF.若PC〃平面BDF.貝4A

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)

的值為（）

論的序號(hào)）

［考點(diǎn)三］平行與垂直的綜合問(wèn)題

12.7蓼鹿用而全面市太商置獲H而不同平面a、仇下

列命題中是真命題的是（）

A.若互為異面直線仇"〃仇貝lja〃/3

B.若〃仇則a_l_f

C.若"_La.zn〃a,則nj_m3

A.1B.y

D.若〃"八則n//p

13.已知平面a,￡和直線給出以下條件C.3D.2

（2）1_La;（3）aUa;（4）a_Lf;（5）a〃戶,當(dāng)條件4.如圖.下列4個(gè)正方體中，點(diǎn)A.B.M,N,Q分別為正

_成立時(shí)，有m//當(dāng)條件成立時(shí)，有"?_1_方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則在這4個(gè)正方體中，

①（填所選條件的序號(hào)）滿足直線AB_L平面MNQ的個(gè)數(shù)為（）

14.在四棱錐P-ABCD中.平面ABCD_L平面PCD.底

面ABCD為梯形.AB〃CD.AD_LDC.

（1）AB〃平面PCD；

（2）AD_L,平面PCD；5.如圖，在正方體ABCD-AiBiCtDi中，M.N,P分別

（3）M是棱PA的中點(diǎn)，棱BC上存在一點(diǎn)F,使MF是Ci".8C,AiDi的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：

//PC.正確命題的序號(hào)為.

［素養(yǎng)提升練］一高分必?fù)?/p>

一、單項(xiàng)選擇題

1.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，POJ_平面ABC,

BO1AC.BO的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)D,則圖中與AC

垂直的直線有（）

①AP與CM是異面直線；

②AP,CM,DD］相交于一點(diǎn)；

③MN〃BD|；

④MN〃平面

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①④B.②④

C.①③④D.②③④

?65

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偌題欄］6.如圖，ABCD—是棱長(zhǎng)為4的正方體.P—起，設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為八'，并且平面八包。，平

QRH是棱長(zhǎng)為4的正四面體?底面ABCD.QRH在面BCD.則給出下面四個(gè)命題，正確的是（）

點(diǎn)練同一個(gè)平面內(nèi).6C〃QH.則正方體中過(guò)AD且與平AD

面PHQ平行的截面面積是)

1

2

A.AZD±BC

3B.三棱錐A'-BCD的體積為孝

4

C.BA'±CA'

5D.平面A'BC_L平面A'DC

A.4E三、填空題

7

C.1272D.167211.已知正四棱柱ABCD-AjB|CiD|的底面邊長(zhǎng)為2,

87.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A|8iGQ|中.E是正側(cè)棱長(zhǎng)為4,過(guò)點(diǎn)A作平面a與正四棱柱的三條側(cè)棱

方形BBCC的中心，M為C］Q的中點(diǎn)，過(guò)A】M的BBi,CCj.DD,分別交于E,G,F,且BE=DF,若多

9

平面。與宜線DE垂直，則平面a截正方體ABCQ面體ABCD-AEGF和多面體A?ggQ-AEGF

10所得的截面面積為的體積比為3：5,則截面AEGF的周長(zhǎng)為.

12.如圖.直三棱柱ABC-AiBiCi中,AAi=2,A8=

12BC=l./ABC=90°,外接球的球心為O,點(diǎn)E是側(cè)

棱BB|上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).有下列判斷：

1

2

3

A.273

①直線AC與直線。E是異面直線；

42_V2

-S-②AE一定不垂直AC”

5

8.《九章算術(shù)》中將底面是矩形且有一條側(cè)棱與底面垂③三棱錐E-AAtO的體積為定值；

6直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬.如圖，陽(yáng)馬P—ABCD中?底④AE+EG的最小值為2夜

面ABCD是正方形，PA_L平面ABCD.E.F分別是其中正確的序號(hào)是.

7P3,AD的中點(diǎn)，PA=A8=2.給出下列結(jié)論:①EF〃［真題體驗(yàn)練］一實(shí)戰(zhàn)搶分

平面；②平面平面③異面直線PA

8PCDACEJ_PBC1.（多選）（2021?新高考|］卷，10）如圖.在正方體中，。

與CE所成的角的余弦值為母.其中正確結(jié)論的序號(hào)是為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn),M,N為正方體的

9

頂點(diǎn).則滿足MNJ_OP的是（）

)

10

1

2

A.①②

C.②③

二、多項(xiàng)選擇題

9.設(shè)a和f是兩個(gè)不同的平面，"，"是兩條不同的直線，

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若m//a,n//B，m//n,則a//fB.直線A}D與直線D}B平行，直線MN_L平

B.若〃2j_a,7?U8.a〃仇則tn_L?面BDDiB］

C.若〃，則a_L13C.直線A】D與直線D］6相交，直線MN〃平面A6-

D.若〃氏則m//nCD

10.如圖，梯形ABCD中，AD〃BC.AD=AB=1,D.直線AjD與直線DjB異面,宜線MN_L平

AD_LAB，NBCD=45°?將△ABD沿對(duì)角線BQ折面6DD出

?66

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)（新）

12.造BE//AC,BE=EFGH?所以A1"〃平面EFGH（水面）.所以C是正確

0的；因?yàn)樗嵌康模ǘw積V）.所以S△砥卜?BC=V,

19V

AC.連接OE.則ND'BE即十3￡：?BF-3C=V.所以I3E-=（定值），即

為所求的角（或其補(bǔ)角）.

作L/NJ-AC于點(diǎn)N,設(shè)D是正確的，故選AC.］

M為AC的中點(diǎn)，連接E6.y［如圖，過(guò)點(diǎn)F作F口〃AE

BM,則BM_LAC,作NF

交A1］于〃,易知D,H=1,所4

//BM交BE于F,連接D'F.設(shè)NONF=d.?..D'N以點(diǎn)H為AiDi的4架分點(diǎn)，連

接AH,過(guò)點(diǎn)E作EP〃AH交

=嚶,BM=FN=^/^=亭，二OF2=,—5COS0.CC,于點(diǎn)P,所以普=器，解得

VAC±￡XN.AC±FN,：.D'F±AC.：.lyF±BE.又BF=oA

CP=q■.故截面與BCC,B,交線

MN=^....在RtAD'FB中.D^=9-5cos0".cosND'

2!2

V6段長(zhǎng)PE=yCE+CP=^/2+f-|-r=y.1

BF_4電，當(dāng)且僅當(dāng)d=o°時(shí)取"=",即7.A［對(duì)于選項(xiàng)A.若平面a,平面

BE=西=

y9-5cos06伍則平面a內(nèi)存在直線不垂直于

直線AC與3D'所成角的余弦值的最大值是骼?］平面8?命題錯(cuò)誤；B.若平面a_L平

面小則平面a內(nèi)一定存在直線垂

［真題體驗(yàn)練］——實(shí)戰(zhàn)搶分直于平面6.如平面a內(nèi)垂直于兩

D［:如圖,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,則平面交線的直線，命題正確；C.若

平面a內(nèi)存在直線垂直于平面氏

P"病,PG=V2,BC,=272,

根據(jù)面面垂直的判定有平面a垂

則PB2+PC：=BC；,在Rt

直于平面際與平面夕不垂直于平面6矛盾.所以若平面

△

PBC,-PBG=a不垂直于平面/??則平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平

=應(yīng)「=，所以直線P3而尸，命題正確；D.若平面a_l_平面y,平面S_L平面y.aA

S327228=，.如圖?設(shè)an7=a,pny=力.在/內(nèi)直線a、〃外任取

一點(diǎn)O,作OA_La,交點(diǎn)為A,作OB_LZ>,交點(diǎn)為3,因?yàn)?/p>

與AR所成的角為

o平面a_L平面y,所以（MJ_a.又/Ua,所以（）A_Ll,同理

微點(diǎn)特訓(xùn)27空間中的平行和垂直關(guān)系可得OB±Z.因?yàn)镺ADOB=O?且OAUy.OBU八所以

，選項(xiàng)正確

考點(diǎn)對(duì)點(diǎn)練——保分必拿/J_yD

8.C［如圖.易知直線B）J_平面AC%.故動(dòng)點(diǎn)P的軌

1.A［根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理.可知當(dāng)"a〃夕'時(shí)，有"w

〃〃”，故充分性成立；反之，當(dāng)m//n時(shí),a與￡也可能相跡所圍成圖形為△AB】C,因?yàn)?AqC為邊長(zhǎng)為&的正

交（如圖）.故必要性不成立.

［翻折后圖形如下：

所以“a〃夕是“a〃〃”的充分不必要條件.］9.CA

2.A［由題意，對(duì)于①，根據(jù)線線平行的傳遞性可知①是因?yàn)锳M=5，Z\ABC是等腰直

真命題；對(duì)于②.根據(jù)a〃〃"〃人可以推出a〃a或aU角三角形且BC=3,所以點(diǎn)M是/：\\

a.故②是假命題；對(duì)于③.根據(jù)a〃a/〃a,可以推出a與BC邊上的中點(diǎn)?因?yàn)辄c(diǎn)A在平/\

。平行，相交或異而，故③是假命題；對(duì)于④.根據(jù)aUa,

面BCQ上的射影為點(diǎn)M.所以Ml

6Uf,a〃仇可以推出a〃〃或a與〃異面.故④是假命題.

AMJ_平面BCD,又因?yàn)镃DU平

所以真命題的個(gè)數(shù)是1.故選A.］

面BCD,所以AM_LCD,又因?yàn)榭?/p>

3.A［因?yàn)樵谡襟wABCD—AliGDi中，E,F,G分別

NBCD=90°,所以CDJ_3C?又AMDBC=M?AM,BC

是耳的中點(diǎn).所以FG〃BC「因?yàn)锽C//

}U平面ABC?所以CD_L平面ABC,又ABU平面ABC,

AR,所以FG〃AD「因?yàn)镕GU平面AAD|D,ARU平

所以AB±CD.］

面AA|D|D.所以FG〃平面AA|"D.故①正確；因?yàn)?/p>

10.C［結(jié)合圖形知陽(yáng)馬P—ABCD中只有四面體PA8D和

E口〃A】G，A|G與平面BC,D,相交?所以E"與平面

PC3D是鰲般，若E為PD中點(diǎn)，如圖①，與P—HCD類比

BC.D,相交，故②錯(cuò)誤；因?yàn)镋,F,G分別是八1場(chǎng)，

知E—BCD的四個(gè)面都是直角三角形，是鰲腕.

5G,33］的中點(diǎn),所以FG//3G.因?yàn)镕G0平面

3GD「3GU平面BC,D1,所以FG〃平面BCtD］，故③

正確；因?yàn)镋F與平面BC,D,相交，所以平面EFG與平

面8（:口相交，故④錯(cuò)誤.故選A.1

4.C［設(shè)/U平面ADD{A},且///DE.又DEU平面

DEF"0平面DEF.，Z〃平面DEF,顯然滿足要求的直

線I有無(wú)數(shù)條.］

5.AC［由題圖，顯然A是正確的，B是錯(cuò)的；對(duì)于。因?yàn)?/p>

ADJ/BC.BC//FG.所以A.DJ/FG且①口仁平面

}圖①

?155?

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)(新)

…至*昊石-m*畝卷:而于萬(wàn)5二己萬(wàn):三必否工式?;素養(yǎng)提升練一高分必?fù)?/p>

另外由PD與底面ABCD垂直得PD與BC垂直.從而1.D[???POJ_平面ABC".PO1.AC.又VAC±130,且

可得BC與平面PCD垂直，即得BCJ_DE.由線面垂直3()nPO=O????AC_L平面PBD,；?直線PB.PD.PO,

判定定理得DE_L平面BCE.從而DE_LBE.那么E-

BD與AC垂直.[

BCD的四個(gè)面都是直角三角形，此時(shí)E-BCD是

[如圖所示，連結(jié)兒由D

鱉臆，2.D3,x0

幾何關(guān)系可得點(diǎn)E為AXB的兒小」-----.一彳7|'

中點(diǎn).且BF=FC」由三角形|\jT/P1/

中位線的性質(zhì)可得：EF〃1

A(一即EF與A,G不是異羅SiI/

面直線，很明顯,EF與CD異。

面.由幾何關(guān)系可得：A】G_1_4及-----------

，A|GJ_3D,則EF_LB5?EF_LBD,綜上可得，選

圖②項(xiàng)D中的結(jié)論不成立.本題選擇D選項(xiàng).]

同理E是PA中點(diǎn)時(shí)，E-BCD也是鱉牖，當(dāng)E是PB中3.A[連結(jié)AC,交BD于O,連結(jié)p

點(diǎn)時(shí)，/XEBC不是直角三角形.E-BCD不是鱉購(gòu)，因此OF,???四棱錐P-ABCD的底面八、

鱉囑有3個(gè).故選：C.1是平行四邊形，??.AO=OC,???點(diǎn)/\\

11.②[如圖AE_LBD,CF_LBD.依題意不仿令A(yù)B=1.F在棱PA上，PF="F.PC〃平(父\\

OF〃.故，

BC=V2,AE=C'F=y,BE=EF=FD=y.BDF.dC,???a=14%C

選A.[乙士i兇/

AB

4.B[對(duì)于圖1,如圖.連接BC.因

為3C_LMN,AC_LMN,BC,ACU平面A3C,8CnAC=

C.所以MN_L平面ABC,從而MNJ_A及同理可得NQ

1AB.因?yàn)镸N,NQU平面MNQ.MNDNQ=N，所以

AB_L平面MNQ.對(duì)于圖2,因?yàn)镹Q±AB.MN_LAB,

MN,NQU平面MNQ.MNDNQ=N，所以ABj_平面

①假設(shè)AC與BD垂直.過(guò)點(diǎn)A作AE_LBD于點(diǎn)E.連

MNQ.對(duì)于圖3.因?yàn)锳3與MQ不垂克，所以A3與平

接CE.則需U?}=>BDJ_平面AEC=>B?J_CE.而在

面MNQ不垂直.對(duì)于圖4,因?yàn)榘?與NQ不垂直,所以

平面BCD中,EC與BD不垂直.故假設(shè)不成立，①錯(cuò).AB與平面MNQ不垂直.故滿足直線AB±平面MNQ

②假設(shè)AB±CD,因?yàn)锳B_LAD,所以ABJ_平面ACD,的個(gè)數(shù)為2?]

所以AB-LAC,由ABVBC可知,存在這樣的等腰直角

三角形，使ABJ_CD.故假設(shè)成立，②正確.③假設(shè)AD

LBC,因?yàn)镈C_LBC,所以BC_L平面ADC,所以BC1

AC,即△ABC為直角三角形，且A8為斜邊.而AB<

BC,故矛盾.假設(shè)不成立，③錯(cuò).綜上.填②.1

12.AC[由加，”是不同的直線，a,f是不同的平面，知：

在A中?若7〃、〃互為異面直線，"?〃a,〃〃a.〃?〃0,〃〃

仇則a〃S，A是真命題：

在B中，加〃〃/??則a_1_氏或a與￡相交或平

5.BL^MP//AC.MP^AC,

行.故B錯(cuò)誤；

：.AP,CM是相交直線?設(shè)

在C中，"_LQ，W〃a,則故C是真命題；

在D中?aIIa.nH〃z?則〃〃氏也可能〃U￡,故DAPHCM=G?則GC平面

錯(cuò)誤.]ADDXA}且G￡平面

13.(3)(5)(2)(5)[根據(jù)面面平行的特征可得.若加GCDD「又平面ADD.A,A

Ua,a〃四則小〃仇根據(jù)線面垂直以及面面平行的特征平面GCQDi=所以

可得?若〃?_La,a/則mA_p.]

AP,CM.DD}相交于一點(diǎn)，

14.(1)(2)[(1)???AB〃CD?A3U平面PCD.CD0平面

故①不正確，②正確；設(shè)A(、n

PCD,???AB〃平面PCD,正確；(2)???平面八3。。，平

連OD,則有

面PCD,平面ABCDD平面PCD=CD,AD_LCD,8D=O,ON.]

ADU平面八8。。..??八。，平面PCD,正確；(3)假設(shè)棱ON//D,M,ON=D1M.所以

BC上存在一點(diǎn)F,使MF//PC.則MF.PC共面.而M四邊形()NMD1為平行四邊

任PC.：.M,PC確定唯一的平面MPC即平面PAC,于形，則MN〃()Di,所以③不

是F6平面PAC,但FSBC.gCU平面ABCD.所以F正確；又MN0平面

從而與重合，這與〃矛盾，假設(shè)不成

GAC,FCMFPC3B|D|D，0D|U平面BBiRD,所以MN〃平面

立，不存在，(3)錯(cuò)誤

33口￡).則@正確.]

6.C[設(shè)截面與Ad】，DG

分別相交于點(diǎn)E,F,則EF

//AD,過(guò)點(diǎn)P作平面4

QRH的垂線,垂足為O,則

O是底面QRH的中心.設(shè)

(加0"0=6?則/日43=

NPGO,又因?yàn)镽G=2734

?156?

微點(diǎn)特訓(xùn)?數(shù)學(xué)(新)

［在正四棱柱ABCD一

=>RO=20G=苧，PO=竽，所以11.10

A.B,C,D1中.平面AARD〃平

面3BGC,平面八ARDCl平面

476a=AF,平面BBIGCD平面a=

?c/i“、cPO"I_2V24EG????AF〃EG,同理AE//FG.

sinZE/lB=sinZPGO==-?=~^~、所以"FT

PG2"3EA所以四邊形AEGF為平行四邊

竽=>EA=3Jf,所以四邊形AEFD的面積S=4X3/形.因?yàn)锽E=DF.所以AE=

AF,故四邊形AEGF菱形?過(guò)

E分別作EN±CCi,EMJ_

選

=12“CJ