傅里葉變換原理函數(shù)

第二部分積分變換傅立葉積分變換（傅氏變換）拉普拉斯積分變換（拉氏變換）1精品PPT·值得借鑒第一頁(yè)，共五十四頁(yè)。

積分變換簡(jiǎn)介1、何為積分變換？

所謂積分變換，實(shí)際上就是通過積分算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的一種變換.2精品PPT·值得借鑒第二頁(yè)，共五十四頁(yè)。2、積分變換的產(chǎn)生

數(shù)學(xué)中經(jīng)常利用某種運(yùn)算先把復(fù)雜問題變?yōu)楸容^簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得到原問題的解.原問題原問題的解直接求解困難變換較簡(jiǎn)單問題變換后問題的解求解逆變換3精品PPT·值得借鑒第三頁(yè)，共五十四頁(yè)。

如，初等數(shù)學(xué)中，曾經(jīng)利用取對(duì)數(shù)將數(shù)的積、商運(yùn)算化為較簡(jiǎn)單的和、差運(yùn)算；

再如，高等數(shù)學(xué)中的代數(shù)變換，解析幾何中的坐標(biāo)變換，復(fù)變函數(shù)中的保角變換，其解決問題的思路都屬于這種情況.

基于這種思想，便產(chǎn)生了積分變換.其主要體現(xiàn)在：

數(shù)學(xué)上：求解方程的重要工具；能實(shí)現(xiàn)卷積與普通乘積之間的互相轉(zhuǎn)化.

工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)分析的重要工具.4精品PPT·值得借鑒第四頁(yè)，共五十四頁(yè)。第八章傅立葉變換主要內(nèi)容：1、傅立葉積分公式2、傅立葉變換及其性質(zhì)

3、卷積5精品PPT·值得借鑒第五頁(yè)，共五十四頁(yè)?！?傅立葉級(jí)數(shù)與積分1、傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式在《高等數(shù)學(xué)》中有下列定理：定理1（1）連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；（2）只有有限個(gè)極值點(diǎn).

則在連續(xù)點(diǎn)處，有6精品PPT·值得借鑒第六頁(yè)，共五十四頁(yè)。7精品PPT·值得借鑒第七頁(yè)，共五十四頁(yè)。注意：于是8精品PPT·值得借鑒第八頁(yè)，共五十四頁(yè)。則（2）式稱為傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式，具有明顯的物理意義.9精品PPT·值得借鑒第九頁(yè)，共五十四頁(yè)。2、傅立葉積分

任何一個(gè)非周期函數(shù)

f(t),都可看成是由某個(gè)周期函數(shù)

fT(t)當(dāng)T→+∞時(shí)轉(zhuǎn)化而來的.10精品PPT·值得借鑒第十頁(yè)，共五十四頁(yè)。{O

w1

w2

w3

wn-1wn{{{w于是11精品PPT·值得借鑒第十一頁(yè)，共五十四頁(yè)。從而按照積分的定義，（4）可以寫為：或者12精品PPT·值得借鑒第十二頁(yè)，共五十四頁(yè)。公式（5）稱為函數(shù)

f(t)的傅氏積分公式.定理2

若

f(t)在(-,+)上滿足條件:

(1)f(t)在任一有限區(qū)間上滿足狄氏條件;

(2)f(t)在無限區(qū)間(-,+)上絕對(duì)可積,即則（5）在

f(t)的連續(xù)點(diǎn)成立.上述定理稱為傅氏積分定理.13精品PPT·值得借鑒第十三頁(yè)，共五十四頁(yè)。事實(shí)上,根據(jù)歐拉公式,有14精品PPT·值得借鑒第十四頁(yè)，共五十四頁(yè)。所以由(7),得到于是(6)成立.15精品PPT·值得借鑒第十五頁(yè)，共五十四頁(yè)。§2傅立葉變換1、傅立葉變換的概念

上一節(jié)介紹了：當(dāng)f(t)滿足一定條件（？）時(shí)，在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處有：16精品PPT·值得借鑒第十六頁(yè)，共五十四頁(yè)。簡(jiǎn)稱傅氏變換,記為F簡(jiǎn)稱傅氏逆變換,記為F還可以將

f(t)和

F(w)用箭頭連接:

f(t)

F(w).17精品PPT·值得借鑒第十七頁(yè)，共五十四頁(yè)。tf(t)o18精品PPT·值得借鑒第十八頁(yè)，共五十四頁(yè)。PPT內(nèi)容概述第二部分積分變換。精品PPT·值得借鑒。比較簡(jiǎn)單的問題，求解后，再求其逆運(yùn)算就可得。工程上：是頻譜分析、信號(hào)分析、線性系統(tǒng)分析。公式（5）稱為函數(shù)f(t)的傅氏積分公式.。則（5）在f(t)的連續(xù)點(diǎn)成立.。事實(shí)上,根據(jù)歐拉公式,有。上一節(jié)介紹了：當(dāng)f(t)滿足一定條件（。）時(shí)，在f(t)的連續(xù)點(diǎn)處有：。如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式。顯然，振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即。相角頻譜argF(w)是w的奇函數(shù).。以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用，更深入詳細(xì)的理論會(huì)在有關(guān)專業(yè)課中詳細(xì)介紹。2.掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念。3.了解傅氏變換的物理意義.。在物理和工程技術(shù)中,有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì).例如斷電以后的突然來電等。對(duì)于任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)f(t),稱滿足?？梢?單位脈沖函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì)。當(dāng)t<0時(shí),有第十九頁(yè)，共五十四頁(yè)。解:根據(jù)定義,有這就是指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換.20精品PPT·值得借鑒第二十頁(yè)，共五十四頁(yè)。根據(jù)積分表達(dá)式的定義,有注意到化簡(jiǎn)整理21精品PPT·值得借鑒第二十一頁(yè)，共五十四頁(yè)。---鐘形脈沖函數(shù).解:根據(jù)定義,有22精品PPT·值得借鑒第二十二頁(yè)，共五十四頁(yè)?；?jiǎn)整理如何計(jì)算？這里利用了以下結(jié)果：23精品PPT·值得借鑒第二十三頁(yè)，共五十四頁(yè)。2、傅立葉變換的物理意義

如果仔細(xì)分析周期函數(shù)和非周期函數(shù)的傅氏積分表達(dá)式24精品PPT·值得借鑒第二十四頁(yè)，共五十四頁(yè)。由此引出以下術(shù)語：

在頻譜分析中,傅氏變換F(w)又稱為f(t)的頻譜函數(shù),而它的模|F(w)|稱為f(t)的振幅頻譜(亦簡(jiǎn)稱為頻譜).

由于w是連續(xù)變化的,我們稱之為連續(xù)頻譜,對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅氏變換,就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜.顯然，振幅函數(shù)|F(w)|是角頻率w的偶函數(shù),即25精品PPT·值得借鑒第二十五頁(yè)，共五十四頁(yè)。顯然

相角頻譜argF(w)是w的奇函數(shù).26精品PPT·值得借鑒第二十六頁(yè)，共五十四頁(yè)。例3求單個(gè)矩形脈沖函數(shù)的頻譜圖.解：27精品PPT·值得借鑒第二十七頁(yè)，共五十四頁(yè)。請(qǐng)畫出其頻譜圖.頻譜為

以上術(shù)語初步揭示了傅氏變換在頻譜分析中的應(yīng)用，更深入詳細(xì)的理論會(huì)在有關(guān)專業(yè)課中詳細(xì)介紹！28精品PPT·值得借鑒第二十八頁(yè)，共五十四頁(yè)。本講小結(jié)：1.掌握傅氏積分定理的條件和結(jié)論；2.掌握傅氏變換和傅氏逆變換的概念；3.了解傅氏變換的物理意義.29精品PPT·值得借鑒第二十九頁(yè)，共五十四頁(yè)?！?單位脈沖函數(shù)2、單位脈沖函數(shù)1、單位脈動(dòng)函數(shù)de(t)1/eeOt

在物理和工程技術(shù)中,有許多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì).例如斷電以后的突然來電等;在力學(xué)中,機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等.研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).物理學(xué)家狄拉克首先引入，此后在物理及工程技術(shù)中被廣泛地采用.30精品PPT·值得借鑒第三十頁(yè)，共五十四頁(yè)。

在原來電流為零的電路中,某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖,現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t).以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù),則由于電流強(qiáng)度是電荷函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率,即

所以,當(dāng)t0時(shí),i(t)=0,由于q(t)不連續(xù),從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下,q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.31精品PPT·值得借鑒第三十一頁(yè)，共五十四頁(yè)。如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù),得

這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度.為此,引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù).有了這種函數(shù),對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量,例如點(diǎn)電荷，點(diǎn)源,集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等,就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣,以統(tǒng)一的方式加以解決.廣義函數(shù)，沒有普通意義下的函數(shù)值.32精品PPT·值得借鑒第三十二頁(yè)，共五十四頁(yè)。2.1單位脈沖函數(shù)的定義定義對(duì)于任何一個(gè)無窮次可微的函數(shù)f(t),稱滿足2.2單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)(1)積分性質(zhì)證明：33精品PPT·值得借鑒第三十三頁(yè)，共五十四頁(yè)。

一些工程書中，δ-函數(shù)常用一個(gè)長(zhǎng)度等于1的有向線段來表示.tOd(t)1(2)篩選性質(zhì)對(duì)于無窮次可微的函數(shù)f(t)，有一般地34精品PPT·值得借鑒第三十四頁(yè)，共五十四頁(yè)。

這一性質(zhì)在近代物理和工程技術(shù)中有著較廣泛的應(yīng)用.例1

求單位脈沖函數(shù)的傅氏變換.解：

可見,單位脈沖函數(shù)d(t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì)；

同理,

d(t-t0)和亦構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì).35精品PPT·值得借鑒第三十五頁(yè)，共五十四頁(yè)。

需要指出的是，此處的廣義積分是按(1)式計(jì)算的，不是普通意義下的積分值，我們稱這種傅氏變換為廣義的傅氏變換.

根據(jù)傅氏積分公式，函數(shù)f(t)能取傅立葉積分變換的前提條件是它首先應(yīng)絕對(duì)可積，即

實(shí)際上這個(gè)條件非常強(qiáng)，它要求f(t)條件較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點(diǎn).如36精品PPT·值得借鑒第三十六頁(yè)，共五十四頁(yè)。

如此以來，較強(qiáng)的條件使得傅立葉變換的應(yīng)用受到限制.為克服這一缺陷，我們把單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換應(yīng)用到其他函數(shù)的傅氏變換中，得到它們的廣義傅氏變換.實(shí)際運(yùn)算時(shí)，我們通常用傅氏逆變換來推證.比較典型的有：

u(t)（單位階躍函數(shù)）,sint,cost.

同樣可以說,象函數(shù)F(w)和象原函數(shù)f(t)亦構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì).37精品PPT·值得借鑒第三十七頁(yè)，共五十四頁(yè)。例2稱為單位躍階函數(shù).

證：首先注意，這里的變換顯然指的是廣義變換.我們用考察逆變換的方法證明.38精品PPT·值得借鑒第三十八頁(yè)，共五十四頁(yè)。由于所以當(dāng)t<0時(shí),有39精品PPT·值得借鑒第三十九頁(yè)，共五十四頁(yè)。同理當(dāng)t>0時(shí)，有綜上所述，根據(jù)(*),有證畢.40精品PPT·值得借鑒第四十頁(yè)，共五十四頁(yè)。解：由定義，有例3求的傅氏逆變換.特別地故得到41精品PPT·值得借鑒第四十一頁(yè)，共五十四頁(yè)。于是，有例4求正弦函數(shù)

f(t)=sinw0t

的傅氏變換.解：42精品PPT·值得借鑒第四十二頁(yè)，共五十四頁(yè)。同理，可得即注：我們介紹δ-函數(shù)，主要是提供一個(gè)應(yīng)用工具，而不去追求數(shù)學(xué)上的嚴(yán)謹(jǐn)性.43精品PPT·值得借鑒第四十三頁(yè)，共五十四頁(yè)。§4傅立葉變換的性質(zhì)

為了能更好的用傅立葉變換這一工具解決各類實(shí)際問題，它的一些基本性質(zhì)必須熟練掌握.

為了敘述方便起見,假定在這些性質(zhì)中,凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件,在證明這些性質(zhì)時(shí),不再重述這些條件.1、線性性質(zhì)FF則F逆變換也具有類似的性質(zhì)，請(qǐng)寫出相應(yīng)的性質(zhì).44精品PPT·值得借鑒第四十四頁(yè)，共五十四頁(yè)。2、位移性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得45精品PPT·值得借鑒第四十五頁(yè)，共五十四頁(yè)。

顯而易見，位移公式的作用是：知道了一個(gè)函數(shù)的變換，便可由此求出其位移函數(shù)的變換！同理可得推論提示：利用歐拉公式和位移性質(zhì)容易證明.46精品PPT·值得借鑒第四十六頁(yè)，共五十四頁(yè)。3、微分性質(zhì)證明：根據(jù)定義，得

如果f(t)在(-,+)上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn),且當(dāng)|t|+時(shí),f(t)0,則

47精品PPT·值得借鑒第四十七頁(yè)，共五十四頁(yè)。類似地可推得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

一般地，如