2023-2024學(xué)年天津市濱海新區(qū)高三年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)測(cè)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年天津市濱海新區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題（每題5分，共45分）

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2,3,4},5={x|2x+l<3},則/口8=()

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0)C.{-2,-1,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

2.命題“Vx>0,x'+x>。”的否定是（）

A.3x>0,x2+x>0B.3x>0,x2+x<0

c.Vx〉0,x2+x<0D.Vx<0,x2+x>0

3.)

A.B.

C.D.

4.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.相關(guān)系數(shù)r越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

B.若X?N(2,〃)，且p(l<X<3)=0.5,貝|P(X〉3)=0.25

C.相關(guān)指數(shù)火2=0.64，表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率為64%

D.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高

5.在三棱錐S-45。中，"_L底面45C,且45=2/0=2,4=60。,&4=2,則該三棱錐外接

球的表面積為（）

A.271B.4萬(wàn)C.8萬(wàn)D.12乃

6.6知直線>=力=>0）與圓C：（x-2『+（y_l）2=4相交于4,B兩點(diǎn),且|/司=26,則-=

5

7.已知函數(shù)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=lg(l-x)-e%,若

a=f以，b=fy\,c=f5[,貝Ijq,b,。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

8.已知雙曲線C：1—,=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，一條漸近線為/,過(guò)點(diǎn)月且

與/平行的直線交雙曲線C于點(diǎn)若W娟=2|"引，則雙曲線C的離心率為()

A.V2B.G

C.y/sD.-^6

-xex,x<0

9.已知函數(shù)/'("=若函數(shù)g(x)=/(x)-|x2-同有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)后的

2x2-x3,x>0

"。}《學(xué)

u{0}u[l,2)

v{0}u[l,2)

。{”[中

二、填空題(每題5分，共30分)

1。.若魯為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)3

11.若展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為256,貝！|〃=.

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=sin\^x+-|-jsinx-彳有下列結(jié)論:

①其表達(dá)式可寫成“X)=-COS,+3；

②曲線kf(x)關(guān)于直線0-高對(duì)稱；

rrrr

③/(X)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

o3_

④,使得/(%+°)=/(%+3&)恒成立.

其中正確的是(填寫正確的序號(hào)).

13.已知實(shí)數(shù)x、J?i^log2(x+2y+3)=l+log2x+log2y,則個(gè)的最小值是；

14.某地區(qū)教研部門開展高三教師座談會(huì)，每名教師被抽到發(fā)言的概率均為0,且是否被抽到發(fā)

言相互獨(dú)立，已知某校共有8名教師參加座談會(huì)，記X為該校教師中被抽到發(fā)言的人數(shù)，若

D(X)=y,且磯X)>4,則凰X)=.

15.如圖，在菱形48。中，AB=2,ABAD=60°,E,F分別為BC,CD上的點(diǎn)，CE^IEB，

CF^TFD，若線段E尸上存在一點(diǎn)M,使得旃=!■!§+,貝力而|=__________,若點(diǎn)N

o2

為線段AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則麗?加的取值范圍為.

D_F________r

/\N\/

三、解答題(共5小題，共75分)

16.在AA8C中，內(nèi)角4民。所對(duì)的邊分別為。也c.已知asinC=csin[/+1]

(I)求角A的大??；

(II)設(shè)6=6,c—4,求。和cos(/-2C)的值.

17.四棱錐中，面A8CD,ABHDC,ABLAD,

DC=AD=1,AB=2,ZPAD=45°,E是PN的中點(diǎn)，下在線段/B上，且滿足麗.麗=0.

(1)求證：￡>￡//平面P8C；

(2)求二面角F-PC-B的余弦值;

(3)在線段尸/上是否存在點(diǎn)。，使得尸。與平面尸尸C所成角的余弦值是g,若存在，求出/。的

長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

18.已知橢圓C:三=l(a>6>0)過(guò)點(diǎn)(0,6),且離心率為;.設(shè)A,8為橢圓C的左、右

a2b2

頂點(diǎn)，P為橢圓上異于A,3的一點(diǎn)，直線/尸，5P分別與直線/:x=4相交于M,N兩點(diǎn)，且

直線與橢圓C交于另一點(diǎn)H.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：直線AP與BP的斜率之積為定值；

(3)判斷三點(diǎn)A,H,N是否共線：并證明你的結(jié)論.

19.已知。I=2,點(diǎn)(a“,a“+J在函數(shù)〃x)=/+2x的圖象上，7；=(l+a1)(l+a2)---(l+a?).

(1)證明：數(shù)列他(1+?！?｝是等比數(shù)列；

(2)求北及數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

112

(3)記”=—+-求數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和并證明：5?+—-=1.

an?！?幺"〃T

20.已知函數(shù)/(1)=+(m-2)x-2mInx(m<0).

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)冽時(shí)，求證：/(%)-加工在(0,+8)上是增函數(shù)；

(3)求證：當(dāng)—1〈加<0時(shí)，對(duì)任意不￡1,+8),/(x)>2m(l-ln2)-2.

1.B

【分析】解一次不等式求得集合8,進(jìn)而利用交集定義求得.

【詳角牟】解不等式2x+l<3得，%<1,

所以8={司％<”,

所以4nB={—2,—1,0}.

故選：B

2.B

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，改量詞，否結(jié)論即得

【詳解】命題“Vx>0,%2+%>0，，的否定是“土>（）,x2+x<0,?

故選：B.

3.C

【分析】先求奇偶性，排除BD,再由特殊區(qū)間的正負(fù)，排除A.

【詳解】/(x)=Z工?sinx定義域?yàn)镽,

v72X+1

2一「11-2X

且/(-x)=?sin(-x)=-?sinx=/(x),

2-x+l1+2X

—1

所以f（x）=1^-sinx為偶函數(shù)，排除BD；

當(dāng)T%_1

時(shí)，/(x)=---------sinx>0,故排除A

')2X+1

故選：C

4.A

【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念，可判定A不正確；C、D正確，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可

判定B正確.

【詳解】對(duì)于A中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義知：相關(guān)系數(shù)加越大且卜的1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)性

越強(qiáng)，所以A不正確；

對(duì)于B中，若X?NQQ）且尸（l<XV3）=0.5,

可得尸（X>3）=1一尸（；X3）=025,所以B正確；

對(duì)于C中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念，當(dāng)相關(guān)指數(shù)火2=0.64,表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢

獻(xiàn)率為64%，所以C正確；

對(duì)于D中，根據(jù)數(shù)據(jù)的殘差的定義，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模

型擬合的精度越高，所以D正確.

故選：A.

5.C

【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系，確定三棱錐外接球的球心，再求外接球的表面積.

【詳解】根據(jù)余弦定理可知，BC2=AB2+AC2-2xABxACxcos60°=3

所以8c=△，^^.AC2+BC2=AB2,

所以/C/8C,

又因?yàn)閃_L底面/3C,所以“_L3CS.ACr>SA=A,

所以8C7,平面S4C,所以8C_LSC,

又因?yàn)?所以S3是直角三角形S48和SBC的公共斜邊，

取S3的中點(diǎn)W,連結(jié)可知九==

即點(diǎn)M是三棱錐S-ABC外接球的球心，

SB=<SA2+AB2=2&，即外接球的半徑為百，

所以該三棱錐外接球的表面積S=4%7?2=8%.

故選：C

本題考查球與幾何體的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查空間想象能力，推理證明，屬于基礎(chǔ)題型.

6.B

/、一|2左一1|

【分析】圓心C2,1到直線夕=b（左>0）的距離為d,則八%4,而

Jl+r

=石=1=1，所以d=￡R=l,解方程即可求出答案.

d=

【詳解】圓C：（x-2『+（y-l『=4的圓心C（2,l）,r=2

所以圓心C(2,l)到直線y=kx(k>0)的距離為d,則d=畢口,

4

=J4-3=1>所以d=/。=1>解得

J1+/

故選：B.

7.B

【分析】先利用已知的解析式判斷出/(x)在(-叫。)上單調(diào)遞減，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)，得到了(x)

在(0,+8)上單調(diào)遞增，然后利用指數(shù)的運(yùn)算比較得出0<5昊2昊3、由單調(diào)性即可判斷得到答案?

【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=lg(y-x)-ex,

則函數(shù)"X)在(-叫0)上單調(diào)遞減(減+減=減)，

又函數(shù)/&)為R上的偶函數(shù)，

所以八x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)棰?，<(3),，所以2?<3。

又(2盯。>(5町％所以”>5.，

故。<5^<，

所以/(51)</(2A</(3?)，

BPc<a<b.

故選：B

8.C

【分析】由雙曲線定義可得|〃月川〃川，根據(jù)平行關(guān)系可知cos/片《M=由余弦定理可構(gòu)造

C

齊次方程求得離心率.

【詳解】設(shè)/：y=2x,則點(diǎn)“位于第四象限，

由雙曲線定義知：|昨曰"|=2|“|-|"|=|"^|=2°,.?』孫1=4"；

設(shè)過(guò)點(diǎn)心且與/平行的直線的傾斜角為則tana=勺，，cosa=

y]a2+b2c

在"“中，由余弦定理得：”所，u

即g=4c-6a-,整理可得：c—."=￡=4.

cSac\a

故選：C.

9.D

【分析】由題意x=0為函數(shù)g(尤)的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)g(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)

X

(er<0

「2c與。(尤)=|尤-6的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)，作出圖象結(jié)合圖象即可求解

\2x-x,x>0

【詳解】由g(O)=/(O)-0=0,可得X=O為函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)x〉0時(shí)，且(工)=0可化為21—12=卜_引；

當(dāng)％<0時(shí)，8(％)=0可化為一.”=一工卜一札可得《"二歸一左|.

e，x<0

若函數(shù)g(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)〃(x)=「2八與。(力=卜-看的圖象有且僅

2x-x,x〉0

有2個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)/7(x)#(x)的圖象為:

當(dāng)左變動(dòng)時(shí)，函數(shù)°(x)的圖象左、右平移，可求得實(shí)數(shù)左的范圍，

x

fex<0

當(dāng)。(x)與〃(x)=\'2八相切時(shí)，由圖象可知歹=左一％與歹=2%-％2由唯一交點(diǎn)，或者

\2x-x>0

2

y=X-k^y=2x-X由唯一交;

貝!Jf一3%+左=0有唯——解，或者工2一%一左=。有唯一■解；

,一、，9、1

止匕時(shí)有八=9一4左=0,或者A=1+44=0；由軍得左二—或者左=——，

44

Qfe"x<0

則左>7時(shí)，由圖象可知"(力=卜-看與/z(x)=JJ2n沒(méi)有交點(diǎn)，

Qoexx<0

后=：時(shí)，由圖象可知。(x)=X-］與〃(x)=|c，2八有］交點(diǎn),

4412x—x,x>0

e%x<0

又當(dāng)左=1時(shí)，由圖象可知0(x)=kT與〃(x)=「2八有2個(gè)交點(diǎn),

\2x-x,x>0

故1《左<；時(shí)，由圖象可知9(x)=|x-H與〃(x)=ex,x<0

有2個(gè)交點(diǎn),

2X-X2,X>0

e%x<0

當(dāng)0〈左<1時(shí)，由圖象可知。(力=卜-看與〃(尤)=「2C有3個(gè)交點(diǎn)，

\2x-x,x>0

x

[e%<o

當(dāng)左=0時(shí)，由圖象可知。(x)=|x|與〃(x)=「八有2個(gè)交點(diǎn)，

\2x-x,x>0

1fQX1<0

故-左<0時(shí)，由圖象可知e(尤)=k-川與M尤)=1J2n有3個(gè)交點(diǎn)，

4=一:時(shí)，由圖象可知9(x)=eA,x<0一—一

c2八有2交點(diǎn),

2x-x,x>0

IXxv0

一1。<一7時(shí)，由圖象可知9卜)=卜一川與〃(x)=(QJ2n有1交點(diǎn)。

e"x<0

左<-1時(shí)，由圖象可知"卜)=卜-看與〃(尤)2c有2交點(diǎn)，

2x—x,x〉0

fe"Y<'Q

綜上可知函數(shù)〃(x)=\'c與e(x)=|x-H的圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),

[2x-x,x>0

/ce(-oo,-l)u1-|ju{0}《閆，

即函數(shù)g(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

故選：D

10.-1

(加+加+加)

【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法法則化簡(jiǎn)得1)(到1—二i)=----1-+)—(1—―i根據(jù)m"+為i純虛數(shù)，得

(l+i)(l-i)21+1

到方程，求出加=7,檢驗(yàn)后得到答案.

(m+i)(l-i)m+l+(l-m)im+i

【詳解】=--------J—L,因?yàn)樾逓榧兲摂?shù)，

［(l+i6)(l-i.)<21+1

所以加+1=0,解得：m=-\,此時(shí)鋁=i,符合要求，

1+1

故-1

11.8

【分析】令x=l,根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)和即可求解.

【詳解】令x=l得，(1+1)"=2"=256,解得“=8.

故8

12.②③

【分析】對(duì)①，根據(jù)/⑺二加,-曰即可判斷①錯(cuò)誤，對(duì)②，根據(jù)sinj［*］、=-1即

可判斷②正確，對(duì)③，根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可判斷③正確，對(duì)④，根據(jù)正弦型函數(shù)的周期

性即可判斷④錯(cuò)誤.

【詳解】/(尤)=^^sinx+^cosxsinx-^-sin\+^-sin2x-^―

、,224244

/Tl-cos2x1.G1.1

=73-------------F—sin2x-------=—sin2x,

4442I3J

對(duì)①，/(x)=；sin(2x——1cos(2x+—cos(2x+，，故①錯(cuò)誤.

對(duì)②，sin=sin1—1^=—1,故②正確；

TTTTTCTC

對(duì)③，當(dāng)時(shí)，有2x—0,—,

_o3J3|_3_

因?yàn)椤?§鼠，故③正確；

/(%)的最小正周期7=等777=%，

若使得/(x+cz)=/(x+3a)恒成立，

說(shuō)明2a是〃x)的一個(gè)周期，而2ae(O㈤,與“〃x)最小正周期為L(zhǎng)矛盾，

故④不正確.

故②③

13.4.5

log2(x+2,y+3)=l+log2x+log2^,n]'^log2(x+2y+3)=log22xy^x+2y+3=2xy,

根據(jù)均值不等式可得x+2y+3>2H+3，通過(guò)換元法，即可求得初的最小值.

【詳解】：log2(x+2v+3)=1+log2x+log2y

log2(x+2j^+3)=log22xy

x+2y+3=2xy,①

根據(jù)對(duì)數(shù)定義域可知x+2y+3>Ox>0J〉0,

根據(jù)均值不等式可得:x+2y+322也面+3,②

由①②可得:2xy>2d2xy+3,(x>0,y>0)

令歷=，>0,/.2r—26—320，解得

9

/.xy>—,即孫24.5

故答案為:4.5.

本題考查了根據(jù)均值不等式求表達(dá)式的最小值，解題關(guān)鍵是靈活使用均值不等式，考查了分析能力

和計(jì)算能力,屬于中等題.

16

14.——

3

【分析】根據(jù)題意得到隨機(jī)變量x?8(8,p),結(jié)合二項(xiàng)分布的期望與方差的計(jì)算公式，求得°,

進(jìn)而求得E(X)的值.

【詳解】由題意，每名教師被抽到發(fā)言的概率均為0,且是否被抽到發(fā)言相互獨(dú)立，

所以隨機(jī)變量X?8(8,p),

因?yàn)镈(X)q,可得8?(1-0答，解得p=；或？=

又因?yàn)镋(X)>4,可得E(X)=8p>4,所以p=

所以E（X）=8x|=g.

故答案為.g

7「37/

⑹7[-希工

【分析】以菱形的對(duì)角線為在不在建立平面直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算先求M坐標(biāo)然后可得

\AM\,再用坐標(biāo)表示出力口旃，由二次函數(shù)性質(zhì)可得所求范圍.

【詳解】因?yàn)闉榱庑?，所?C28。，以B。、/C所在直線分別為x、y軸建立平面直角

坐標(biāo)系，

因?yàn)?8=2,ABAD=60°,所以O(shè)8=OD=1,OC=O/=V^

則^(0,-73),5(1,0),￡>(-1,0),設(shè)M(加,q),N(",0)

AB=(1,A/3),AD=(-1,⑻,商=(m,乎，麗=(?,4),

因?yàn)?=:48+白。，所以(加=:(1,6)+；(_],#)

解得加=；,所以

___1h

XMN=(n一,-—)

33

__?___?1137

所以而M=〃("——)-1=(〃——)2——

3636

1___.37

因?yàn)樗援?dāng)〃時(shí)，ZMA/7V有最小值，

636

當(dāng)〃=-1時(shí)，國(guó).加有最大值;，

__「37I-

所以的取值范圍為-

363

7r37r

故7，

3363

16.(I)4=大；(II)a=2A/7.cos(力-2C)=—.

314

(1)利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，利用三角恒等變換公式求解即可；

(2)先利用余弦定理得出。，再利用正弦定理得出sinC,得出cosC,然后將cos(N-2C)展開求

值.

【詳解】解：(I)由已知及正弦定理可得5擊然山。=如。$擊〔/+曰.

因?yàn)镃e(0,兀).所以sinC>0.故sin/=sin.

BPsinZ=sin/cos]+cosZsin[.

整理得sin/=GcosA.

所以tanA=G.

因?yàn)?40,哈所以/g

(II)根據(jù)余弦定理=/+C2-26CCOS/，將b=6,c=4,cos/=1代入解得：a2=28.因

2

為Q>0,所以4=2近.

根據(jù)正弦定理有：4=解得sinC="^.

sinAsinC7

又因?yàn)閏<。，所以C<g,則cosC=Jl-sin2C=,

37

可求得：sin2C=2sinCcosC=,cos2C=cos2C-sin2C=

77

13

則cos(A-2C)=cosAcos2C+sin/sin2C=—.

本題考查正弦定理、余弦定理的綜合運(yùn)用，考查三角函數(shù)和差角公式、二倍角公式的運(yùn)用，難度

一般.

17.(1)證明見(jiàn)解析;

⑵%

(3)存在，—.

10

【分析】(1)以。為原點(diǎn)，DA,DC,。尸分別為x,了，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

利用向量法求解；

(2)利用向量法求解；

(3)利用向量法求解.

【詳解】(1)由題意可得。/,DC,DP兩兩互相垂直，所以可以以。為原點(diǎn)，DA,DC,DP

分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-中z如圖示：

.??^(1,0,0),5(1,2,0),C(0,l,0),尸(0,0,1),《gag

5C=(-1,-1,0)(0,-1,1).

設(shè)平面P3C的一個(gè)法向量為成=(x,y,z).

m-BC=-x-y=0,、

一，，不妨令y=l,.?.應(yīng)=(-1,1,1).

mCP=-y+z=0

―?(11、一.11

又????！?—,0,—,m-DE=一一+0+—=0,

U2)22

m-LDE.

???DE不在平面PBC內(nèi)，

。￡//平面尸5C.

(2)設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(1，/，0),.?.函=(1,1一1,0),麗=(1,2,0).

由麗?麗=0，.」=；，二小g。］.

:設(shè)平面尸尸C的一個(gè)法向量為亢=(X,y,z),

+z=0

(n-cp=of-y、人

由*j—?1，不妨x=1(122)

n-CF=0^x--y=0

m-n=-1+2+2=3,

n-fn3_V3

cos?亢,m^=

訓(xùn)同373-3

又由圖可知，該二面角為銳二面角，

二面角廠-PC-5的余弦值為1.

3

(3)設(shè)而=/0?=(-九0,A),Ae[04],:.FQ=FA+AQ=-2,-1,2

:.n-FQ=A-l,

.-.cos^FQ,元.=JT=產(chǎn)-2

一378^71，

???FQ與面PFC所成角的余弦值是也..?.其正弦值為Vf

3"T

24-2

3,8萬(wàn)+1T

??.整理得：20儲(chǔ)+82-1=0,

/.A=―f2=-，(舍去)，

102V)

存在滿足條件的點(diǎn)。，而=1-J；，。，上］且.Qi=e.

Iio10；1W10

22

18.(1)—+^=1

43

3

(2)定值為-證明見(jiàn)解析.

(3)三點(diǎn)A,H,N共線，證明見(jiàn)解析.

b=y/3

c1

【分析】(1)首先根據(jù)題意得到一=彳,再解方程組即可.

a2

a2=b2+c2

(2)設(shè)尸(%,%),Z(-2,0),5(2,0),再計(jì)算如即可.

(3)分別計(jì)算心"和3w，根據(jù)幻"=的"A為公共點(diǎn)，即可證明A,H,N三點(diǎn)共線.

b=6'=2

【詳解】(1)由題知：nb=百，

a2

222C=1

a=b+cl

所以橢圓c.《+片=1

43

(2)由題知：k”,kBP存在,且不為零，設(shè)尸(%,%),%(—2,0),5(2,0),

吟+*】，即獷).

2<

k.k4=J-

BP22

在x0+2x0-2x0-4x0-44

3

所以直線/P與成的斜率之積為定值--.

4

(3)A,H,N三點(diǎn)共線，證明如下：

設(shè)直線4尸：>=左(工+2),則直線B?：y=(X-2}

4左'79

將x=4代入直線/尸，BP得:M(4,6左)，

心”=普=3左,設(shè)直線加：y=3k(x-2),

4—2

22

土+匕=1

聯(lián)立43n+12左2)X2—48左+48左2_4=0,

y=3Mx-2)

設(shè)，(3),則2寸k，解得V言三

-12k241-2-12k}

所以“=3左(網(wǎng)-2)=^^,即H12V+1'12V+1J'

-12k

3

:12公+1=1

所以1

：2k_―24k2-2J4k'

6~4k12左2+1.

所以^AN=kArt，A為公共點(diǎn)，所以A，H,N三點(diǎn)共線.

2l=3土一1；(3)S=2

19.(1)證明見(jiàn)解析;(2)Tn=3"-,n,證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)由題意得。用+1=(4+1))兩邊同取以10為底的對(duì)數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可

得證.

(2)由⑴可得lg(l+a“)=2"Txlg3,化簡(jiǎn)可得1+6=32"',代入小化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合等差數(shù)

列求和公式，計(jì)算即可得(，由1+%=32"、即可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

112

(3)因?yàn)?。?1=*+2〃“+2),化簡(jiǎn)可得——=-------,根據(jù)題意，可得或的通項(xiàng)公

Q“十,G0凡口

式，利用裂項(xiàng)相消求和法，可得S”表達(dá)式，結(jié)合7；表達(dá)式，即可得證.

2

【詳解】(1)由已知，得知+i=a；+2a〃，Aan+l+1=(^+1).①

?.?4=2,+1>1,

①式兩邊取對(duì)數(shù)，得lg(l+a用)=21g(l+a,J,即產(chǎn)(：+%)=2,

數(shù)列｛1g(1+?！?｝是首項(xiàng)為1g3,公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1),知》(1+%)=2”一版坨3,

2

：.l+an=3"',②

:工=(1+%)(1+。2〉”(1+?)

3”x32'x3”x…x32”'=31+2+”++*=3~

由②式得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4=32*'-1.

(3)：*=4+2%=%(%+2),

11(1111____2

+2

%+i五%??>

4+2anan+l

711

又2=—+—77，:由7=2

冊(cè)%+2

C777J1111111J111

Sn=+b2T-----\-bn=2----------1------------1-----1------------=2-------------

一1qa2a2a3anan+1)14an+i)

22

＜4=2