第六章《第3單元-課時精講-實數(shù)》名師教學設計

第6章實數(shù)第3單元實數(shù)課時精講實數(shù)內(nèi)容分折在前兩個單元中，學生已經(jīng)學習了數(shù)的開方運算，并對無限不循環(huán)小數(shù)有了一定的認識.在此基礎上，本節(jié)課給出了無理數(shù)的概念，將有理數(shù)擴充到實數(shù)，并研究實數(shù)的分類等內(nèi)容.由于無理數(shù)的概念對學生來說較為抽象，教師需要從不同方面逐步讓學生認識到無理數(shù)的存在性.因此，本節(jié)課首先可以從前面學過的數(shù)的開方入手，設置問題串啟發(fā)學生思考，學生通過對比有理數(shù)和/2等無理數(shù)表現(xiàn)出的不同特征，感受無理數(shù)的存在性，進而引入無理數(shù)概念.在實數(shù)范圍內(nèi)，類比引入負數(shù)后有理數(shù)的研究過程，探討實數(shù)的分類、在數(shù)軸上的表示等問題，進一步體會無理數(shù)的存在性.本節(jié)課中，學生對無理數(shù)的概念理解是難點.因此，教師要讓學生認識到無理數(shù)的存在性.教學中，教師可以從無限不循環(huán)小數(shù)的特征入手，講解概念，再給出幾種常見的無理數(shù)形式，并進行概念辨析。對于學生易混淆的等，π，等，可以引導學生通過動手計算，寫出它們的小數(shù)形式進行對比，根據(jù)概念判定是否為無理數(shù).同時，教師也可以利用數(shù)軸表示無理數(shù)，幫助他們進一步感受無理數(shù)的存在性。這里可以從較為基礎的問題人手，先嘗試在數(shù)軸上表示π和±，借助單位圓周長和前面探討過的正方形紙片拼接問題，將這兩個無理數(shù)轉(zhuǎn)化為單位圓周長和正方形對角線的長度，從面解決問題.緊接著，可以啟發(fā)學生嘗試在數(shù)軸上表示2.學生比較容易想到的是利用2=+，在數(shù)軸上依次截取兩次的長度，從而解決問題.除此之外，教師可以引導學生利用平方根定義，經(jīng)過簡單計算找到2的等價表示形式2==，即邊長為2的正方形對角線的長度，從而找到另一種在數(shù)軸上表示2的方法.這個過程不僅能幫助學生體會實數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系，也加深了他們對平方根的認識，為后續(xù)學習二次根式的性質(zhì)打下基礎。至于在數(shù)軸上表示，等其他開方形式的無理數(shù)，由于涉及勾股定理，本節(jié)課不再講解，但可以作為拓展問題供學生思考、探究.學生分折本節(jié)課之前，學生已經(jīng)學習了數(shù)的開方，對無限不循環(huán)小數(shù)有了一定的認識.本節(jié)課，學生將在這個基礎上繼續(xù)學習無理數(shù)的概念，將有理數(shù)擴充到實數(shù)范圍.對七年級學生來說，無理數(shù)、實數(shù)的概念較為抽象，他們很難有深刻的認識.因此，在本節(jié)課的教授中，教師一定要從具體的例子出發(fā)，給學生充足的時間去思考、動手探索，使他們從感性的角度認識抽象的概念.學生在以往學習本部分內(nèi)容時，經(jīng)常在判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)時出現(xiàn)錯誤，在教學過程中，教師應當注意辨析無理數(shù)的概念，引導學生將容易混淆的數(shù)統(tǒng)一化成小數(shù)形式，讓他們經(jīng)歷動手計算的過程，再按照概念進行判斷，加深印象，更好地理解有理數(shù)和無理數(shù)是兩類不同的數(shù)以及無理數(shù)表現(xiàn)出的特征。另外，學生對于“實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的”可能不完全理解.這里不作深究，只需要學生能通過幾個簡單的作圖問題，了解無理數(shù)的幾何意義即可.在此基礎上，教師直接告訴學生每個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的.至于更深層次的理解、證明，需要到高中、大學繼續(xù)學習，這里不必說明.目標確定1.會按要求對實數(shù)進行分類。2.會找出兩個無理數(shù)之間的整數(shù).3.知道實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。重點難點重點：1.實數(shù)的概念以及分類。2.對無理數(shù)的認識.難點：1.實數(shù)、無理數(shù)的概念.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的。評價設計“實數(shù)”學習評價量表標準等級能夠說出無理數(shù)的概念能夠說出實數(shù)的概念.會按要求對實數(shù)進行分類.會找出兩個無理數(shù)之間的整數(shù).知道實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的.AABBB活動設計環(huán)節(jié)1提出問題教師活動①學生活動①問題1如果一個正方形邊長為1，那么它的對角線長是多少？（提示：動手拼圖試試看）問題2得出的這個數(shù)具有什么特點？問題3它是有理數(shù)嗎？（提示：先回憶有理數(shù)的分類，統(tǒng)一化成小數(shù)形式，再進行比較.）教師用計算機展示的小數(shù)形式：2=1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057…總結(jié)：我們知道，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，而任何一個分數(shù)寫成小數(shù)的形式，必是有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù).反過來，有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).而是一個無限不循環(huán)小數(shù)，因此它不是一個有理數(shù).問題1根據(jù)前面學過的知識，容易求出對角線長為.問題2根據(jù)“算術平方根估計”中學過的內(nèi)容，我們知道是一個無限不循環(huán)小數(shù).問題3想要判斷一個數(shù)是否為有理數(shù)，需要先明晰有理數(shù)的特征.有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)，它們都可以化成小數(shù).其中整數(shù)可以看成是小數(shù)點后是0的小數(shù)，分數(shù)可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).例如=0.25，=0.6=0.666666666…，號=0.i42857=0.142857142857.而是一個無限不循環(huán)小數(shù).不符合有理數(shù)特征.活動意圖說明學生通過問題串的引導，回顧有理數(shù)的分類和數(shù)的開方等相關知識，進而對比有理數(shù)和等無理數(shù)表現(xiàn)出的不同特征，初步認識到無理數(shù)的存在性，引出無理數(shù)的概念。環(huán)節(jié)2探究新知教師活動②學生活動②我們已經(jīng)知道是無限不循環(huán)小數(shù)，它不是有理數(shù).我們將無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).問題1除了，你還見過其他無理數(shù)嗎？追問：的大小和十分接近，也和一樣是無理數(shù)嗎？（提示：化成小數(shù)形式試試看.）問題2所有的平方根、立方根，都是無理數(shù)嗎？反過來，無理數(shù)是否都是開方得到的？問題1如，，等都是無理數(shù).追問：盡管取值和接近，但它是分數(shù)，是有理數(shù).經(jīng)過計算可以發(fā)現(xiàn)，化成小數(shù)形式是無限循環(huán)小數(shù)，而是無限不循環(huán)的.問題2不一定。例如，這樣開方能開盡的數(shù)，是有理數(shù)；開方開不盡的數(shù)才是無理數(shù).無理數(shù)包括但不限于開方開不盡的數(shù)，例如就不是開方得到的.教師給出一道例題（如下），要求學生獨立完成.例1下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？－，3.3，，0.80808，，.分析：要判斷一個數(shù)是否是無理數(shù)，關鍵分析這個數(shù)是否是無限不循環(huán)小數(shù).總結(jié)常見的無理數(shù)類型：（1）開方開不盡的數(shù)：，，,…；（2）含有的數(shù)：，,+1，…；（3）特殊形式的無限不循環(huán)小數(shù)，例如，0.101001000…（但0.101001000不是）.例1解：－是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；3.3是有理數(shù)；是無限循環(huán)小數(shù)，仍是有理數(shù)；0.808008是有限小數(shù)，因而是有理數(shù)；是無理數(shù)；是有理數(shù).環(huán)節(jié)3溫故知新教師活動③學生活動③問題請回顧引入負數(shù)后，我們研究有理數(shù)的過程.類似地，引入無理數(shù)之后，我們可以從哪些方面研究實數(shù)？按照定義，我們將實數(shù)分類：像有理數(shù)一樣，無理數(shù)也有正負之分，如，－，是正無理數(shù)，－，－，－是負無理數(shù).所以實數(shù)也可以這樣分類：那么，實數(shù)是否也能借助數(shù)軸表示呢？試試看，你能在數(shù)軸上找到表示士，的點嗎？在引入負數(shù)之后，我們先對擴充得到的有理數(shù)進行分類，而后我們探討了怎樣利用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)，進而借助數(shù)軸研究了有理數(shù)的數(shù)序，即如何比較大??；定義了有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)，進而又研究了運算法則、運算律.由此，我們也可以先研究實數(shù)的分類，再探究實數(shù)是否也能借助數(shù)軸表示.活動意圖說明本環(huán)節(jié)類比有理數(shù)的研究過程，提出研究實數(shù)部分需要探究的問題，并依據(jù)實數(shù)的概念，給出實數(shù)的分類方式.接下來，學生用足夠的時間思考數(shù)軸上如何表示士，.環(huán)節(jié)4解決問題教師活動④學生活動④問題1如何在數(shù)軸上找到表示士的點？問題2如何在數(shù)軸上找到表示的點？進一步思考：你能在數(shù)軸上找到表示2的點嗎？給學生足夠時間思考后，教師給出不同方法：方法一：2=+，在表示的點右側(cè)再取長度即可.方法二：根據(jù)平方根的定義.=2×2=2×2××=4×2=8，2==.也就是說，2是面積為8的正方形的邊長.同樣地，這個正方形可以由兩個面積為4的正方形拼成.也就是說，邊長為2的正方形的對角線即為2.由此即可找到表示2的點.總結(jié)：數(shù)軸上的任意一點必定表示一個實數(shù)，即它所表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)；反過來，每一個實數(shù)（有理數(shù)或無理數(shù)）也都可以用數(shù)軸上的點來表示.換句話說，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的.利用數(shù)軸，可以比較大小嗎？請學生試一試.例2寫出所有大于－小于的整數(shù).問題1分析：只需要找到表示的點.如圖1所示，將兩個邊長為1的正方形分別沿它的對角線剪開，得到4個等腰直角三角形，并拼成一個面積為2的大正方形，其邊長為.這就是說，邊長為1的正方形的對角線長是.利用這個事實，我們?nèi)菀自跀?shù)軸上畫出表示的點，如圖2所示，進而可以找到表示－的點.問題2分析：直徑為1的圓的周長即為.將直徑為1的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點O’，從圖3中可以看出，O’的坐標是.這樣，無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點表示出來.例2分析：解決問題的關鍵是要清楚所給的無理數(shù)在哪兩個整數(shù)之間，因此只要知道被開方數(shù)在哪兩個平方數(shù)之間即可.解：大于－小于的所有整數(shù)為－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.活動意圖說明學生通過在數(shù)軸上表示無理數(shù)，進一步感受無理數(shù)的存在性.對他們而言，在數(shù)軸上表示士，π比較容易，而表示2就比較困難.這需要他們進一步思考探究.這個探索不僅加深學生印象，使他們理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，同時也為二次根式性質(zhì)的學習打下基礎.環(huán)節(jié)5練習鞏固教師活動⑤學生活動⑤1.寫出大于－小于的所有整數(shù).2.下列說法正確的有_______.①無理數(shù)是無限小數(shù)；②帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)；③無限小數(shù)是無理數(shù)；④任何實數(shù)都可以開立方；⑤有理數(shù)都是實數(shù).3.寫出一個大于1且小于4的無理數(shù).（答案不唯一）1.－4，－3，－2，－1，0，1，2，3.2.①②④⑤.（其中①和③需要注意，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無限小數(shù)；但不是所有無限小數(shù)都是無理數(shù).）3.例如，，π等.活動意圖說明本環(huán)節(jié)在前面知識學習的基礎上，設置練習題，鞏固學生對無理數(shù)、實數(shù)的理解。其中第2題是學生的易錯點，應著重辨析.環(huán)節(jié)6課堂小結(jié)教師活動⑥學生活動⑥1.什么樣的數(shù)是無理數(shù)？實數(shù)怎樣分類？2.實數(shù)與數(shù)軸有怎樣的關系？3.類比有理數(shù)的研究過程，接下來，還可以研究什么問題？1.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應3.接下來還可以探究相反數(shù)、絕對值、運算性質(zhì)、運算律是怎樣拓展到實數(shù)范圍的.活動意圖說明學生通過回顧本節(jié)課的研究內(nèi)容，明確本節(jié)課學習要點.同時，本環(huán)節(jié)引導學生提出下一步的研究思路，啟發(fā)他們持續(xù)思考.板書設計實數(shù)1.我們將無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).常見的無理數(shù)類型：（1）開方開不盡的數(shù)：，，，…；（2）含有的數(shù)：，，+1，…；（3）特殊形式的無限不循環(huán)小數(shù)，例如，0.101001000…（但0.101001000不是）.2.3.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應：數(shù)軸上的任意一點必定表示一個實數(shù)，即它所表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)；反過來，每一個實數(shù)（有理數(shù)或無理數(shù)）也都可以用數(shù)軸上的點來表示.問題1如何在數(shù)軸上找到表示士的點？問題2如何在數(shù)軸上找到表示π的點？進一步思考：你能在數(shù)軸上找到表示2的點嗎？方法一：2=+，在表示的點右側(cè)再取長度即可.方法二：根據(jù)平方根定義求解.=2×2=2×2××=4×2=8，2==.練習診斷1.（A）在－1.414，－，，，3.142，2－，2.12112112中，無理數(shù)有________.2.（B）如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（）A.點PB.點QC.點MD.點N3.（B）滿足－<x<的所有整數(shù)的和為_______.4.（B）和數(shù)軸上的點一一對應的數(shù)是________.反思與改進學生在學習平方根、立方根的基礎上，繼續(xù)學習無理數(shù)、實數(shù).由于前面單元中已經(jīng)滲透了無限不循環(huán)小數(shù)的特點，本節(jié)課就以復習回顧開篇，提出問題串引導學生逐步發(fā)現(xiàn)有理數(shù)、無理數(shù)的不同特征，進而認識無理數(shù).在給出概念后，教師通過追問以及具體的例子幫助學生進行概念辨析，深化對這一概念的理解.在此基礎上，將有理數(shù)擴充到