提分練習(xí)：方程組及不等式（組）的應(yīng)用

極速提分：方程組及不等式（組）的應(yīng)用典例剖析例某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A、B兩種戶型的商品房共80套.該公司所籌資金不少于2090萬元，但不超過2096萬元，且所籌資金全部用于建房.兩種戶型的建房成本和售價如下表：(1)該公司有哪幾種建房方案？(2)該公司如何建房可獲得最大利潤？解題秘方：根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式組，在解集中找出其特殊解設(shè)計方案.解：(1)設(shè)建A戶型商品房x套，則建B戶型商品房(80-x)套.根據(jù)題意，得.解得48≤x≤50.因?yàn)閤為整數(shù)，所以x的值可為48，49，50.所以該公司有如下三種建房方案：方案一：A戶型48套，B戶型32套.方案二：A戶型49套，B戶型31套.方案三：A戶型50套，B戶型30套.(2)方案一獲利：48×(30-25)+32×(34-28)=432(萬元).方案二獲利：49×(30-25)+31×(34-28)=431(萬元).方案三獲利：50×(30-25)+30×(34-28)=430(萬元).所以選方案一獲利最大，即建A戶型商品房48套，B戶型商品房32套可獲得最大利潤.分類訓(xùn)練應(yīng)用一列方程組解古算術(shù)問題1.【中考·酒泉】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)專著，在數(shù)學(xué)上有其獨(dú)到的成就，不僅最早提到了分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了“盈不足”等問題.如有一道闡述“盈不足”的問題，原文如下：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)、雞價各幾何？大概意思為：現(xiàn)有若干人合伙出錢買雞，如果每人出9文錢，就會多11文錢：如果每人出6文錢，又會缺16文錢.買雞的人數(shù)、雞的價格各是多少？請解答上述問題.應(yīng)用二列方程組與不等式解工程問題2.【中考?聊城】建設(shè)中的大外環(huán)路是某市的一項重點(diǎn)民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量為120萬立方米，計劃由公司的甲、乙兩個工程隊從公路的兩端同時相向施工150天完成.由于特殊情況需要，公司抽調(diào)甲隊外援施工，由乙隊先單獨(dú)施工40天后甲隊返回，兩隊又共同施工了110天，這時甲、乙兩隊共完成土方量103.2萬立方米.(1)問甲、乙兩隊原計劃平均每天的施工土方量分別為多少萬立方米？(2)在抽調(diào)甲隊外援施工的情況下，為了保證150天完成任務(wù)，公司為乙隊新購進(jìn)了一批機(jī)械來提高效率，那么乙隊平均每天的施工土方量至少要比原來提高多少萬立方米才能保證按時完成任務(wù)？應(yīng)用三列方程組與不等式（組）解購物問題3.【2021?婁底】為了慶祝中國共產(chǎn)黨建黨一百周年，某校舉行“禮贊百年，奮斗有我”演講比賽，準(zhǔn)備購買甲、乙兩種紀(jì)念品獎勵在活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生.已知購買1個甲種紀(jì)念品和2個乙種紀(jì)念品共需20元，購買2個甲種紀(jì)念品和5個乙種紀(jì)念品共需45元.（1）求購買一個甲種紀(jì)念品和一個乙種紀(jì)念品各需要多少元；（2）若要購買這兩種紀(jì)念品共100個，投入資金不少于766元又不多于800元，問有多少種購買方案？并求出所花資金的最小值.應(yīng)用四列方程組與不等式（組）解方案問題4.【中考·恩施州】某學(xué)校為改善辦學(xué)條件，計劃采購A，B兩種型號的空調(diào)，已知采購3臺A型空調(diào)和2臺B型空調(diào)，需費(fèi)用39000元；4臺A型空調(diào)比5臺B型空調(diào)的費(fèi)用多6000元.（1）求A型空調(diào)和B型空調(diào)每臺各多少元.（2）若學(xué)校計劃采購A，B兩種型號空調(diào)共30臺，且A型空調(diào)的臺數(shù)不少于B型空調(diào)的一半，兩種型號空調(diào)的采購總費(fèi)用不超過217000元，該校共有哪幾種采購方案？（3）在（2）的條件下，采用哪一種采購方案可使總費(fèi)用最低，最低總費(fèi)用是多少元？5.【2020濟(jì)寧】為加快復(fù)工復(fù)產(chǎn)，某企業(yè)需運(yùn)輸一批物資.據(jù)調(diào)查得知，2輛大貨車與3輛小貨車一次可以運(yùn)輸600箱：5輛大貨車與6輛小貨車一次可以運(yùn)輸1350箱.（1）求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運(yùn)輸多少箱物資；（2）計劃用兩種貨車共12輛運(yùn)輸這批物資，每輛大貨車一次需費(fèi)用5000元，每輛小貨車一次需費(fèi)用3000元.若運(yùn)輸物資不少于1500箱，且總費(fèi)用小于54000元.請你列出所有運(yùn)輸方案，并指出哪種方案所需費(fèi)用最少.最少費(fèi)用是多少？6.【中考·廣州】友誼商店A型號筆記本電腦的售價是a元/臺.某公司一次性從友誼商店購買A型號筆記本電腦x臺.該商店給出兩種優(yōu)惠方案.方案一：每臺按售價的九折銷售；方案二：若購買不超過5臺，每臺按售價銷售；若超過5臺，超過的部分每臺按售價的八折銷售.(1)當(dāng)x=8時，選擇哪種方案該公司購買費(fèi)用較少？是多少元？(2)若該公司采用方案二購買更合算，求x的取值范圍.7.湘潭成功創(chuàng)建全國文明城市之后，又準(zhǔn)備爭創(chuàng)全國衛(wèi)生城市，某小區(qū)積極響應(yīng)，決定在小區(qū)內(nèi)安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買2個溫馨提示牌和3個垃圾箱共550元，且垃圾箱的單價是溫馨提示牌單價的3倍.（1）求溫馨提示牌和垃圾箱的單價各是多少元.（2）該小區(qū)至少需要安裝48個垃圾箱，如果購買溫馨提示牌和垃圾箱共100個，且費(fèi)用不超過10000元，請你列舉出所有購買方案，并指出哪種方案所需資金最少？最少是多少元？

參考答案1.解：設(shè)買雞的人數(shù)是x人，雞的價格是y文錢.根據(jù)題意，可得方程組解得答：買雞的人數(shù)是9人，雞的價格是70文錢.2.解：(1)設(shè)甲隊原計劃平均每天的施工土方量為x萬立方米，乙隊原計劃平均每天的施工土方量為y萬立方米，根據(jù)題意，得解方程組，得答：甲、乙兩隊原計劃平均每天的施工土方量分別為0.42萬立方米和0.38萬立方米.(2)設(shè)乙隊平均每天的施工土方量要比原來提高z萬立方米才能保證按時完成任務(wù).根據(jù)題意，得40(0.38+z)+110(0.38+z+0.42)≥120，解不等式，得z≥0.112.答：乙隊平均每天的施工土方量至少要比原來提高0.112萬立方米才能保證按時完成任務(wù)3.解：（1）設(shè)購買一個甲種紀(jì)念品需要x元，購買一個乙種紀(jì)念品需要y元，依題意得解得答：購買一個甲種紀(jì)念品需要10元，購買一個乙種紀(jì)念品需要5元.（2）設(shè)購買m個甲種紀(jì)念品，則購買（100-m）個乙種紀(jì)念品，依題意得解得.又m為整數(shù)，m可以為54，55，56，57，58，59，60，有7種購買方案.當(dāng)m=54時，10m+5（100-m）=770；當(dāng)m=55時，10m+5（100-m）=775；當(dāng)m=56時，10m+5（100-m）=780：當(dāng)m=57時，10m+5（100-m）=785；當(dāng)m=58時，10m+5（100-m）=790；當(dāng)m=59時，10m+5（100-m）=795；當(dāng)m=60時，10m+5（100-m）=800.當(dāng)m=54時，所花資金最少，為770元.答：有7種購買方案，所花資金的最小值為770元.4.解：（1）設(shè)A型空調(diào)每臺x元，B型空調(diào)每臺y元.由題意得解得答：A型空調(diào)每臺9000元，B型空調(diào)每臺6000元.（2）設(shè)A型空調(diào)購買x臺，則B型空調(diào)購買（30-z）臺.由題意得解得.∵z只能取整數(shù)，∴z可取10，11，12.因此，共有3種采購方案：①購買10臺A型空調(diào)、20臺B型空調(diào)；②購買11臺A型空調(diào)、19臺B型空調(diào)；③購買12臺A型空調(diào)、18臺B型空調(diào).（3）要使總費(fèi)用最低，應(yīng)購買A型空調(diào)盡可能少，購買B型空調(diào)盡可能多.因此采用方案①可使總費(fèi)用最低.最低總費(fèi)用是9000×10+6000×20=210000（元）.5.解：（1）設(shè)1輛大貨車一次可以運(yùn)輸x箱物資，1輛小貨車一次可以運(yùn)輸y箱物資，由題意可得解得答：1輛大貨車一次可以運(yùn)輸150箱物資，1輛小貨車一次可以運(yùn)輸100箱物資.設(shè)用a輛大貨車，則用（12-a）輛小貨車，由題意可得6≤a<9.a為整數(shù)，a可取6，7，8，共有三種方案.方案一：用6輛大貨車，6輛小貨車，費(fèi)用為（元）：方案二：用7輛大貨車，5輛小貨車，費(fèi)用為（元）：方案三：用8輛大貨車，4輛小貨車，費(fèi)用為（元）.48000<50000<52000，當(dāng)用6輛大貨車，6輛小貨車時，費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為48000元.6.解：(1)當(dāng)x=8時，方案一費(fèi)用：0.9a·8=7.2a(元)，方案二費(fèi)用：5a+0.8a(8-5)=7.4a(元).∵a>0，∴7.2a<7.4a，∴選擇方案一該公司購買費(fèi)用較少，是7.2a元(2)若x≤5，方案一每臺按售價的九折銷售，方案二每臺按售價銷售，∴采用方案一購買更合算，不符合題意，若x>5，方案一的費(fèi)用：0.9ax元；方案二的費(fèi)用：5a+0.8a(x-5)=(0.8ax+a)(元).由題意得0.9ax>0.8ax+a，解得x>1