第02講解一元一次不等式（知識解讀達標檢測）

第02講解一元一次不等式【題型1一元一次不等式的定義】【題型2解一元一次不等式】【題型3一元一次不等式的整數(shù)解】【題型4一元一次不等式的應用】考點1：一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式．注意：一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)為1【題型1一元一次不等式的定義】【典例1】（2023春?未央?yún)^(qū)校級月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（）①x＜5；②x（x﹣5）＜5；③；④2x+y＜5+y；⑤a﹣2＜5，⑥．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【解答】解：①x＜5滿足“未知數(shù)的次數(shù)是1”的條件，所以是一元一次不等式，故選項符合題意；②x（x﹣5）＜5不是一元一次不等式，故B選項不符合題意；③不滿足“不等號左右兩邊為整式”的條件，所以不是一元一次不等式，故C選項不符合題意；④2x+y＜5+y化簡后滿足“只含有一個未知數(shù)”的條件，所以是一元一次不等式，故選項符合題意．⑤a﹣2＜5滿足“未知數(shù)的次數(shù)是1”的條件，所以是一元一次不等式，故選項符合題意；⑥x不滿足“只含有一個未知數(shù)”的條件，所以不是一元一次不等式，故選項不符合題意．故選：B．【變式11】（2023春?巴中期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A． B．x2≥4 C．2x+y＜﹣3 D．【答案】D【解答】解：A．不等式的左邊是分式，不是整式，不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；B．不等式是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；C．不等式是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本選項不符合題意；D．不等式是一元一次不等式，故本選項符合題意；故選：D．【變式12】（2023春?東平縣期末）下列式子是一元一次不等式的是（）A． B． C．2x﹣y＞4 D．x2﹣1＞0【答案】B【解答】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；B、此不等式是一元一次不等式，故此選項符合題意；C、此不等式含有2個未知數(shù)，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意；D、此不等式最高次數(shù)是2次，不是一元一次不等式，故此選項不符合題意．故選：B．【變式13】（2023春?萬秀區(qū)校級期中）若不等式（m+1）xm2＞3是一元一次不等式，則m的值為（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．0【答案】B【解答】解：由題意可知m+1≠0且m2＝1．解m+1≠0得，m≠﹣1；解m2＝1得，m＝±1，故m的值為1．故選：B．考點2：解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步驟是：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤系數(shù)化為1；⑥其中當系數(shù)是負數(shù)時，不等號的方向要改變。（1）去分母：根據(jù)不等式的性質2和3，把不等式的兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)，得到整數(shù)系數(shù)的小等式。（2）去括號：根據(jù)上括號的法則，特別要注意括號外面是負號時，去掉括號和負號，括號里面的各項要改變符號。（3）移項：根據(jù)不等式基本性質1，一般把含有未知數(shù)的項移到不等式的左邊，常數(shù)項移到不等式的右邊。（4）合并同類項。（5）將未知數(shù)的系數(shù)化為1：根據(jù)不等式基本性質2或3，特別要注意系數(shù)化為1時，系數(shù)是負數(shù)，不等號要改變方向。（6）有些時候需要在數(shù)軸上表示不等式的解集。在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：（1）邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左．【題型2解一元一次不等式】【典例2】（2023春?集美區(qū)校級期中）解下列不等式并把解集表示在數(shù)軸上．（1）4x﹣1＞x+8；（2）．【答案】（1）x＞3，數(shù)軸見解析；（2）x＜﹣9，數(shù)軸見解析．【解答】解：（1）4x﹣1＞x+8，4x﹣x＞1+8，3x＞9，x＞3，∴解集在數(shù)軸上表示為：（2），2x﹣3（x+1）＞6，2x﹣3x﹣3＞6，﹣x＞9，x＜﹣9，∴解集在數(shù)軸上表示為：【變式21】（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期中）解下列不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來：（1）﹣x﹣1≤3x﹣5；（2）．【答案】（1）x≥1，數(shù)軸表示見解答；（2）x＜﹣，數(shù)軸表示見解．【解答】解：（1）﹣x﹣1≤3x﹣5，﹣x﹣3x≤﹣5+1，﹣4x≤﹣4，x≥1，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：（2），5（3+2x）﹣10＜2（1+2x），15+10x﹣10＜2+4x，10x﹣4x＜2+10﹣15，6x＜﹣3，x＜﹣，該不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【變式22】（2023春?懷柔區(qū)期末）解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】x＜﹣1，數(shù)軸見解析．【解答】解：，去分母：2（2x+5）＜x+1+6，去括號：4x+10＜x+1+6，移項：4x﹣x＜1+6﹣10，合并同類項：3x＜﹣3，化系數(shù)為1：x＜﹣1，不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖所示：【變式23】（2023秋?肇源縣期中）解不等式，并將其解集在數(shù)軸上表示出來：（1）4x﹣2＞3（x﹣1）；（2）．【答案】（1）x＞﹣1，數(shù)軸見解析；（2）x≤﹣1，數(shù)軸見解析．【解答】解：（1）去括號得，4x﹣2＞3x﹣3，移項得，4x﹣3x＞2﹣3，合并同類項得，x＞﹣1，在數(shù)軸上表示為：（2）去分母得，2（2x﹣1）﹣3（5x+1）≥6，去括號得，4x﹣2﹣15x﹣3≥6，移項得，4x﹣15x≥6+2+3，合并同類項得，﹣11x≥11，x的系數(shù)化為1得，x≤﹣1．在數(shù)軸上表示為：【題型3一元一次不等式的整數(shù)解】【典例3】（2023?永壽縣二模）求不等式的正整數(shù)解．【答案】1，2．【解答】解：去分母得：3（x﹣2）≤2（x+4）﹣12，去括號得：3x﹣6≤2x+8﹣12，移項合并得：x≤2，則不等式的正整數(shù)解為1，2．【變式31】（2023?秦都區(qū)校級二模）解不等式：，并寫出該不等式的最小整數(shù)解．【答案】x≥﹣2，該不等式的最小整數(shù)解是﹣2．【解答】解：，去分母，得：9x+8﹣2x≥﹣6，移項及合并同類項，得：7x≥﹣14，系數(shù)化為1，得：x≥﹣2，∴該不等式的最小整數(shù)解是﹣2．【變式32】（2023春?峽江縣期末）解一元一次不等式，并請寫出該不等式的非正整數(shù)解．【答案】x≥﹣1，不等式的非正整數(shù)解為﹣1、0．【解答】解：∵，∴2（2x﹣1）﹣6≤3（5x+1），4x﹣2﹣6≤15x+3，4x﹣15x≤3+2+6，﹣11x≤11，∴x≥﹣1，則不等式的非正整數(shù)解為﹣1、0．【變式33】（2023?灞橋區(qū)校級模擬）解不等式≥3（x﹣1）﹣4，并指出該不等式的非負整數(shù)解．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去分母得：x+1≥6（x﹣1）﹣8，去括號得：x+1≥6x﹣6﹣8，移項合并得：﹣5x≥﹣15，x系數(shù)化為1得：x≤3；則不等式的非負整數(shù)解為0，1，2，3．考點3：一元一次不等式的應用解有關應用題步驟如下：（1）審題：認真審題，分清已知量、未知量及其關系，抓住題設中的關鍵字眼，如“大于”、“不小于”等；（2）設：設出適當?shù)奈粗獢?shù)；（3）找：找出不等關系；（4）列：根據(jù)題中的不等關系，列出不等式；（5）解：解出所列不等式的解集；（6）答：寫出答案，并檢驗答案是否符合題意。【題型4一元一次不等式的應用】【典例4】（2022秋?松北區(qū)校級期末）哈美佳外校為了豐富學生的課余生活，計劃購買圍棋和象棋供興趣小組活動使用，若購買4副圍棋5副象棋的價錢為114元，購買8副圍棋3副象棋的價錢為158元．（1）求每副圍棋和每副象棋各多少元？（2）學校決定購買圍棋和象棋共40副，總費用不超過550元，那么哈美佳外校最多可以購買多少副圍棋？【答案】（1）每副圍棋16元，每副象棋10元；（2）哈美佳外校最多可以購買25副圍棋．【解答】解：（1）設每副圍棋x元，每副象棋y元，根據(jù)題意得，，解得：，答：每副圍棋16元，每副象棋10元；（2）設哈美佳外校購買z副圍棋，則購買（40﹣z）副象棋，依題意得，16z+10（40﹣z）≤550，解得：z≤25，∵z為正整數(shù)，∴z＝25，答：哈美佳外校最多可以購買25副圍棋．【變式41】（2023春?南丹縣期末）某學校開展了一次防疫知識競賽，為了獎勵表現(xiàn)突出的同學，計劃購買甲、乙兩種獎品．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購買甲種獎品3件，乙種獎品2件，共需費用190元；若購買甲種獎品4件，乙種獎品3件，共需費用270元．（1）甲、乙兩種獎品每件的價格分別是多少元？（2）若購買甲、乙兩種獎品共60件，要使總費用不超過2700元，學校最少購買幾件甲種獎品？【答案】（1）甲、乙兩種獎品每件的價格分別為30元和50元；（2）學校最少購買15件甲種獎品．【解答】解：（1）設甲、乙兩種獎品每件的價格分別為x元，y元，由題意得，解得，答：甲、乙兩種獎品每件的價格分別為30元和50元；（2）設購買甲種獎品a件，則購買乙種獎品（60﹣a）件，由題意得30a+50（60﹣a）≤2700，解得：a≥15，∴學校最少購買15件甲種獎品．【變式42】（2023春?明山區(qū)校級月考）我們度過了寒冬，迎來了充滿希望的春天，同學們將走出教室進行適當?shù)捏w育鍛煉．7.1班想集體購買跳繩和毽子、第一次買20條跳繩和30個毽子共花了590元，第二次又買了10條跳繩和10個毽子共花了260元．請回答下面的兩個問題：（1）求跳繩和毽子的單價是多少元？（2）若7.9班也打算購買同樣的跳繩和毽子共50個，且總花費不超過600元，問7.9班的跳繩最多買多少條？【答案】（1）跳繩的單價是19元，毽子的單價是7元；（2）7.9班的跳繩最多買20條．【解答】解：（1）設跳繩的單價是x元，毽子的單價是y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：跳繩的單價是19元，毽子的單價是7元；（2）設7.9班購買m條跳繩，則購買（50﹣m）個毽子，根據(jù)題意得：19m+7（50﹣m）≤600，解得：m≤，又∵m為正整數(shù)，∴m的最大值為20．答：7.9班的跳繩最多買20條．一．選擇題（共10小題）1．（2023?喀什地區(qū)二模）不等式x+1≤0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：解不等式x+1≤0得x≤﹣1，在數(shù)軸上表示為：．故選：A．2．（2023春?中山區(qū)期末）x與3的和的一半是負數(shù)，用不等式表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由題意得，（x+3）＜0．故選：C．3．（2023春?五蓮縣期末）如圖，小明想到A站乘公交車，發(fā)現(xiàn)他與公交車的距離為720m．假設公交車的速度是小明速度的5倍．若要保證小明不會錯過這輛公交車，則小明到A站之間的距離最大為（）A．100m B．120m C．180m D．144m【答案】B【解答】解：設小明到A站之間的距離為xm，小明的速度為vm/s（v＞0），則公交車到A站之間的距離為（720﹣x）m，公交車的速度為5vm/s，根據(jù)題意得：≤，即5x≤720﹣x，解得：x≤120，∴小明到A站之間的距離最大為120m．故選：B．4．（2023春?侯馬市期末）若關于x的方程x+k＝2x﹣1的解是負數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【答案】B【解答】解：x+k＝2x﹣1，整理得：x＝k+1，∵關于x的方程x+k＝2x﹣1的解是負數(shù)，∴k+1＜0，解得：k＜﹣1．故選：B．5．（2023?渾江區(qū)一模）如圖1，一個容量為500cm3的杯子中裝有200cm3的水，將四顆相同的玻璃球放入這個杯中，結果水沒有滿，如圖2．設每顆玻璃球的體積為xcm3，根據(jù)題意可列不等式為（）A．200+4x＜500 B．200+4x≤500 C．200+4x＞500 D．200+4x≥500【答案】A【解答】解：水的體積為200cm3，四顆相同的玻璃球的體積為4xcm3，根據(jù)題意得到：200+4x＜500．故選：A．6．（2023春?濮陽期末）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成解一元一次不等式，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡．過程如圖所示：接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是（）A．只有乙 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁【答案】B【解答】解：＞1﹣，去分母，得x＞6﹣2x+4，（故步驟甲錯誤）．移項、合并同類項，得x+2x＞6+4（故步驟乙錯誤）．合并同類項，得3x＞10．化系數(shù)為1，得x＞．故選：B．7．（2023春?子洲縣校級期末）不等式的負整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：，去分母得：2（x﹣9）+6＜3（3x+4），去括號得：2x﹣18+6＜9x+12，移項合并同類項得：﹣7x＜24，不等式兩邊同除以﹣7得：，∴不等式的負整數(shù)解有﹣3，﹣2，﹣1共3個，故C正確．故選：C．8．（2023春?芝罘區(qū)期末）某種商品的進價為200元，商場的標價是300元，后來由于商品積壓，商場準備打折銷售，為了保證利潤率不低于5%，則該商品最多打幾折（）A．9折 B．8折 C．7折 D．6折【答案】C【解答】解：設該商品打x折，由題意得：300×0.1x﹣200≥200×5%，解得：x≥7，∴該商品最多可打7折．故選：C．9．（2023春?渠縣校級期末）一次學校智力競賽中共有20道題，規(guī)定答對一題得5分，答錯或不答一道題扣2分，得分為75分以上可以獲得獎品，小鋒在本次競賽中獲得了獎品．假設小鋒答對了x題，可根據(jù)題意列出不等式（）A．5x+2（20﹣x）≥75 B．5x+2（20﹣x）＞75 C．5x﹣2（20﹣x）＞75 D．5x﹣2（20﹣x）≥75【答案】C【解答】解：設小鋒答對了x道題，則他答錯或不答的共有（25﹣x）道題，由題意得：5x﹣2×（20﹣x）＞75，故選：C．10．（2023春?巴彥淖爾期末）閱讀理解：我們把稱作二階行列式，規(guī)定它的運算法則為＝ad﹣bc，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，則x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x＜﹣1 C．x＞3 D．x＜﹣3【答案】A【解答】解：由題意可得2x﹣（3﹣x）＞0，解得x＞1．故選：A．二．填空題（共5小題）11．（2022秋?港北區(qū)校級期末）不等式5x﹣2≤3x+1的非負整數(shù)解為0，1．【答案】0，1．【解答】解：5x﹣2≤3x+1，5x﹣3x≤1+2，2x≤3，x≤，∴該不等式的非負整數(shù)解為：0，1，故答案為：0，1．12．（2023春?遼陽期中）一張試卷共20道題，做對一題得5分，做錯或A不做一題扣3分，小辛做了全部試題，若要成績及格（注：60分及以上成績?yōu)榧案瘢?，那么小辛至少要做?5道題．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設小辛要做對x道題，依題意有5x﹣3（20﹣x）≥60，解得：x≥15．故小辛至少要做對15道題．故答案為：15．13．（2023秋?鄞州區(qū)期中）若不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，則a的取值范圍是a＜1．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵不等式（a﹣1）x＜a﹣1的解集是x＞1，∴a﹣1＜0，解得a＜1．故答案為：a＜1．14．（2023春?鼓樓區(qū)校級期末）不等式﹣2x＜4的解集是x＞﹣2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：兩邊同時除以﹣2，得：x＞﹣2．故答案為：x＞﹣2．15．（2023春?宜都市期末）一罐飲料凈重約為300g（不算罐子自身），罐上注有“蛋白質含量≥0.6%”，其中蛋白質的含量至少為1.8克．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設蛋白質的含量至少應為x克，依題意得：≥0.6%解得x≥1.8．三．解答題（共4小題）16．（2022春?中山市期末）解不等式：﹣，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：去分母得，3（x+5）﹣2（2x+3）≥12，去括號得，3x+15﹣4x﹣6≥12，移項得，3x﹣4x≥12﹣15+6，合并得，﹣x≥3，系數(shù)化1得，x≤﹣3；不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：17．（2023春?清江浦區(qū)期末）為提高飲水質量，越來越多的居民選購家用凈水器．一商場抓住商機，從廠家購進了A、B兩種型號家用凈水器共160臺，A型號家用凈水器進價是160元/臺，B型號家用凈水器進價是240元/臺，購進兩種型號的家用凈水器共用去33600元．（1）求A、B兩種型號家用凈水器各購進了多少臺；（2）為使每臺B型號家用凈水器的毛利潤是A型號的2倍，且保證售完這160臺家用凈水器的毛利潤不低于10400元，求每臺A型號家用凈水器的售價至少是多少元．（注：毛利潤＝售價﹣進價）【答案】（1）A種型號家用凈水器購進了60臺，B種型號家用凈水器購進了100臺．（2）200元．【解答】解：（1）設A種型號家用凈水器購進了x臺，B種型號家用凈水器購進了y臺，由題意得，解得．答：A種型號家用凈水器購進了60臺，B種型號家用凈水器購進了100臺．（2）設每臺A型號家用凈水器的毛利潤是a元，則每臺B型號家用凈水器的毛利潤是2a元，由題意得60a+100×2a≥10400，解得a≥40，160+40＝200（元）．答：每臺A型號家用凈水器的售價至少是200元．18．（2023?石家莊模擬）為了慶祝中