專題02平方根重難點題型專訓（9大題型15道拓展培優(yōu)題）

專題02平方根重難點題型專訓（9大題型+15道拓展培優(yōu)題）【題型目錄】題型一平方根與算術平方根概念理解題型二求一個數(shù)的算術平方根題型三利用算術平方根的非負性解題題型四求算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分題型五與算術平方根有關的規(guī)律探索題題型六求一個數(shù)的平方根題型七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)題型八利用平方根解方程題型九平方根的應用【知識梳理】知識點一：平方根、算術平方根1.（1）定義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．2.求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方．一個正數(shù)a的正的平方根表示為“a”，負的平方根表示為“﹣a”．正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術平方根，記作a．零的算術平方根仍舊是零．3.算術平方根正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術平方根，記作“”。正數(shù)和零的算術平方根都只有一個，零的算術平方根是零?！窘浀淅}一平方根與算術平方根概念理解】【例1】（2023秋·安徽蕪湖·八年級校考開學考試）下列說法正確的是（）A．是的平方根 B．是的平方根C．的平方根是 D．的平方根是【答案】B【分析】利用平方根的定義求解即可．【詳解】、沒有平方根，故此選項說法錯誤，不符合題意；、，的平方根有兩個為，故此選項說法正確，符合題意；、，的平方根有兩個為，故此選項說法不全，不符合題意；、的平方根是，不是，故此選項說法錯誤，不符合題意；故選：．【點睛】此題考查了平方根的定義，解題的關鍵是正確理解一個正數(shù)的平方根有兩個，互為相反數(shù)，的平方根是，負數(shù)沒有平方根．【變式訓練】1．（2023春·河北邢臺·七年級校考期中）若2023的兩個平方根是和，則的值是（

）A．0 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】根據(jù)平方根的意義可得，然后代入式子進行計算即可得到答案．【詳解】解：2023的兩個平方根是和，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了平方根，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫做的平方根，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，0的平方根是它本身，負數(shù)沒有平方根，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．2．（2022秋·浙江·七年級期中）若x是最大的負整數(shù)，y是最小的正整數(shù)，z是平方根等于本身的數(shù)，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)題意分別得出a、b、c的值，再代入進行計算即可．【詳解】解：∵x是最大的負整數(shù)，∴，∵y是最小的正整數(shù)，∴，∵z是平方根等于本身的數(shù)，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的相關定義，平方根的定義，解題的關鍵是掌握平方根等于本身的數(shù)是0．3．（2023秋·山西臨汾·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與理解閱讀學習過程，完成“步驟二”中的填空和“步驟三”的求值．我們在華東師大版八年級上冊，學習了平方根的意義和兩個乘法公式——平方差公式和完全平方公式，下面是一節(jié)課的探究學習片斷：步驟一：再探公式，猜想規(guī)律，，．發(fā)現(xiàn)這兩個公式中包含了兩數(shù)和、兩數(shù)差、兩數(shù)積、兩數(shù)平方和、兩數(shù)平方差，在這五個數(shù)量中，是否存在“知二求三”的一般性規(guī)律呢？步驟二：推導變形，得出公式由可得，．由也可得______，______．綜合這兩個公式還可得出：______，______．進一步綜合變形推導可得：或（依據(jù)是______）或，同理可得：求的公式為______．步驟三：遷移運用，提升能力若，，請運用“步驟二”中推導出的變形公式，求，，的值．【答案】步驟二：；；；；平方根的意義；或或；步驟三：，，【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式等結構特點進行變形求值即可．【詳解】解：步驟二：，，，．依據(jù)是：平方根的意義，，故答案為：；；；；平方根的意義；或或；步驟三：∵，，∴，，．【點睛】本題考查了完全平方公式及其變形，平方差公式，平方根等知識點，熟練掌握完全平方公式的變形是解本題的關鍵．【經典例題二求一個數(shù)的算術平方根】【例2】（2023春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)算術平方根對各選項進行計算，然后判斷即可．【詳解】解：A中，錯誤，故不符合要求；B中，正確，故符合要求；C中，錯誤，故不符合要求；D中，錯誤，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了算術平方根．解題的關鍵在于正確的運算．【變式訓練】1．（2022上·廣東河源·八年級統(tǒng)考期中）已知，那么下列結論正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)小數(shù)點的運動規(guī)律，被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或右移動兩位，算術平方根的小數(shù)點就相應的向左或右移動一位．【詳解】解：被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或右移動兩位，算術平方根的小數(shù)點就相應的向左或右移動一位，∴A、B錯誤；，D錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了算術平方根以及小數(shù)點的移動規(guī)律，理解被開方數(shù)的小數(shù)點每向左或右移動兩位，算術平方根的小數(shù)點就相應的向左或右移動一位是關鍵．2．（2023下·山西呂梁·七年級校考期中）若與的和是單項式，則的算術平方根是．【答案】4【分析】根據(jù)同類項的定義解得的值，即可求得的值，然后求其算術平方根即可．【詳解】解：若與的和是單項式，即與為同類項，則有，∴，∵，∴的算術平方根是4．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了同類項、代數(shù)式求值、算術平方根等知識，熟練掌握相關知識是解題關鍵．3．（2024上·湖南衡陽·七年級?？计谀┮阎钠椒礁鶠?，且的平方根為，求的算術平方根．【答案】3【分析】本題考查平方根，算術平方根，根據(jù)平方根的定義求得，的值，然后將其代入中計算后利用算術平方根的定義即可求得答案．【詳解】解：的平方根為，且的平方根為，，解得：，，9的算術平方根為3，的算術平方根為3．【經典例題三利用算術平方根的非負性解題】【例3】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·七年級?？茧A段練習）關于代數(shù)式的說法正確的是（

）A．時最大 B．時最小C．時最大 D．時最小【答案】C【分析】根據(jù)算術平方根的非負性解答即可．【詳解】解：，當時，的值最大為3．故選：C．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質，掌握算術平方根的非負性是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023上·陜西西安·七年級統(tǒng)考期末）已知，滿足，則的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了非負數(shù)的性質，利用非負數(shù)的性質可得，，解方程即可求得，的值，進而得出答案，熟知幾個非負數(shù)的和為，那么每個非負數(shù)都為是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，，∴，，則，故選：．2、（2023上·湖南株洲·八年級校聯(lián)考期末）若實數(shù)，滿足，則．【答案】【分析】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，利用非負數(shù)的和為零得出、的值是解題關鍵．根據(jù)偶次方和算術平方根的非負數(shù)性質，可得、的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵實數(shù)滿足，而，∴，解得，故答案為：．3．（2023上·河南南陽·八年級校考階段練習）已知：，求：的平方根．【答案】【分析】由，可得，解得，，則，，根據(jù)的平方根為，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，解得，，∴，，∴的平方根為，∴的平方根為．【點睛】本題考查了算術平方根的非負性，平方根．解題的關鍵在于熟練掌握的平方根為．【經典例題四求算術平方根的整數(shù)部分與小數(shù)部分】【例4】（2022春·山東日照·七年級?？计谀╆P于“”，下面說法不正確的是（）A．它是數(shù)軸上離原點個單位長度的點表示的數(shù)B．它是一個無理數(shù)C．若a<<a+1，則整數(shù)a為3D．它表示面積為10的正方形的邊長【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)的意義和數(shù)軸的性質進行判斷即可．【詳解】解：A、±它是數(shù)軸上離原點個單位長度的點表示的數(shù)，題干的說法錯誤，符合題意；B、是一個無理數(shù)，題干的說法正確，不符合題意；C、∵3＜＜3+1，a＜＜a+1，∴整數(shù)a為3，題干的說法正確，不符合題意；D、表示面積為10的正方形的邊長，題干的說法正確，不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查的是算術平方根的概念和分類以及應用，掌握無理數(shù)的概念和意義是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023上·遼寧遼陽·八年級階段練習）已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題解析：∵3＜＜4，∴m=3，n=3，∴故選B．考點：估算無理數(shù)的大小2．（2023上·安徽宿州·八年級統(tǒng)考期末）已知m是的整數(shù)部分，n是的小數(shù)部分，則m2﹣n2=．【答案】6﹣10．【詳解】試題分析：由于3＜＜4，由此找到所求的無理數(shù)在哪兩個和它接近的整數(shù)之間，然后判斷出所求的無理數(shù)的整數(shù)部分，小數(shù)部分讓原數(shù)減去整數(shù)部分，代入求值即可．解：∵3＜＜4，則m=3；又因為3＜＜4，故n=﹣3；則m2﹣n2=6﹣10．故答案為6﹣10．考點：估算無理數(shù)的大小．3．（2022下·甘肅隴南·七年級?？茧A段練習）閱讀下面的文字，解答問題：大家都知道是無理數(shù)，而且，即，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用來表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實上，小明的表示方法是有道理，因為的整數(shù)部分是，將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：①∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．②∵，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為．請解答：如果的小數(shù)部分為，的整數(shù)部分為，求的值；【答案】1【分析】根據(jù)題中的例子求出a，b，再代入計算即可．【詳解】∵，即，∴的整數(shù)部分為3，小數(shù)部分為，即∵，即，∴的整數(shù)部分為4，即b=4．∴，即的值是1．【點睛】本題考查與算術平方根的整數(shù)部分有關的計算，掌握確定無理數(shù)的估算方法是解題的關鍵．【經典例題五與算術平方根有關的規(guī)律探究題】【例5】（2021秋·廣東茂名·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第9行從左至右第5個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖形可知，第n行最后一個數(shù)為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由圖形可知，第n行最后一個數(shù)為，∴第8行最后一個數(shù)為＝6，則第9行從左至右第5個數(shù)是，故選：B．【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關鍵是根據(jù)題意得出第n行最后一個數(shù)為．【變式訓練】1．（2022下·貴州遵義·七年級統(tǒng)考期末）如下表，被開方數(shù)a和它的算術平方根的小數(shù)點位置移動符合一定的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得m，n的值分別為（

）a0.06250.6256.2562.56256250625006250000.250.791mn2579.1250791A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)算術平方根的定義解決此題．【詳解】解：由題意得：從0.0625開始，小數(shù)點每向右移動兩位，對應算術平方根擴大10倍，從0.625開始，小數(shù)點每向右移動兩位，對應算術平方根擴大10倍，∴可得：6.25的算術平方根為2.5,62.5的算術平方根約為7.91，故選B．【點睛】本題主要考查數(shù)字類規(guī)律探索，算術平方根，熟練掌握原數(shù)和平方根的變化規(guī)律是解決本題的關鍵．2．（2023下·北京豐臺·七年級北京豐臺二中?？计谥校?shù)學解密：若第一個式子是，第二個式子是，第三個式子是，…，觀察以上規(guī)律并猜想第五個式子是．【答案】【分析】先找出前面四個式子的規(guī)律，得出第n個式子是，進而寫出第五個式子即可?！驹斀狻拷猓骸?，即，，即，，即，，即，∴第五個式子為，即，故答案為．【點睛】本題考查了算術平方根，是個找規(guī)律的題目，難度中等，分析題意，找出規(guī)律是解題的關鍵．3．（2023下·廣西南寧·七年級南寧市天桃實驗學校?？计谀╅喿x下面材料，解答問題：【問題情境】數(shù)學活動課上，老師帶領同學們開展“運用規(guī)律求一個正數(shù)的算術平方根”的實踐活動．【實踐探究】同學們利用計算器計算出下表中的算術平方根，整理數(shù)據(jù)如下：………0.250.7912.57.912579.1250…(1)根據(jù)上述探究，可以得到被開方數(shù)和它的算術平方根之間小數(shù)點的變化規(guī)律是：若被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動___________位，則它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或向左移動___________位；(2)已知，請運用、上述規(guī)律直接寫出各式的值：___________，___________．(3)你能根據(jù)的值說出的值是多少嗎？請說明理由．【答案】(1)2，1(2)0.1732，17.32(3)不能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)即可得到答案；（2）由（1）中規(guī)律直接計算即可得到答案；（3）由（1）中規(guī)律即可得到答案．【詳解】（1）解：由表中，若被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動位2位，則它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或向左移動位1位；故答案為：2，1；（2）解：，由（1）若被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動位2位，則它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或向左移動位1位，；；故答案為：0.1732，17.32；（3）解：不能根據(jù)的值說出的值，理由如下：由（1）知若被開方數(shù)的小數(shù)點向右或向左移動位2位，則它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或向左移動位1位可得，而到中，被開放數(shù)的小數(shù)點向右移動了1位，滿足不了規(guī)律要求，從而無法由的值說出的值．【點睛】本題考查數(shù)的規(guī)律，讀懂題意，準確找出規(guī)律是解決問題的關鍵．【經典例題六求一個數(shù)的平方根】【例6】（2023春·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習）已知，則的平方根是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)絕對值的性質構建二元一次方程求出x和y的值，再根據(jù)平方根的概念解答即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，得，，解得，將代入①，解得，∴，∴的平方根，故選：C．【點睛】本題考查了絕對值的性質和平方根的概念，構建二元一次方程是解答此題的關鍵．【變式訓練】1．（2024上·遼寧遼陽·七年級統(tǒng)考期末）若，，且，則（

）A．1或7 B．或 C．或7 D．1或【答案】B【分析】本題主要考查絕對值求值以及平方根，熟練掌握絕對值的性質是解題的關鍵．求出的值，根據(jù)得出滿足條件的的值，從而計算出答案．【詳解】解：，，，當時，不符合題意，當，時，；當，時，；故選B．2．（2023下·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期末）若，則的平方根是．【答案】【分析】非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0，由此即可計算．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∴的平方根是．故答案為：．【點睛】本題考查非負數(shù)的性質，關鍵是掌握：非負數(shù)之和等于0時，各項都等于0．3．（2023上·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)，滿足，求的平方根．【答案】【分析】首先根據(jù)非負數(shù)的性質解得，的值，再代入并求值，然后根據(jù)平方根的定義求解即可．【詳解】解：由題意，，又∵，，∴，，解得，，∴，∴的平方根，即4的平方根為．【點睛】本題主要考查了絕對值非負性質、算術平方根非負性質、代數(shù)式求值以及平方根等知識，利用非負數(shù)的性質解得的值是解題關鍵．【經典例題七已知一個數(shù)的平方根，求這個數(shù)】【例7】（2023春·山西大同·七年級大同市第三中學校?？计谀┤绻粋€正數(shù)的平方根是a+3及2a﹣15，那么這個正數(shù)是(

)A．441 B．49 C．7或21 D．49或441【答案】B【分析】根據(jù)正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；進而可得這個正數(shù)的平方根，最后可得這個正數(shù)的值．【詳解】解：∵一個正數(shù)的平方根是a+3和2a﹣15，∴a+3和2a﹣15互為相反數(shù)，即(a+3)+(2a﹣15)＝0；解得a＝4，則a+3＝﹣(2a﹣15)＝7；則這個數(shù)為＝49；故選：B．【點睛】本題考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．【變式訓練】1．（2021上·四川樂山·八年級統(tǒng)考期末）已知與是一個正數(shù)的平方根，則這個正數(shù)的值是（

）A．1或9 B．3 C．1 D．81【答案】A【分析】首先根據(jù)正數(shù)有兩個平方根，它們可能互為相反數(shù)或相等，則列方程求解即可．【詳解】解：由題意得：當兩數(shù)互為相反數(shù)時，，解得：，，，則這個正數(shù)為9．當兩數(shù)相等時，這個正數(shù)是1．故這個正數(shù)為1或9故選：A．【點睛】此題主要考查了平方根，關鍵是掌握一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)．2．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）若一個正數(shù)a的兩個平方根分別是和，那么a等于．【答案】【分析】根據(jù)平方根的定義可求出x的值，再求a的值即可．【詳解】解：∵一個正數(shù)的平方根分別是和，∴，解得，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提．3．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┙獯鹣铝袉栴}：(1)已知a，b互為倒數(shù)，c是最小的正整數(shù)，d是絕對值最小的數(shù)，，求的值；(2)已知的平方根是，的算術平方根是4，求的平方根．【答案】(1)(2)的平方根【分析】（1）根據(jù)a，b互為倒數(shù)，c是最小的正整數(shù)，d是絕對值最小的數(shù)，，即可求出、c、d、x的值，然后代入要求的式子計算即可；（2）根據(jù)9的平方根是±3得出，即可求出a的值，根據(jù)16的算術平方根是4得出，即可求出b的值，然后根據(jù)平方根的定義求出ab＋5的平方根即可．【詳解】（1）∵a，b互為倒數(shù)，∴，∵c是最小的正整數(shù)，∴，∵d是絕對值最小的數(shù)，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵的平方根是，∴，∴，∵的算術平方根是4，∴，∴，∴，∵25的平方根是，∴的平方根．【點睛】本題考查了實數(shù)的性質，平方根，算術平方根，倒數(shù)，絕對值，代數(shù)式求值等知識，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．【經典例題八利用平方根解方程】【例8】（2023春·江蘇南京·七年級校聯(lián)考期中）若，，則的值是（

）A．0 B．4 C．0或4 D．2或4【答案】C【分析】根據(jù)平方根的含義先求解，，再分類討論即可．【詳解】解：∵，，∴，，當，，∴，∴，當，，∴，∴，當，，∴，∴，當，，∴，∴，綜上：的值是0或4．故選C．【點睛】本題考查的是平方根的含義，求解代數(shù)式的值，等式的基本性質的應用，清晰的分類討論是解本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023下·重慶永川·八年級統(tǒng)考期末）若，則的值是（）A．0 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【分析】根據(jù)算術平方根的定義解答即可.【詳解】故選：D【點睛】本題主要考查了算術平方根的定義：如果一個正數(shù)的平方等于a，那么這個正數(shù)叫做a的算術平方根，記作．正確理解算術平方根的定義是解題的關鍵.2．（2023上·甘肅平涼·九年級校考階段練習）在實數(shù)范圍內定義一種運算“※”：※，按照這個規(guī)則，的結果剛好為0，則x的值為．【答案】2或/或2【分析】本題考查利用平方根的定義解方程，結合已知條件列得方程是解題的關鍵．由題意可得，利用平方根的定義解方程即可．【詳解】解：由題意可得，即，則，解得：或，故答案為：2或．3．（2023下·福建福州·七年級?？计谥校┮阎龑崝?shù)x的兩個平方根是m和．(1)當時，求m；(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平方根的定義得出，再將代入計算即可求出m的值；（2）由正實數(shù)x的兩個平方根是m和可得，則原方程可變?yōu)?，進而求出x的值．【詳解】（1）解：∵正實數(shù)x的兩個平方根是m和．∴，而，∴；（2）解：∵正實數(shù)x的兩個平方根是m和．∴，因此原方程可變?yōu)?，即，又∵，∴．【點睛】本題考查平方根的相關知識，掌握平方根的性質是正確解答的前提．【經典例題九平方根的應用】【例9】（2023秋·河南三門峽·八年級統(tǒng)考期末）如圖是用4個相同的長方形與1個正方形鑲嵌而成的正方形圖案．已知該圖案的總面積為m，小正方形的面積為n．若用x、y表示長方形的兩邊長（），請觀察圖案，指出下列關系式：①、②、③、④若，則．這四個結論中正確的有（

）個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)該圖案的總面積、正方形的面積公式即可判斷①；根據(jù)小正方形的面積、正方形的面積公式可得，從而可得，再結合①即可判斷②；根據(jù)四個長方形的面積等于兩個正方形的面積之差即可判斷③；先將用含的式子表示出來，由此即可判斷④．【詳解】解：該圖案是正方形，且該圖案的總面積為，邊長為，，結論①正確；小正方形的面積為，邊長為，，由得：，則，即，結論②正確；四個長方形的面積等于兩個正方形的面積之差，，即，結論③正確；由結論②可知，，代入得：，若，則，即，，結論④錯誤；綜上，這四個結論中正確的有3個，故選：C．【點睛】本題考查了整式的加減與圖形面積、算術平方根的應用，讀懂圖形，熟練掌握各圖形面積之間的關系是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·七年級專題練習）交通事故統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，每年的汽車追尾事故占所有事故的30％左右．造成追尾事故的主要原因是剎車距離把握不當，研究發(fā)現(xiàn)，在柏油路面上，剎車距離s與車速v的關系式是s＝（其中），當剎車距離增加一倍時，車速增加（

）．A．1倍 B．倍 C．－1倍 D．2倍【答案】B【分析】知道剎車距離s與車速v的關系式后，再將等式進行變形，使得s變?yōu)?s，即可得出答案．【詳解】解：由題意知，剎車距離s與車速v的關系式是：（其中），所以，當剎車距離增加一倍時，即：即車速增加倍，故選：B．【點睛】本題考查算術平方根的應用，借助算術平方根解決實際問題．2．（2023春·浙江·七年級期末）如圖，正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長方形紙片無縫拼接而成，現(xiàn)將其擺放在桌面上，如圖所示，重合部分為甲、乙、丙，其中乙為正方形，記甲、丙的面積分別為，，若，且桌面被所有紙片覆蓋區(qū)域的面積為，則乙的面積為．【答案】4【分析】設乙的邊長為2a，根據(jù)，，可以推出從而推出兩個大正方形的邊長，再由覆蓋面積列出方程求解即可【詳解】解：設乙的邊長為2a，∵正方形ABCD和正方形EFGH分別由兩張相同的長方形紙片無縫拼接而成，∵，，∴，，∴，∴正方形EFGH的邊長為，正方形ABCD的邊長為，∴，解得（負值舍去），∴，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了平方根的應用，正確理解題意表示出兩個大正方形的邊長是解題的關鍵．3．（2023春·廣西南寧·七年級南寧二中?？计谀┚C合與實踐【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，把兩個面積都為的小正方形分別沿對角線剪開，將所得的4個直角三角形拼成一個大正方形，則該大正方形的邊長為cm．【知識遷移】若一個圓與一個正方形的面積都是，設這個圓的周長為，這個正方形的周長為，則（填“＝”或“”或“”）．【拓展延伸】李明想用一塊面積為的正方形紙片（如圖2所示），沿著邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長寬之比為．李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請說明理由．【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】；【知識遷移】；【拓展延伸】能，理由見解析【分析】【問題發(fā)現(xiàn)】根據(jù)大正方形的面積為，由算術平方根即可求得正方形的邊長；【知識遷移】分別求出圓的半徑、正方形的邊長，即可求出它們的周長，比較即可；【拓展延伸】設長方形的長、寬分別為，由面積關系建立方程即可求得x的值，再把長方形的長與正方形的邊長比較即可作出判斷．【詳解】解：【問題發(fā)現(xiàn)】由題意得大正方形的面積為，則其邊長為；故答案為：；【知識遷移】設圓的半徑為r，則有，解得：，則；設正方形的邊長為a，則，解得：，則；∵，∴，故答案為：；【拓展延伸】能，理由如下：設長方形的長、寬分別為，則，解得：，∵，，∴李明能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．【點睛】本題考查了算術平方根的應用，用代數(shù)式表示長方形的長、寬及正方形的邊長是關鍵．【重難點訓練】1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知，則的平方根是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】略2．（2023上·四川達州·八年級?？计谥校┫铝懈魇剑孩?，②，③，④，⑤，⑥，其中表示一個數(shù)的算術平方根的是（

）A．①②③ B．④⑤⑥ C．③④ D．②⑤【答案】C【分析】本題考查了平方根和算術平方根的定義；根據(jù)平方根和算術平方根的概念逐項判斷即可．【詳解】解：①，表示16的平方根是，不符合題意；②，表示的算術平方根的相反數(shù)，不符合題意；③，表示25的算術平方根是5，符合題意；④，表示36的算術平方根是6，符合題意；⑤，結果應該是，不符合題意；⑥，表示是16的一個平方根，不符合題意；綜上，其中表示一個數(shù)的算術平方根的是③④，故選：C．3．（2023下·浙江嘉興·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在一個正方形的內部放置大小不同的兩個小正方形，其中較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則圖中三角形的面積為（

）A．11 B．10 C．6 D．5【答案】D【分析】觀察圖形可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，則重疊部分也為正方形，根據(jù)較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，則較大的正方形的邊長為，較小的正方形的邊長為2，中間重疊部分的正方形邊長為1；從而得出空白部分的長方形的較小邊長為，繼而得，，然后由求解即可．【詳解】解：觀察圖形可知，兩個空白部分的長相等，寬也相等，重疊部分也為正方形，∵較大的正方形的面積為11，較小的正方形的面積為4，中間重疊部分的面積為1，∴較大的正方形的邊長為，較小的正方形的邊長為2，中間重疊部分的正方形邊長為1；∴空白部分的長方形的較小邊長為，∴∴∴故選：D．【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，觀察圖形得到各個正方形邊長之間的關系，從而求得、的長是解題的關鍵．4．（2023下·湖北黃石·七年級統(tǒng)考階段練習）設，，，…，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察第一步的幾個計算結果，得出一般規(guī)律，然后利用規(guī)律解答即可．【詳解】解：∵，，，，…，，∴．故選D．【點睛】本題主要考查了數(shù)字算式的變化規(guī)律．觀察幾個結果的結果、由特殊到一般得出規(guī)律是關鍵．5．（2023下·河北邢臺·七年級?？计谀┤鐖D1，一個邊長為5的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現(xiàn)將這四個直角三角形分別沿著正方形的四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．對于結論I和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結論I：若陰影小正方形的邊長為2，則大正方形的邊長為；結論Ⅱ：若大正方形的邊長為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長是A．I和Ⅱ都對 B．I和Ⅱ都不對 C．I不對Ⅱ對 D．I對Ⅱ不對【答案】D【分析】結論I：根據(jù)題意可算出四個完全相同的直角三角形的面積和，再根據(jù)折疊的性質得到折疊后的三角形面積不變，以此即可算出大正方形的面積，繼而求得其邊長；結論Ⅱ：設陰影小正方形的邊長為x，則大正方形的面積為，進而求得其邊長，再根據(jù)邊長為正整數(shù)，且邊長大于5，可得或，以此算出x的值，再進一步計算即可．【詳解】結論I：∵一個邊長為5的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形，陰影小正方形的邊長為2，∴四個完全相同的直角三角形的面積和為，由翻折的性質可得，翻折后的三角形面積等于翻折前的三角形面積，∴圖2中8個完全相同的直角三角形的面積和為，∴大正方形的面積為，∴大正方形的邊長，故I正確；結論Ⅱ：設陰影小正方形的面積為x，則大正方形的面積為，∴大正方形的邊長為，∵大正方形的邊長為正整數(shù)，邊長大于5且小于8，∴或，∴或，∴陰影小正方形的邊長為1或，故Ⅱ不正確．故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，翻折的性質，找到翻折后的大正方形的面積與原來正方形的面積關系式解題關鍵．6．（2024上·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期末）若x，y為實數(shù)，且，則=.【答案】1【分析】本題考查了算術平方根的非負性、絕對值的非負性，先根據(jù)非負性得到x，y的值，然后將其代入，根據(jù)一個負數(shù)的偶次冪為正數(shù)可求得結果，準確理解概念是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，即，∴，故答案為：1．7．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考階段練習）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸上的有理數(shù)的表示，絕對值的非負性，算術平方根的非負性．熟練掌握絕對值的非負性，算術平方根的非負性是解題的關鍵．由數(shù)軸可求，，，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，∴，，，∴，故答案為：．8．（2023上·浙江麗水·七年級統(tǒng)考期中）如圖1，一個邊長為6的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形（無縫隙、不重疊），現(xiàn)將這四個直角三角形分別沿著正方形四條邊向外翻折，翻折后得到圖2所示的大正方形．（1）若陰影小正方形的邊長為1，則圖2中大正方形的面積為．（2）若圖2中大正方形的邊長為正整數(shù)，則陰影小正方形的邊長為．【答案】71或【分析】（1）根據(jù)圖1求出四個直角三角形的面積，根據(jù)翻折的性質，從而得到圖2大正方形的面積，即可；（2）設小正方形的面積為，從而得到圖2大正方形的面積，再根據(jù)大正方形的邊長為正整數(shù)，即可得到x的值．【詳解】解：（1）∵一個邊長為6的正方形被分割成四個完全相同的直角三角形和一個陰影小正方形，陰影小正方形的邊長為，∴四個完全相同的直角三角形的面積和為，由翻折的性質可得，翻折后的三角形面積等于翻折前的三角形面積，∴圖2中8個完全相同的直角三角形的面積和為，∴大正方形的面積為；故答案為：71；（2）設陰影小正方形的面積為，則大正方形的面積為，∴大正方形的邊長為，∵大正方形的邊長為正整數(shù)，且邊長大于圖1中的大正方形的邊長，即邊長大于6，且，∴或，或，∴陰影小正方形的邊長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了幾何變換的綜合應用，翻折的性質，算術平方根，找到翻折后的大正方形的面積與原來的正方形的面積關系式是解題的關鍵．9．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┲袊糯幸环N求算數(shù)平方根的方法，稱為開方術，該方法的原理是利用二項式定理，對根式逐位估值．假設N為被開方數(shù)，a為首根，b為次根，若將根記為，則．以為例：（1）分節(jié)定位：以小數(shù)點為基準，每兩位分一節(jié)得7，89，61；（2）估首根a：考慮被開方數(shù)的首節(jié)7，由于，故首根為2，由于，故繼續(xù)開方；（3）估次根b：考慮余數(shù)的第一、二節(jié)389，考慮，嘗試估出次根；（4）重復如上操作．則的算術平方根為．【答案】【分析】本題考查了求一個數(shù)的算術平方根，根據(jù)題目所給的方法進行解答即可．【詳解】解：（1）分節(jié)定位：以小數(shù)點為基準，每兩位分一節(jié)得37，57，69；（2）估首根a：考慮被開方數(shù)的首節(jié)37，由于，故首根為6，由于，故繼續(xù)開方；（3）估次根b：考慮余數(shù)的第一、二節(jié)157，考慮，嘗試估出次根；（4）考慮榆樹的第二、三節(jié)，考慮，，綜上：的算術平方根為；10．（2023上·北京石景山·八年級?？计谥校┬∶饔糜嬎闫髑罅艘恍┱龜?shù)的平方，記錄如下表.下面有四個推斷：①②一定有個整數(shù)的算術平方根在之間③對于小于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于④比大所有合理推斷的序號是.【答案】D【分析】此題考查了乘方運算，算術平方根，平方差公式；根據(jù)表格中的信息可知和其對應的算術平方根的值，然后依次判斷各題即可．【詳解】解：根據(jù)表格中的信息知：，故①正確；根據(jù)表格中的信息知：，∴正整數(shù)或或，∴一定有個整數(shù)的算術平方根在之間，故②正確；∵由題意設且，由，，∴對于小于的兩個正數(shù)，若它們的差等于，則它們的平方的差小于，故③正確；∵，，，故④正確；∴合理推斷的序號是①②③④．故答案為：①②③④．11．（2023下·七年級課時練習）已知正數(shù)x的平方根是m和m＋b．(1)當b＝8時，求m的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)m＝－4(2)【詳解】（1）∵正數(shù)x的平方根是m和m＋b，∴m＋m＋b＝0．∵b＝8，∴2m＋8＝0．∴m＝－4．（2）∵x為正數(shù)，，整理，得．∵正數(shù)x的平方根是m和m＋b，∴，，代入．可得，∴．∵x＞0，∴．12．（2021下·浙江臺州·七年級統(tǒng)考期末）我們知道，負數(shù)沒有算術平方根，但對于三個互不相等的負整數(shù)，若兩兩乘積的算術平方根都是整數(shù)，則稱這三個數(shù)為“完美組合數(shù)”，例如：，，這三個數(shù)，，，，其結果6，3，2都是整數(shù)，所以，，這三個數(shù)稱為“完美組合數(shù)”．(1)，，這三個數(shù)是“完美組合數(shù)”嗎？請說明理由，(2)