第03講矩形（3個知識點(diǎn)5類熱點(diǎn)題型講練習(xí)題鞏固）

第03講矩形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①矩形的定義及其性質(zhì)②直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)③矩形的判定理解矩形的定義，掌握矩形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。理解掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)并能夠熟練的應(yīng)用。掌握矩形的判定方法，能夠在題目中選擇合適方法判定矩形。知識點(diǎn)01矩形的定義及其性質(zhì)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。矩形的性質(zhì)：①矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)。特殊性質(zhì)：②邊的特殊性：鄰邊相互垂直。③角的特殊性：四個角都是直角（或90°）。④對角線的特殊性：對角線相等。即對角線相互平分且相等。即：AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD。由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是等腰三角形。⑤面積：等于任意一組鄰邊的乘積。⑥對稱性：既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形?！炯磳W(xué)即練1】1．下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（）A．對邊相等 B．對角相等 C．對角線相等 D．對邊平行【解答】解：矩形的特性是：四角相等，對角線相等．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中點(diǎn)，∠AED＝120°，則AD長為（）A． B．2 C． D．3【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝1，∠ADC＝90°，∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝ED＝EC，∵∠AED＝120°，∴∠DAC＝30°，∴AD＝CD＝，故選：C．【即學(xué)即練3】3．如圖，矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．67.5°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD，AB＝CD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∴AB＝BE，∴AC＝2CD，∴BD＝2AB，∴BO＝BE，∴∠BOE＝∠BEO，∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOB≌△COB（SAS），∴∠OAD＝∠OBC＝30°，∴∠OBE＝30°，∴∠BOE＝∠BEO＝＝75°，故選：C．知識點(diǎn)02直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)：由矩形的對角線的性質(zhì)可知：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！炯磳W(xué)即練1】4．如圖，嘉嘉利用刻度直尺（單位：cm）測量三角形紙片的尺寸，點(diǎn)B，C分別對應(yīng)刻度尺上的刻度2和8，D為BC的中點(diǎn)，若∠BAC＝90°，則AD的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【解答】解：由圖可得，∠BAC＝90°，BC＝8﹣2＝6（cm），∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝3（cm），故選：A．知識點(diǎn)03矩形的判定直接判定：有三個角（四個角）是直角的四邊形是矩形。符號語言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC∴四邊形ABCD是矩形利用平行四邊形判定：①有一個角是直角的平行四邊形是矩形。符號語言：∵在?ABCD中，∠ABC=90°∴四邊形ABCD是矩形②對角線相等的平行四邊形是矩形。符號語言：∵在?ABCD中，AD=BC∴四邊形ABCD是矩形【即學(xué)即練1】5．在四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，在下列條件中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD【解答】解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠BAD＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項C符合題意；D、∵∠BAD＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，在Rt△ABD和Rt△BAC中，，∴Rt△ABD≌Rt△BAC（HL），∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項D不符合題意；故選：C．【即學(xué)即練2】6．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若四邊形AEBO是菱形，求證：四邊形ABCD是矩形．【解答】證明：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝AC，OB＝BD，∵四邊形AEBO是菱形，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．題型01利用矩形的性質(zhì)求線段或周長【典例1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．已知AB＝4，△AOE的面積為5，則DE的長為（）A．2 B． C． D．3【解答】解：如圖，連接CE，由題意可得，OE為對角線AC的垂直平分線，∴BF＝DE，S△AOE＝S△DOE＝5，∴S△ACE＝2S△COE＝10．∴AE?CD＝10，∵CD＝4，∴EE＝5，在Rt△ABE中，由勾股定理得：DE＝＝3．故選：D．【變式1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC，垂足為E，AE＝3CE，則BD的長為（）A．6cm B． C．12cm D．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，CD＝AB＝6cm，∴OA＝OD＝OC，∵DE⊥AC，AE＝3CE，∴OE＝CE，∠DEA＝90°，∴OD＝CD，∴OC＝OD＝CD＝6cm，∴BD＝2OD＝12cm，故選：C．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，則AD的長是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝3，∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵EA平分∠BED，∴∠AEB＝∠AEF，∴∠AEF＝∠DAE，∴AD＝DE，設(shè)AD＝BC＝x，則CE＝x﹣1，∵CE2+CD2＝DE2，∴（x﹣1）2+32＝x2，∴x＝5，∴AD＝5，故選：B．【變式3】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的周長為（）A．12 B．16 C． D．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，BD＝4，∴AC＝BD＝4，∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，∴AB＝2，∴BC＝＝＝2，∴矩形ABCD的周長為2（AB+BC）＝2×＝4+4．故選：D．【變式4】如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵對角線AC，BD交于點(diǎn)O，∴△AOD的面積為3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故選：C．題型02利用矩形的性質(zhì)求角度【典例1】如圖，AC，BD是矩形ABCD的對角線，∠AOB＝50°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠ODC，∵∠COD＝∠AOB＝50°，∴∠ACD＝（180°﹣50°）＝65°；故選：D．【變式1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD交BD于點(diǎn)E，∠AOB＝110°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∠ADO+∠ABD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠BAE+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADO＝∠OAD，∵∠AOB＝∠OAD+∠ADO，∴∠BAE＝∠OAD＝∠ADO＝∠AOB＝×110°＝55°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣55°＝35°，故選：B．【變式2】翻花繩是中國民間流傳的兒童游戲，在中國不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成右圖，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．60°【解答】解：如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴∠1+∠MJG＝90°，∠2+∠MGJ＝90°，∵∠1＝∠2＝30°，∴∠MJG＝∠MGJ＝60°，∴∠GMJ＝180°﹣∠MJG﹣∠MGJ＝60°，∴∠5＝60°，∵IJ∥KL，EF∥GH，∴四邊形NPMO是平行四邊形，∴∠4＝∠5＝60°，∴∠3＝∠4＝60°，故選：D．【變式3】如圖，延長矩形ABCD的邊CB至點(diǎn)E，使EB＝AC，連接DE，若∠BAC＝α，則∠E的度數(shù)是（）A． B． C．α﹣45° D．【解答】解：連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAC＝α，∴∠CBD＝90°﹣α，∵BE＝AC＝BD，∴∠BDE＝∠E，∴∠CBD＝∠BDE+∠E＝2∠E，∴2∠E＝90°﹣α，∴∠E＝45°﹣，故選：B．【變式4】如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，連接AE，過E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，連接AF，若∠BAF＝α，則∠EFC的度數(shù)為（）A．α B．45°+ C．45°﹣ D．90°﹣α【解答】解：延長AE，交BC的延長線于點(diǎn)G，如圖所示：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝90°，AD∥BC，∴∠ECG＝90°，∵E為CD邊中點(diǎn)，∴DE＝CE，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（ASA），∴AE＝GE，∵EF⊥AE，∴EF垂直平分AG，∴AF＝GF，∴∠FAE＝∠G，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠G，∴∠DAE＝∠FAE，∵∠BAF＝α，∴∠DAE＝，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠AED+∠FEC＝90°，∴∠FEC＝∠DAE＝，∵∠FEC+∠EFC＝90°，∴∠EFC＝90°﹣＝45°+，故選：B．題型03利用矩形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，若長方形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），則第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，﹣1）．【解答】解：設(shè)第四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），∵長方形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），∴長方形的寬為2﹣（﹣1）＝3，長為3﹣（﹣1）＝4，∴m﹣（﹣1）＝4，2﹣n＝3，解得m＝3，n＝﹣1，即第四個頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣1），故答案為：（3，﹣1）．【變式1】如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點(diǎn)C在第二象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【解答】解：過C作CE⊥y軸于E，過A作AF⊥y軸于F，∴∠CEO＝∠AFB＝90°，∵四邊形ABCO是矩形，∴AB＝OC，AB∥OC，∴∠ABF＝∠COE，∴△OCE≌△ABF（AAS），同理△BCE≌△OAF，∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，∵A（2，1），B（0，5），∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，∴OE＝4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，4）；故選：D．【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABCD如圖所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6）【解答】解：∵四邊形ABCD是長方形，∴AB∥DC，AD∥BC，∵A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A的橫坐標(biāo)相同，為﹣6，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，為﹣3，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，﹣3）．故選：C．【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，D分別在y軸的正半軸和負(fù)半軸上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A． B．（﹣2，﹣2） C． D．【解答】解：過C作CE⊥y軸于E，∴∠BEC＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，BO＝DO＝4，∴∠ABC＝90°，BD＝8，∵∠ABO＝60°，∴∠CBE＝30°，∵∠BCD＝90°，∴CD＝BD＝4，BC＝CD＝4，∵∠CBE＝30°，∠CEB＝90°，∴CE＝BC＝2，BE＝CE＝6，∴OE＝2，∵點(diǎn)C在第三象限，∴點(diǎn)C（﹣2，﹣2），故選：D．【變式4】在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABCD按如圖所示放置，O是AD的中點(diǎn)，且A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，0），（5，4），（﹣5，4），點(diǎn)P是BC上的動點(diǎn)，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【解答】解：如圖，∵A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，設(shè)BC與y軸交于E，當(dāng)DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），當(dāng)OD＝OP＝5時，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案為：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．題型04直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)．若BD＝8，則AD＝8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，BD＝8，∴AC＝2BD＝16，AD＝CD＝AC，∴AD＝8．故答案為：8．【變式1】如圖，三位同學(xué)分別站在一個直角三角形的三個直角頂點(diǎn)處做投圈游戲，目標(biāo)物放在斜邊AB的中點(diǎn)E處，已知AB＝6m，則點(diǎn)C到點(diǎn)E的距離是（）A．6m B．2.5m C．4m D．3m【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE＝AB＝×6＝3（m），即點(diǎn)C到點(diǎn)E的距離是3m，故選：D．【變式2】如圖，一架梯子AB斜靠在豎直墻上，點(diǎn)M為梯子AB的中點(diǎn)，當(dāng)梯子底端向左水平滑動到CD位置時，滑動過程中OM的變化規(guī)律是（）A．變小 B．不變 C．變大 D．先變小再變大【解答】解：∵∠AOB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，∴OM＝AB．同理OM＝．∵AB＝CD．∴OM的長度不變．故選：B．【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∠B＝30°，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，則∠CDE的大小為75°．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝DB，∴∠DCB＝∠B＝30°，∵AB＝2AC，∴CA＝CD，∵CA＝CE，∴CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣30°）＝75°．故答案為：75°．【變式4】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長為．【解答】解：∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∵CD是△ABC的中線，AB＝4，∴DE是△ABE斜邊上的中線，∴，∵∠DAC＝90°，E是CD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝CE＝2，∴CD＝4，由勾股定理得．故答案為：．【變式5】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，D為AB的中點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，則DM的長為（）A．7 B．8 C． D．【解答】解：連接DF，DE，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴F是BC中點(diǎn)，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴EF＝BC＝×12＝6，同理：FD＝AB＝×16＝8，DE＝AB，∴DF＝DE，∵M(jìn)為EF的中點(diǎn)，∴DM⊥EF，F(xiàn)M＝EF＝3，∴DM＝＝＝．故選：C．題型05矩形的判定與性質(zhì)【典例1】在四邊形ABCD中，AD∥BC，下列選項中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【解答】解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A不符合題意；B．∵AD∥BC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝∠B，∴∠A＝∠B＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C．∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∴不能判定四邊形ABCD為矩形，故選項C符合題意；D、∵AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故選項D不符合題意；故選：C．【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O．請增加一個條件，使得四邊形ABCD是矩形，增加的條件為此題答案不唯一，∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等（填一個即可）．【解答】解：∵在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD時，四邊形ABCD是矩形．故答案為：此題答案不唯一，如∠ABC＝90°或∠ADC＝90°或∠BAD＝90°或∠BCD＝90°或AC＝BD等．【變式2】如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥OD，過點(diǎn)D作DE∥AC，CE與DE相交于點(diǎn)E．求證：四邊形OCED是矩形．【解答】證明：∵CE∥OD，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四邊形OCED是矩形．【變式3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，∠ABC的平分線和外角∠ABD的平分線分別交MN于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AEBF是矩形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四邊形AEBF的面積．【解答】（1）證明：∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEB＝∠CBE，∠OFB＝∠DBF，∵BE平分∠ABC，BF平分∠ABD，∴∠OBE＝∠EBC，∠OBF＝∠DBF，∴∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，∴EO＝BO，F(xiàn)O＝BO∴EO＝FO＝BO．∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴AO＝BO，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EO＝BO＝FO＝AO，∴AB＝EF，∴四邊形AEBF是矩形；（2）解：由（1）知，四邊形AEBF是矩形，∠AEB＝90°，又∵BE為∠ABC的平分線，∴∠OBE＝∠EBC＝∠ABC＝30°，∴AE＝AB＝3，∴BE＝＝＝3，∴四邊形AEBF的面積AE?BE＝3×3＝9．【變式4】如圖：在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）連接DE，交AC于點(diǎn)F，直接寫出DF與AB之間的關(guān)系為DF＝AB．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD是中線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠CAD+∠CAN＝×180°＝90°，即∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形；（2）解：DF＝AB，理由如下：由（1）知，四邊形ADCE為矩形，∴AC＝DE，DF＝EF＝DE，又∵AB＝AC，∴AB＝DE，∴DF＝AB．【變式5】如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，AE是外角∠FAC的平分線，過點(diǎn)C作CE⊥AE，垂足為E．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）連接DE，若矩形ADCE的周長是28，DE＝10，求四邊形ABDE的面積．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AE是∠FAC的平分線，∴∠FAE＝∠CAE，∵∠BAD+∠CAD+∠FAE+∠CAE＝180°，∴∠CAD+∠CAE＝×180°＝90°，即∠DAE＝90°，∵CE⊥AE，∴∠ADC＝∠AEC＝∠DAE＝90°，∴四邊形ADCE是矩形；（2）解：如圖，∵四邊形ADCE是矩形，∴∠AC＝90°，DE＝AC＝15，AE∥BD，AE＝CD，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴AE＝BD，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵矩形ADCE的周長是28，∴AD+CD＝14，∴（AD+CD）2＝142，即AD2+CD2+2AD?CD＝142，∵AD2+CD2＝AC2＝102，∴AD?CD＝＝48，∴AD?BD＝48，∴S平行四邊形ABDE＝BD?AD＝48．1．矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線相等 B．對角線互相平分 C．對邊平行 D．對角相等【解答】解：矩形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角線互相平分且相等，兩組對角相等；平行四邊形的性質(zhì)：對邊平行且相等，對角線互相平分，兩組對角相等；故選項B、C、D不符合題意，A符合題意；故選：A．2．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO【解答】解：∵四邊形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)AB＝AD時，可判定四邊形ABCD是菱形；當(dāng)AB⊥AD時，可判定四邊形ABCD是矩形；當(dāng)OA＝OB時，AC＝BD，可判定四邊形ABCD是矩形；當(dāng)∠BAO＝∠ABO時，∴OA＝OB，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形；故選：A．3．如圖，將四根木條用釘子釘成一個矩形框架ABCD，然后向左扭動框架，觀察所得四邊形的變化，下面判斷正確的是（）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)榱庑?B．對角線AC的長度不變 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長不變【解答】解：向左扭動矩形框架ABCD，只改變四邊形的形狀，四邊形變成平行四邊形，A不符合題意；此時對角線BD減小，對角線AC增大，B不合題意．BC邊上的高減小，故面積變小，C不符合題意，四邊形的四條邊不變，故周長不變，D符合題意．故選：D．4．矩形的兩條對角線的夾角為60度，對角線長為15，則矩形的較短邊長為（）A．12 B．10 C．7.5 D．5【解答】解：如圖所示：矩形ABCD，對角線AC＝BD＝15，∠AOD＝∠BOC＝60°∵四邊形ABCD是矩形∴OA＝OD＝OC＝OB＝×15＝7.5（矩形的對角線互相平分且相等）又∵∠AOD＝∠BOC＝60°，∴OA＝OD＝AD＝7.5，∵∠COD＝120°＞∠AOD＝60°∴AD＜DC所以該矩形較短的一邊長為7.5，故選：C．5．下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（）A．對角線相等 B．四個角都是是直角 C．對角線互相垂直 D．是軸對稱圖形【解答】解：A、矩形的對角線平分、相等，故A正確，不合題意；B、矩形的四個角都是直角，故B正確，不合題意；C、矩形的對角線不互相垂直，故C錯誤，符合題意；D、矩形是軸對稱圖形，故D正確，不合題意；故選：C．6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，若AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)D，DC＝8，則BP的長為（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵點(diǎn)D在AC的垂直平分線上，∴DA＝DC＝8，∵∠ABC＝90°，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，∴BP＝AD＝4，故選：C．7．如圖所示，O是矩形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則△BOE的周長為（）A．10 B．8+2 C．8+2 D．14【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝8，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，∴OE＝CD＝3，AE＝AD＝4，在Rt△ABE中，AE＝4，AB＝6，根據(jù)勾股定理得，BE＝，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，AC＝＝＝10．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，∴BO＝5．∴△BOE周長為5+3+2＝8+2．故選：C．8．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，OA＝9，則BE的長為（）A． B．9 C． D．12【解答】解：在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝45°，AD∥BC，OA＝OB＝6，∴∠AEB＝∠EAD＝45°，∴BE＝BA．∵∠CAE＝15°，∠BAE＝45°，∴∠BAC＝60°，又∵OA＝OB，∴△OAB為等邊三角形，∴BO＝BA＝9，∴BO＝BE＝9．故選：B．9．如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB中點(diǎn)，∠ACD+∠BAC＝70°，則∠DEC的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【解答】解：∵AD⊥BD，AC⊥BC，∴△ABD，△ABC均為直角三角形，∵E為AB中點(diǎn)，∴CE＝AB，∴CE＝AE＝BE＝DE，∴∠ACE＝∠BAC，∠DCE＝∠EDC，∵∠ACD+∠BAC＝70°，∴∠DCE＝∠EDC＝70°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠EDC＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：C．10．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，兩個動點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（單位：s），下列結(jié)論：①當(dāng)t＝4s時，四邊形ABMP為矩形；②當(dāng)t＝5s時，四邊形CDPM為平行四邊形；③當(dāng)CD＝PM時，t＝4或5s；④當(dāng)CD＝PM時，t＝4或6s．其中結(jié)論正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：根據(jù)題意，可得DP＝tcm，BM＝tcm，∵AD＝10cm，BC＝8cm，∴AP＝（10﹣t）cm，CM＝（8﹣t）cm，當(dāng)四邊形ABMP為矩形時，AP＝BM，即10﹣t＝t，解得t＝5，故①不正確；當(dāng)四邊形CDPM為平行四邊形時，則DP＝CM，即8﹣t＝t，解得t＝4，故②不正確；當(dāng)CD＝PM時，分兩種情況：當(dāng)四邊形CDPM是平行四邊形時，則DP＝CM，即8﹣t＝t，解得t＝4，當(dāng)四邊形CDPM是等腰梯形時，過點(diǎn)M作MG⊥AD于點(diǎn)G，過點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，如圖所示，則∠MGP＝∠CHD＝90°，∵CD＝PM，GM＝HC，∴Rt△MGP≌Rt△CHD（HL），∴GP＝HD，∴，又BM＝t，∠A＝∠B＝90°，MG⊥AD，∴AG＝BM，即，解得t＝6，綜上可得，當(dāng)CD＝PM時，t＝6或t＝4，故③錯誤，④正確，∴正確的結(jié)論有1個．故選：A．11．如圖，公路AC與BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開．若測得AC的長為6km，BC的長為8km，則C，M兩點(diǎn)間的距離為km．【解答】解：∵公路AC與BC互相垂直，AC的長為6km，BC的長為8km，∴AB＝＝＝10（km），∵點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，∴CM＝AB＝5（km）．故答案為：5．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不與A和D重合的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F．求PE+PF＝．【解答】解：連接OP，如圖所示：∵矩形ABCD的兩邊AB＝3，BC＝4，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝，故答案為：．13．如圖，P是Rt△ABC的斜邊AC（不與點(diǎn)A、C重合）上一動點(diǎn)，分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，O是MN的中點(diǎn)，若AB＝5，BC＝12，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動時，BO的最小值是．【解答】解：連接BP，如圖所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，∴∠ABC＝∠PMB＝∠PNB＝90°，∴四邊形BMPN是矩形，AC＝＝＝13，∴BP＝MN，BP與MN互相平分，∵點(diǎn)O是MN的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O是BP的中點(diǎn)，∴BO＝BP＝MN，當(dāng)BP⊥AC時，BP最小＝＝＝，∴MN＝，∴BO的最小值＝MN＝，故答案為：．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD＝6，則CP的長為3．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝90°﹣60°＝30°，∴DE＝AD＝×6＝3，又∵BD平分∠ABC，∴CD＝DE＝3，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠CBD＝30°，∴BD＝2CD＝2×3＝6，∵P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，∴CP＝BD＝×6＝3．故答案為：3．15．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)E、F，連接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，則圖中陰影面積為18．【解答】解：過點(diǎn)P作GH分別交AD、BC于點(diǎn)G、H，由矩形性質(zhì)可知，S△ADC＝S△ABC，S△PFC＝S△PHC，S△AGP＝S△AEP，∴S△ADC﹣S△PFC﹣S△AGP＝S△ABC﹣S△PHC﹣S△AEP，即S四邊形GPFD＝S四邊形EPHB，∴S四邊形GPFD＝S四邊形EPHB，即S△DPF＝S△PEB．∵GP＝AE＝2，PF＝9，∴S△DPF＝＝9＝S△PEB．即圖中陰影面積為S△DPF+S△PEB＝9+9＝18．故答案為：18．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AD上，AE＝CF，連接BE．求證：四邊形BFDE是矩形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF，∴ED＝BF，∴四邊形BFDE是平行四邊形，又∵DF⊥BC，∴∠DFB＝90°，∴平行四邊形BFDE是矩形．17．課本在線想一想我們知道，矩形的四個角都是直角．反過來，一個四邊形至少有幾個角是直角時，這個四邊形就是矩形呢？請證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理：有三個角是直角的四邊形是矩形．定理證明為了證明該定理，小麗同學(xué)畫出了圖形（如圖），寫出了“已知”，請你補(bǔ)出“求證”的內(nèi)容，并根據(jù)她的思路補(bǔ)全證明過程．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．求證：四邊形ABCD是矩形．證明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．又∵∠B＝∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°．∴AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）．又∵∠B＝90°，∴?ABCD是矩形（有一個角為直角的平行四邊形是矩形）．【解答】解：求證：四邊形ABCD是矩形．證明：∵∠A＝∠B＝90°，∴∠A+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．又∵∠