2024年重慶市高二數(shù)學(xué)3月份檢測聯(lián)考試卷附答案解析

2024年重慶市高二數(shù)學(xué)3月份檢測聯(lián)考試卷全卷滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．2024.03注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若數(shù)列滿足，則（

）A．1 B． C． D．2．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（

）A． B．C． D．3．如圖，在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．若函數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．下列三圖中的多邊形均為正多邊形，分別為正三角形、正四邊形、正六邊形，、是多邊形的頂點(diǎn)，橢圓過且均以圖中的為焦點(diǎn)，設(shè)圖①、②、③中橢圓的離心率分別為，則（

）A． B． C． D．7．已知，，，則有（

）A． B． C． D．8．若恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C．1 D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)一個(gè)得2分．）9．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在處有最小值 B．是的一個(gè)極值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞增 D．當(dāng)時(shí)，方程有兩異根11．如圖，是一塊半徑為的圓形紙板，在的左下端剪去一個(gè)半徑為的半圓后得到圖形，然后依次剪去一個(gè)更小半圓其直徑為前一個(gè)剪掉半圓的半徑得圖形，，，，，記紙板的周長為，面積為，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程為.13．已知函數(shù)f（x）＝在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值區(qū)間是14．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交雙曲線的右支于，兩點(diǎn)，且，，則雙曲線的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為（其中，a，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)求a，b的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.17．如圖，在斜三棱柱中，所有棱長均相等，O，D分別是AB，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，且，求平面與平面所成角的余弦值．18．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，離心率是，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)P在橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，的面積是.(1)求橢圓的方程；(2)若動(dòng)直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，且恒有，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心的定圓C，使得動(dòng)直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.19．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：．1．D【分析】根據(jù)題中遞推公式令，，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，令，可得，則；令，可得，則.故選：D.2．B【分析】由已知函數(shù)的圖象，先判斷它的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)圖象斜率的變化，從而求解．【詳解】觀察函數(shù)的圖象知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，隨著逐漸增大，函數(shù)圖象由陡逐漸變緩，，，，而（即點(diǎn)B）處切線的傾斜角比（即點(diǎn)A）處的傾斜角小，且均為銳角，，又是割線AB的斜率，顯然，所以.故選：B3．B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角求解.【詳解】以為原點(diǎn)，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長為2，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B4．C【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出f′（x），令x＝1可得f′（1）＝2f′（1）+2，計(jì)算可得f′（1），得到f′（x）、f（x）的解析式，代入x=-1,即可得答案．【詳解】f′（x）＝2f′（1）+2x，令x＝1得f′（1）＝2f′（1）+2，∴f′（1）＝﹣2，∴f′（x）＝2x-4，∴f′（-1）＝-6,又，∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)值，先求出導(dǎo)函數(shù)，給導(dǎo)函數(shù)中的x賦值是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】求導(dǎo)，利用二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可由判別式求解.【詳解】∵，∴，∵函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，∴導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)不相等的變號(hào)零點(diǎn)，∴，即，解得或．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B．6．B【分析】由已知圖形把的坐標(biāo)用含有的代數(shù)式表示，把的坐標(biāo)代入橢圓方程，結(jié)合橢圓的定義與性質(zhì)分別求出離心率后比較大小可得結(jié)論.【詳解】由圖①知，，由圖②知，點(diǎn)在橢圓上，，則，整理得，解得，由圖③知，在橢圓上，，則，整理得，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、離心率及簡單性質(zhì)，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．7．C【分析】函數(shù)，則，確定函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性可確定大小.【詳解】把a(bǔ)，b，c變形得，，，所以構(gòu)造函數(shù)，則.，令，則在上恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：C.8．D【分析】先確定時(shí)的情況，在當(dāng)時(shí)，參變分離可得，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，即，令，則，因?yàn)闀r(shí)，（后證）所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.證明當(dāng)時(shí)，，令，，則，則在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：D.9．BC【分析】根據(jù)求導(dǎo)法則以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，故B正確，對(duì)于C，，故C正確，對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：BC10．AC【分析】根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得函數(shù)的極值點(diǎn)與函數(shù)取值情況，逐項(xiàng)判斷即可得答案.【詳解】，，所以，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處有最小值，且是的極小值點(diǎn)，故A，C正確，B不正確；由于，且，故當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)根，故D不正確.故選：AC.11．ABD【分析】利用列舉前幾項(xiàng)的方法，判斷AB；根據(jù)列舉的規(guī)律，寫出，再求和，判斷C；利用與的關(guān)系，即可判斷D.【詳解】根據(jù)圖形生成的規(guī)律可知，，，，故A正確；，，，故B正確；根據(jù)題意可知，圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為，所以當(dāng)故C錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知，圖形中被剪去的最小的半圓的半徑為，，故D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過列舉的方法，發(fā)現(xiàn)圖形間的規(guī)律，轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算.12．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程.【詳解】切點(diǎn)為，，故切線方程為，即.故答案為：13．【分析】轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立即可.【詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)，在上恒成立，，即，解得，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.14．##【分析】設(shè)，則，，根據(jù)雙曲線的定義得到，即可得到，在中利用余弦定理求出，在中利用余弦定理求出、的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】依題意設(shè)，則，，又，則，所以，在中由余弦定理可得，在中由余弦定理可得，即，所以，所以.故答案為：15．(1)，(2)最大值為，最小值為0【分析】（1）根據(jù)切線斜率和切點(diǎn)在切線上列式計(jì)算即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后比較端點(diǎn)值和極值即可求解最值.【詳解】（1）由得，依題可得：，所以.又，所以，所以，.（2）由（1）知，則，令，解得或2，令，解得，令，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，，，，故在區(qū)間上的最大值為，最小值為.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中已知條件，得出時(shí)，此兩式作差整理即可得到所滿足的關(guān)系，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式得到所求；（2）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)可知利用錯(cuò)位相消法進(jìn)行求和，從而可求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）∵，當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，①，②①-②得即，∵，∴，∴，∴是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，∴；（2）由上可知：，所以，，∴，∴.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)E，連接OE，，可得四邊形為平行四邊形，則有，利用線面平行的判定定理可證得平面；（2）可證得平面ABC，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成二面角的余弦值.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)E，連接OE，，∵O，E分別是AB，的中點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）連接OC，∵，∴為正三角形，∴，∵，且，∴平面ABC，∵△ABC是正三角形，∴CO⊥AB．以O(shè)為原點(diǎn)，OA，，OC所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，由，可得．則，，，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面的法向量為，∴，即，令，∴，設(shè)平面與平面所成的角為，則，即平面與平面所成角的余弦值為．18．(1)(2)存在，【分析】(1)根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，取得最大值，再根據(jù)三角形的面積即可求得；(2)對(duì)直線的斜率分存在和不存在分類討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，利用數(shù)量積和韋達(dá)定理即可求得；【詳解】（1）依題意可得，設(shè)，由余弦定理可知：，所以，當(dāng)P在橢圓上頂點(diǎn)時(shí)的面積是，同時(shí)，聯(lián)立和解得，，，所以橢圓方程為.（2）（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，所以，，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，原點(diǎn)O到直線1的距離為d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圓C的方程是所以當(dāng)時(shí)，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是.19．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，，討論與時(shí)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，來確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間．（2）有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，且，構(gòu)造,，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明即可．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上