微積分（第三版）課件：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)

線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分無窮級(jí)數(shù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其性質(zhì)無窮級(jí)數(shù)

導(dǎo)言：無窮級(jí)數(shù)是研究無限個(gè)離散量之和的數(shù)學(xué)模型.它是表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的有力工具.

本章主要介紹數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、性質(zhì)與斂散性判別法；冪級(jí)數(shù)的收斂性及將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù).數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念及性質(zhì)

求和運(yùn)算是數(shù)學(xué)的最基本運(yùn)算，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)隨時(shí)都可以遇到，這些求和主要是有限項(xiàng)之和.如：數(shù)值相加、函數(shù)相加、數(shù)列求和等.如：等比數(shù)列求和

實(shí)際問題中,除了要遇到有限項(xiàng)求和外,經(jīng)常還要遇到從有限個(gè)數(shù)量相加到無窮個(gè)數(shù)量相加的問題.

圓的面積問題:半徑為的圓的面積為.在圓內(nèi)作圓的內(nèi)接正六邊形其面積為；以正六邊形邊為底頂點(diǎn)在圓周上作三角形其面積和為；以此類推有則有這里就出現(xiàn)了無窮個(gè)數(shù)量相加問題.設(shè)數(shù)列將數(shù)列的所有項(xiàng)按照給定的次序相加，得到表達(dá)式用表示上式的前n項(xiàng)和，即這樣就得到一個(gè)數(shù)列

由數(shù)列極限概念，可知數(shù)列在時(shí)的極限，可以看成（1）式的和.由等比數(shù)列求和公式得于是所以

此例說明為了解決無窮項(xiàng)相加問題，按照有限與無限之間的辨證轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以通過數(shù)列極限給出其和的概念，即數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念.一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

定義1

若數(shù)列u1,u2,···,un,···，按其給定次序用加號(hào)將其連接起來所得和式簡記為.稱其為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),稱其第n項(xiàng)un為通項(xiàng)或一般項(xiàng).級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和.數(shù)列稱為部分和數(shù)列.若存在,則稱級(jí)數(shù)收斂,并稱此極限值S為級(jí)數(shù)的和,記為.若不存在,則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.

定義2

設(shè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和數(shù)列為若收斂，則稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).例判定級(jí)數(shù)的收斂性.解所給級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和可知故所給級(jí)數(shù)收斂，且和為1.例判定級(jí)數(shù)的收斂性.解由得可知由級(jí)數(shù)的斂散定義知，級(jí)數(shù)發(fā)散.

例判定等比級(jí)數(shù)的斂散性.

解若時(shí),當(dāng)|r|<1時(shí),因,所以,即級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)|r|>1時(shí),因,所以即級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),因所以即級(jí)數(shù)發(fā)散.當(dāng)時(shí),因不存在,級(jí)數(shù)發(fā)散.綜上,當(dāng)|r|<1時(shí),當(dāng)|r|≥1時(shí)發(fā)散.

例(芝諾悖論)烏龜與阿基里斯賽跑問題:芝諾(古希臘哲學(xué)家)認(rèn)為如果先讓烏龜爬行一段路程后,再讓阿基里斯(古希臘神話中的賽跑英雄)去追它,那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜.

芝諾的理論根據(jù)是：阿基里斯在追上烏龜前,必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),這時(shí)烏龜已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必須趕上這段路程,可是烏龜此時(shí)又向前爬行了一段路程如此下去,雖然阿基里斯離烏龜越來越接近,但卻永遠(yuǎn)追不上烏龜.

該結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但從邏輯上講這種推論卻沒有任何矛盾這就是著名的芝諾悖論.在此,我們用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行分析反駁.

設(shè)烏龜與阿基里斯起跑時(shí)的間距為,烏龜?shù)乃俣葹?阿基里斯的速度是烏龜?shù)?00倍,則由烏龜爬行到的時(shí)間與阿基里斯到達(dá)的時(shí)間相等有以此類推所以,阿基里斯在追趕烏龜時(shí)所跑的路程為即由計(jì)算可知當(dāng)阿基里斯追到離起點(diǎn)處時(shí)已經(jīng)追趕上了烏龜.二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

性質(zhì)1

若級(jí)數(shù)收斂,其和為S,則對任意常數(shù)

，則級(jí)數(shù)也收斂,且其和為kS.證設(shè)級(jí)數(shù)與的部分和分別為與由于，于是極限與同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散，從而級(jí)數(shù)與的斂散性相同.且

性質(zhì)2

若收斂,其和為S；收斂,其和為T

則必收斂,其和為.證設(shè)，，的部分和為，與因?yàn)?，，所以于是所以，?jí)數(shù)收斂于

性質(zhì)3

在級(jí)數(shù)中去掉或添加有限項(xiàng),所得新級(jí)數(shù)與原來級(jí)數(shù)的收斂性相同.

性質(zhì)4

收斂級(jí)數(shù)添括號(hào)后所得級(jí)數(shù)仍收斂且和不變例

判定的收斂性.解

因?yàn)榈缺燃?jí)數(shù)與均收斂所以由級(jí)數(shù)收斂性質(zhì)知收斂.(1)若收斂，發(fā)散,則必定發(fā)散.(2)若發(fā)散，也發(fā)散,則不一定發(fā)散.(4)若發(fā)散,則添括號(hào)的新級(jí)數(shù)不一定發(fā)散.思考與練習(xí)：以下命題請給出證明或反例.(3)若級(jí)數(shù)發(fā)散,則級(jí)數(shù)(k≠0)必定發(fā)散.

定理(收斂必要條件)

若收斂,則必有又由極限的運(yùn)算法則可知證由于收斂，因此.注意：這個(gè)定理的逆命題不正確,即級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的極限為零，并不一定能保證收斂.推論若或不存在,則必定發(fā)散.例證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.

證明一構(gòu)造幾何圖形，由圖可知級(jí)數(shù)的部分和等于圖形中矩形面積之和此部分和大于曲邊梯形的面積即因所以故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.1234nn+1

證明二假設(shè)級(jí)數(shù)收斂其和為S,即