電路方程的矩陣形式

關(guān)于電路方程的矩陣形式本章學(xué)時(shí)安排（12學(xué)時(shí)）序號教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)115-1割集15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣15-3A、Bf、、Qf之間的關(guān)系2215-4回路電流方程的矩陣形式2315-5結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式2415-6割集電壓方程的矩陣形式2515-7列表法15-8狀態(tài)方程26習(xí)題課（3）電路方程的矩陣形式2第十五章電路方程的矩陣形式第2頁,共51頁，2024年2月25日，星期天目的：在圖論基礎(chǔ)上，掌握電路分析中幾個(gè)重要的矩陣重點(diǎn)：關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣難點(diǎn)：割集的理解作業(yè)：P362：15-1、15-3、15-4

11第十五章電路方程的矩陣形式（1）第3頁,共51頁，2024年2月25日，星期天網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋓1i2i3i1i2i3i1i2i3抽象

i=0連接性質(zhì)抽象電路圖抽象圖支路+-1、網(wǎng)絡(luò)的圖15.1割集第4頁,共51頁，2024年2月25日，星期天一.圖的基本概念有向圖無向圖連通圖圖不連通圖15.1割集第5頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.子圖

路徑：從圖G的一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著一些支路連續(xù)移動到達(dá)另一節(jié)點(diǎn)所經(jīng)過的支路構(gòu)成路徑。3.連通圖圖G的任意兩節(jié)點(diǎn)間至少有一條路徑時(shí)稱G為連通圖。4.有向圖圖中的方向表示原電路中支路電壓和電流關(guān)聯(lián)參考方向。二.名詞和定義G={支路，節(jié)點(diǎn)}1.圖15.1割集第6頁,共51頁，2024年2月25日，星期天三.回路、樹、割集1.回路(1)連通；(2)每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)支路數(shù)恰好為2。12345678253127589回路不是回路回路L是連通圖G的一個(gè)子圖。具有下述性質(zhì)15.1割集第7頁,共51頁，2024年2月25日，星期天樹不唯一樹支：屬于樹的支路連支：屬于G而不屬于T的支路2.樹(Tree)樹T是連通圖G的一個(gè)子圖，具有下述性質(zhì)：(1)連通；(2)包含G的所有節(jié)點(diǎn)；(3)不包含回路。16個(gè)15.1割集第8頁,共51頁，2024年2月25日，星期天樹支數(shù)bt=n-1連支數(shù)bl=b-(n-1)單連支回路（基本回路）1234567145樹支數(shù)4連支數(shù)3單連支回路獨(dú)立回路單連支回路獨(dú)立回路15.1割集第9頁,共51頁，2024年2月25日，星期天三.割集(1)把Q中全部支路移去，將圖分成兩個(gè)分離部分；(2)保留Q中的一條支路，其于都移去，G還是連通的。①4321②④③56①1②3④③4256Q1:{2,5,4,6}割集Q是連通圖G中一個(gè)支路的集合，具有下述性質(zhì)：15.1割集第10頁,共51頁，2024年2月25日，星期天①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q4:{1,5,2}Q3:{1,5,4}Q2:{2,3,6}單樹支割集（基本割集）①4321②④③56①4321②④③56①4321②④③56Q3:{1,5,3,6}Q2:{3,5,4}Q1:{2,3,6}15.1割集第11頁,共51頁，2024年2月25日，星期天單樹支割集獨(dú)立割集單樹支割集獨(dú)立割集1234{1，2，3，4}割集三個(gè)分離部分1234{1，2，3，4}割集4保留4支路，圖不連通的。15.1割集第12頁,共51頁，2024年2月25日，星期天①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}基本回路和基本割集關(guān)系對同一個(gè)樹1.由某個(gè)樹支bt確定的基本割集應(yīng)包含那些連支，每個(gè)這種連支構(gòu)成的單連支回路中包含該樹支bt。15.1割集第13頁,共51頁，2024年2月25日，星期天2.由某個(gè)連支bl確定的單連支回路應(yīng)包含那些樹支，每個(gè)這種樹支所構(gòu)成的基本割集中含有bl。①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}①4321②④③56基本回路基本割集{1，2，3，4}{1，4，5}{1，2，6}{3，4，5}{2，3，6}{1，5，3，6}15.1割集第14頁,共51頁，2024年2月25日，星期天15-2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣一.關(guān)聯(lián)矩陣A用矩陣形式描述節(jié)點(diǎn)和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)aijaij=1有向支路j

背離

i節(jié)點(diǎn)aij=-1有向支路j指向

i節(jié)點(diǎn)aij

=0i節(jié)點(diǎn)與j

支路無關(guān)關(guān)聯(lián)矩陣Aa={aij}n

b節(jié)點(diǎn)數(shù)支路數(shù)第15頁,共51頁，2024年2月25日，星期天645321①②④③Aa=1234

123456

支節(jié)

100-101-1-10010

01100-1

00-11-10Aa=1234

123456

支節(jié)

1-100

0-110

001-1-1001

010-1

10-10設(shè)④為參考節(jié)點(diǎn)-1-10010A=123

123456

支節(jié)

100-101

01100-1稱A為降階關(guān)聯(lián)矩陣(n-1)

b

，表征獨(dú)立節(jié)點(diǎn)與支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第16頁,共51頁，2024年2月25日，星期天設(shè):645321①②④③-1-10010A=123

123456

支節(jié)

100-101

01100-1支路電壓支路電流節(jié)點(diǎn)電壓15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第17頁,共51頁，2024年2月25日，星期天矩陣形式的KCLAi=-1-10010

100-101

01100-1654321iiiiii645321①②④③Ai=015.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第18頁,共51頁，2024年2月25日，星期天矩陣形式KVL645321①②④③15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第19頁,共51頁，2024年2月25日，星期天二.基本回路矩陣B2.支路排列順序?yàn)橄冗B(樹)支后樹(連)支。1支路j與回路i關(guān)聯(lián)，方向一致-1支路j

與回路i關(guān)聯(lián)，方向相反0支路j

不在回路i中bij=1２３６５４約定：

1.回路電流的參考方向取連支電流方向。用矩陣形式描述基本回路和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)B={bij}l

b基本回路數(shù)支路數(shù)15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第20頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1２３６５４選4、5、6為樹，連支順序?yàn)?、2、3。123B=456123支回1-101001-11010=[Bt

1]設(shè)矩陣形式的KVL01-1001BtBlBu=015.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第21頁,共51頁，2024年2月25日，星期天Bu=0

可寫成Btut+ul=0ul=-Btut用樹支電壓表示連支電壓連支電壓樹支電壓矩陣形式的KVL的另一種形式15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第22頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1２３６５４B=[Bt1]用連支電流表示樹支電流BT

il=i矩陣形式的KCLKCL的另一種形式15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第23頁,共51頁，2024年2月25日，星期天三.基本割集矩陣Q約定

(1)割集方向與樹支方向相同。

(2)支路排列順序先樹(連)支,后連(樹)支。qij=1j支路與割集i方向一致-1j支路與割集i方向相反0j

支路不在割集i中1２３６５４用矩陣形式描述基本割集和支路的關(guān)聯(lián)性質(zhì)Q

={qij}n-1

b基本割集數(shù)支路數(shù)15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第24頁,共51頁，2024年2月25日，星期天Q=456123支割集C1C2C3100-1-10

01011-1C1:{1,2,4}C2:{1,2,3,5}C3:{2,3,6}設(shè)ut=[u4u5u6]T矩陣形式的KCL：1２３６５４

0010-11QlQtQi=015.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第25頁,共51頁，2024年2月25日，星期天回路矩陣表示時(shí)用連支電流表示樹支電流矩陣形式的KCL的另一種形式Qi=0可寫成回路矩陣和割集矩陣的關(guān)系15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第26頁,共51頁，2024年2月25日，星期天1２３６５４矩陣形式的KVL用樹支電壓表示連支電壓QTut=uKVL的另一種形式15.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第27頁,共51頁，2024年2月25日，星期天QQi=0QTut=u小結(jié)：ul=-BtutABAi=0BTil=iKCLKVLATun=uBu=015.2關(guān)聯(lián)矩陣、回路矩陣、割集矩陣第28頁,共51頁，2024年2月25日，星期天15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式電路分析依據(jù)：KCLAi=0KVLu=ATun元件特性方程規(guī)定每個(gè)支路必須有一個(gè)阻抗k支路抽象為：k設(shè)標(biāo)準(zhǔn)支路為：

第29頁,共51頁，2024年2月25日，星期天k支路電壓、電流關(guān)系：設(shè)Z=diag[Z1Z2

Zb]Y=diag[Y1Y2

Yb]Z=Y-1

15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第30頁,共51頁，2024年2月25日，星期天支路電壓的矩陣方程

15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第31頁,共51頁，2024年2月25日，星期天由KCL

Ai=0由KVL

u=ATun節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納陣得節(jié)點(diǎn)電壓方程由此求得支路電壓和電流15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第32頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④1.畫有向圖2.3.

15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第33頁,共51頁，2024年2月25日，星期天5V0.5W2W1W0.5W5W1W3A1A1①23456②③④4.5.6.得

15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第34頁,共51頁，2024年2月25日，星期天

12345例215-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第35頁,共51頁，2024年2月25日，星期天[Y]=[Z]-1其中15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第36頁,共51頁，2024年2月25日，星期天具有VCCS的節(jié)點(diǎn)分析+

考慮b條支路15-3結(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣形式第37頁,共51頁，2024年2月25日，星期天kjgkj第38頁,共51頁，2024年2月25日，星期天例iS5guauaG5C3G4+

-**ML2L152431

0

第39頁,共51頁，2024年2月25日，星期天iS5guauaG5C3G4+

-**ML2L152431

0

其中-g節(jié)點(diǎn)方程第40頁,共51頁，2024年2月25日，星期天15-4狀態(tài)方程一、狀態(tài)和狀態(tài)變量Y(t)(t

t0)可以確定狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)方程和輸出方程。狀態(tài)：電路在任何時(shí)刻所必需的最少信息，它們和自該時(shí)刻以后的輸入(激勵(lì))足以確定該電路的性狀。狀態(tài)變量：描述電路的一組最少數(shù)目獨(dú)立變量，如果某一時(shí)刻這組變量已知，且自此時(shí)刻以后電路的輸入亦已知，則可以確定此時(shí)刻以后任何時(shí)刻電路的響應(yīng)。X(t0)e(t)t

t0

已知第41頁,共51頁，2024年2月25日，星期天解例.輸出:

uL,iC,uR,iR

選狀態(tài)量uC，

iLuL(0)=7ViC(0)=

1.5AiR(0)=1.5AuR(0)=3V由推廣至任一時(shí)刻t1：uL(t1)iC(t1)iR(t1)uR(t1)可由第42頁,共51頁，2024年2月25日，星期天可見當(dāng)t=t1時(shí)uC，

iL

和t

t1后的輸入uS(t)為已知，就可以確定t1及t1以后任何時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)。問題是t1時(shí)刻的狀態(tài)量要求出來。二、狀態(tài)方程：用狀態(tài)變量和激勵(lì)所描述的電路的一階微分方程組。選uC,iL

為狀態(tài)變量列微分方程第43頁,共51頁，2024年2月25日，星期天整理得特點(diǎn)：(1)聯(lián)立一階微分方程組；(2)左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)；(3)右端僅含狀態(tài)變量和輸入量；狀態(tài)方程矩陣形式一般形式[X]=[x1

x2

xn]T式中\(zhòng)n

n\n

r第44頁,共51頁，2024年2月25日，星