14.1.4整式的乘法（三）（解析版）

整式的乘法（三）知識(shí)點(diǎn)管理知識(shí)點(diǎn)管理歸類探究夯實(shí)雙基，穩(wěn)中求進(jìn)歸類探究知識(shí)點(diǎn)一：同底數(shù)冪相除同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減在應(yīng)用時(shí)需要注意以下幾點(diǎn):①法則使用的前提條件是“同底數(shù)冪相除”而且0不能做除數(shù),所以法則中a≠0.②任何不等于0的數(shù)的0次冪等于1,即,如,(-2.50=1),則00無(wú)意義.逆運(yùn)算：題型一：同底數(shù)冪相除【例題1】（2022·山東青島·期中）______．【答案】a3【分析】利用同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減，從而可得答案．【詳解】解：a6÷a3=a6-3=a3，故答案為：a3．【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，掌握同底數(shù)冪的除法運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式1-1】（2022·江蘇常州·七年級(jí)期中）計(jì)算：_________．【答案】3m【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：3m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022·江蘇徐州·七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：a7÷a3＝________．【答案】a4【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，可得答案．【詳解】解：原式＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的除法，解決本題的關(guān)鍵熟練應(yīng)用計(jì)算法則．【變式1-3】（2022·陜西·交大附中分校七年級(jí)期末）已知，則________．【答案】8【分析】先求出，然后逆用冪的乘方法則對(duì)所求式子變形，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計(jì)算．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，涉及冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪的除法，有理數(shù)的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2021·常熟市第一中學(xué)七年級(jí)月考）如果那么________．【答案】8【分析】所求式子利用同底數(shù)冪的除法法則和冪的乘方計(jì)算，將已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪的除法和冪的乘方運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2021·曹縣教學(xué)研究室七年級(jí)期末）計(jì)算的結(jié)果是_______________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法和同底數(shù)冪除法直接計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法和同底數(shù)冪除法，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】（2021·浙江紹興市·七年級(jí)期末）若，則104x÷103y=___．【答案】1000【分析】首先將變形為，再運(yùn)用同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】∵，∴，∴104x÷103y=104x-3y=103=1000．故答案為：1000．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減．掌握同底數(shù)冪除法法則是解題的關(guān)鍵．題型二：同底數(shù)冪除法逆運(yùn)算【例題2】（2022·江西撫州·七年級(jí)期中）已知，，則______．【答案】4【分析】先根據(jù)同底數(shù)冪除法的逆用可得，再根據(jù)冪的乘方的逆用即可得．【詳解】解：，，，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪除法的逆用、冪的乘方的逆用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式2-1】（2022·安徽宣城·七年級(jí)期中）若，，則______．【答案】【分析】逆用同底數(shù)冪的除法法則將變形為，再逆用冪的乘方法則變形為，然后代入已知計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴==52÷4=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式值，同底數(shù)冪的除法法則的逆用，冪的乘方法則的逆用，熟練掌握同底數(shù)冪的除法法則和冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022·山西運(yùn)城·七年級(jí)期中）已知，，則______．【答案】####1.8【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則及冪的乘方的法則對(duì)式子進(jìn)行變形整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】解：當(dāng)，時(shí)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的逆用，即，，解答的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用同底數(shù)冪的除法和冪的乘方的逆用運(yùn)算．【變式2-3】（2021·遼寧大連·七年級(jí)期中）已知，那么____________．【答案】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、除法運(yùn)算法則可得關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵∴，∴解得：故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除的應(yīng)用，涉及到解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法則列出關(guān)于n的一元一次方程．知識(shí)點(diǎn)二：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除法單項(xiàng)式:單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式.題型三：?jiǎn)雾?xiàng)式除以單項(xiàng)式【例題3】（2021·佛山市華英學(xué)校七年級(jí)期中）計(jì)算______．【答案】-a【分析】先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：原是=，故答案是：-a．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，掌握冪的乘方，再算同底數(shù)冪的除法法則，是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式3-1】（2021·四川）運(yùn)算的結(jié)果是_______________________．【答案】【分析】先利用積的乘方，再同底數(shù)冪的除法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方、同底數(shù)冪的除法，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)的運(yùn)算法則．【變式3-2】（2020·福建八年級(jí)期中）計(jì)算：【答案】．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則，單項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則化簡(jiǎn)即可；【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2020·福建八年級(jí)期中）計(jì)算：；【分析】單項(xiàng)式除單項(xiàng)式的法則化簡(jiǎn)即可；【詳解】原式；知識(shí)點(diǎn)三：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式根據(jù)除法是乘法的逆運(yùn)算可知，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則的實(shí)質(zhì)是把多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的除法運(yùn)算。即：，故多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則也可以看做是乘法對(duì)加法的分配律的應(yīng)用。題型四：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式【例題4】（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）計(jì)算（a2＋ab）÷a的結(jié)果是（

）A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)2＋b C．a(chǎn)＋ab D．a(chǎn)3＋a2b【答案】A【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（a2＋ab）÷a＝a＋b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式4-1】（2022·山東省濟(jì)南）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：原式故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，掌握整式除法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2022·山東棗莊·七年級(jí)期中）計(jì)算的結(jié)果是______．【答案】##【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則即可得．【詳解】解：原式，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期中）計(jì)算：___________．【答案】【分析】用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則法則即可．【詳解】解：＝＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握整式運(yùn)算的順序及相關(guān)運(yùn)算的法則．題型五：整式的除法實(shí)際應(yīng)用【例題5】（2022·浙江紹興·七年級(jí)期中）如果長(zhǎng)方形的面積為，寬為，則它的長(zhǎng)是_________．【答案】【分析】用面積除以寬，列式求解即可．【詳解】解：由題意，得(3a3-4a2+a)÷a=3a3÷a-4a2÷a+a÷a=3a2-4a+1，故答案為：3a2-4a+1．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的應(yīng)用，熟練掌握多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式5-1】（2022·四川資陽(yáng)·八年級(jí)期末）已知一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是，一邊長(zhǎng)為，則它的周長(zhǎng)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)長(zhǎng)方形的面積求得另一邊長(zhǎng)，再求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=2（長(zhǎng)+寬）．【詳解】解：長(zhǎng)方形的另一邊長(zhǎng)為：（3a2-3ab+6a）÷3a=a-b+2，所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)=2（3a+a-b+2）=8a-2b+4．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算，及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，涉及到長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)的求法，比較簡(jiǎn)單．【變式5-2】（2022·山東泰安·期中）如圖所示的瓶子中盛滿了水，如果將這個(gè)瓶子中的水全部倒入圖（2）所示的杯子中，那么一共需要_______個(gè)這樣的杯子？（單位：cm）【答案】【分析】首先算出圖（1）中瓶子的體積，然后再算出圖（2）中杯子的體積，即可得出結(jié)論．【詳解】解：圖（1）瓶子的上半部分的體積為；圖（1）瓶子的下半部分的體積為；∴圖（1）瓶子的體積為；圖（2）杯子的體積為；∴一共需要杯子為個(gè)故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的體積，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握?qǐng)A柱的體積公式．圓柱的體積公式．題型六：整式的乘法混合運(yùn)算【例題6】（2022·浙江寧波·七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)．(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先計(jì)算積的乘方和同底數(shù)冪的乘法，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）根據(jù)整式的混合計(jì)算法則求解即可（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合計(jì)算，積的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練【變式6-1】（2022·遼寧丹東·七年級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】；【分析】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)，然后把x，y的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：當(dāng)x＝2，y＝?1時(shí)，原式＝4×22＋（?1）?3＝16?1?3＝12．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算?化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2022·廣東佛山·七年級(jí)期末）計(jì)算：，其中x＝－3．【答案】x2+2x，3【分析】先算乘除，后算加減，然后把x的值代入化簡(jiǎn)后的式子進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（x+1）（x﹣2）+（9x2+6x）÷3x＝x2﹣x﹣2+3x+2＝x2+2x，當(dāng)x＝﹣3時(shí)，原式＝（﹣3）2+2×（﹣3）＝9+（﹣6）＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算中的化簡(jiǎn)求值，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022·四川樂(lè)山·八年級(jí)期末）計(jì)算：．【答案】【分析】原式第一項(xiàng)利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果．【詳解】解：原式＝﹣3x3+2x2﹣3x2+3x3＝﹣x2．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，涉及的知識(shí)有：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，去括號(hào)法則，以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．鏈接中考體驗(yàn)真題，中考奪冠鏈接中考【真題1】（2022·遼寧丹東·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A．a(chǎn)2?a3＝a6 B．（a2）3＝a5 C．（ab）3＝a3b3 D．a(chǎn)8÷a2＝a4【答案】C【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、同底數(shù)冪乘方運(yùn)算、積的乘方、冪的除法運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一計(jì)算即可．【詳解】解：a2?a3＝a5，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；（a2）3＝a6，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；（ab）3＝a3b3，C選項(xiàng)正確；a8÷a2＝a6，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的基本運(yùn)算，解題關(guān)鍵在于要注意指數(shù)在計(jì)算過(guò)程中是相加還是相乘．【真題2】（2022·山東煙臺(tái)·中考真題）下列計(jì)算正確的是（）A．2a+a＝3a2 B．a(chǎn)3?a2＝a6 C．a(chǎn)5﹣a3＝a2 D．a(chǎn)3÷a2＝a【答案】D【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法法則，進(jìn)行計(jì)算逐一即可解答．【詳解】解：A、2a+a＝3a，故A不符合題意；B、a3?a2＝a5，故B不符合題意；C、a5與a3不能合并，故C不符合題意；D、a3÷a2＝a，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【真題3】（2022·山東聊城·中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A選項(xiàng)根據(jù)積的乘方等于乘方的積即可判斷；B選項(xiàng)合并同類型：字母和字母的指數(shù)比不變，系數(shù)相加；C選項(xiàng)利用乘方的分配律；D選項(xiàng)先用冪的乘方化簡(jiǎn)，在運(yùn)用整式的除法法則．【詳解】解：A、原式，不合題意；B、原式，不合題意；C、原式，不合題意；D、原式=-1，符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方、冪的乘方、合并同類型、乘法分配律、整式的除法，掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，其中每一項(xiàng)的符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)．滿分沖刺能力提升，突破自我滿分沖刺【拓展1】下列運(yùn)算正確的是（）A． B．C． D．【答案】C試題分析：A．，故錯(cuò)誤；B．與布什同類項(xiàng)，不能進(jìn)行合并；C．，正確；D．，故錯(cuò)誤，故選C．考點(diǎn)：1．同底數(shù)冪的除法；2．合并同類項(xiàng)；3．冪的乘方與積的乘方；4．整式的除法．【拓展2】小明總結(jié)了以下結(jié)論：①a(b+c)＝ab+ac；②a(b﹣c)＝ab﹣ac；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)；其中一定成立的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)乘法分配律，除法分配律和去括號(hào)解題即可.【詳解】解：①a(b+c)＝ab+ac，正確；②a(b﹣c)＝ab﹣ac，正確；③(b﹣c)÷a＝b÷a﹣c÷a(a≠0)，正確；④a÷(b+c)＝a÷b+a÷c(a≠0)，錯(cuò)誤，無(wú)法分解計(jì)