2024屆福建省福州市高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案

2023~2024學(xué)年福州市高三年級(jí)2月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（完卷時(shí)間120分鐘；滿分150分）友情提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合Axx1,B，則AB（）,1,1D．1A．B．C．12．已知點(diǎn)A2,2在拋物線C:x22py上，則C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）1A．B．1C．2D．4）23．已知e,e是兩個(gè)不共線的向量，若2ee與ee是共線向量，則（121212A．2B．2C．2D．24．在△ABC中，ABACBC27，則△ABC的面積為（A．2B．23C．45．設(shè)函數(shù)fx3a2x在區(qū)間1,2上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（）D．43）,2,4C．D．A．B．6ABCDAD和（）231513A．B．C．D．22227．甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)分別有x%,y%,z%的人患了流感，且x,y,z構(gòu)成以1為公差的等差數(shù)列．已知這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5:3:2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，在此人患了流感的條件下，此人來自甲地區(qū)的概率最大，則x的可能取值為（A．1.21B．1.34）C．1.49D．1.518．已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)fx的定義域均為R，記gxfx．若gx2的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱，且g2xg2x1g12x，則下列結(jié)論一定成立的是（）B．gxgx2A．fxf2x20242024C．g(n)0D．f(n)0n1n13小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a2S535，則（）B．nSn的最小值為1aA．nan的最小值為1SnnnC．為遞增數(shù)列D．為遞減數(shù)列n210．在長(zhǎng)方體ABCD中，ABAAADE為的中點(diǎn)，則（）11111A．ABBCB．A∥平面EBC1111355C．點(diǎn)D到直線1B的距離為D．點(diǎn)D到平面C的距離為3n*11．通信工程中常用n元數(shù)組a,a,a,,a表示信息，其中ai0或1i,nN,1in．設(shè)123表示u和v中相對(duì)應(yīng)的元素（a對(duì)應(yīng)b，i,n）ua,a,a,,a,vb,b,b,,b,du,v123n123nii不同的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．若u0，則存在5個(gè)5元數(shù)組v，使得du,v11，則存在12個(gè)5元數(shù)組v，使得du,v3B．若uC．若n元數(shù)組w(0,0,,0)，則du,wdv,wdu,v個(gè)0D．若n元數(shù)組w,1,，則du,wdv,wdu,v1三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是2,1，則iz______．132且軸截面為正三角形的圓錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)高為3圓臺(tái)的側(cè)面積為______．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，整點(diǎn)P（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)）在第一象限，直線PA，PB與C:(x2)y4分別切于,B兩點(diǎn)，與y軸分別交于M,N兩點(diǎn)，則使得△PMN周長(zhǎng)為221的所22有點(diǎn)P的坐標(biāo)是______．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1513分）是fx的零點(diǎn)．已知函數(shù)fxsinx(04x8（1）求的值；8128（2）求函數(shù)yfxfx的值域．1615分）如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，平面SAD平面ABCD,E在SB上，且AEBC．（1）證明：SA平面ABCD；（2）若SAABF為的中點(diǎn)，且EF3，求平面AEF與平面夾角的余弦值．1715分）關(guān)聯(lián)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取90名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：外向型內(nèi)向型男性45女性201510（1）以上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果的頻率估計(jì)概率，從該校男生中隨機(jī)抽取2人、女生中隨機(jī)抽取1人擔(dān)任志愿者．設(shè)這三人中性格外向型的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望．（2）對(duì)表格中的數(shù)據(jù)，依據(jù)0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以得出獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是這兩種性格特征與人的性別沒有關(guān)聯(lián)．如果將表格中的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷這兩種性格特征與人的性別之間的關(guān)聯(lián)性，得到的結(jié)論是否一致？請(qǐng)說明理由．n(adbc)2附：參考公式：2．a(chǎn)bcdacbd0.10.050.012.7063.8416.6351817分）y2，動(dòng)直線l:xmy30與x軸交于點(diǎn)B，且與W交于C,D兩點(diǎn)，A3,0已知雙曲線W:x28t是BC,BD的等比中項(xiàng)，tR．（1）若C,D兩點(diǎn)位于y軸的同側(cè)，求t取最小值時(shí)△的周長(zhǎng)；（2）若t1，且C,D兩點(diǎn)位于y軸的異側(cè)，證明：△為等腰三角形．1917分）fxxlnxx1．2已知函數(shù)（1）討論fx的單調(diào)性；12（2）求證：fxex1；x2x（3）若pq0且pq1，求證：fpfq4．2023~2024學(xué)年福州市高三年級(jí)2月份質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題參考答案（完卷時(shí)間120分鐘；滿分150分）友情提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A．【解析】集合A包含所有小于1的實(shí)數(shù)，B包含1和1兩個(gè)元素，所以ABxx12B22，可得p1，故C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為1．【解析】將點(diǎn)A2,2代入x3D【解析】依題意，設(shè)2eetee，又e,e是兩個(gè)不共線的向量，所以tt，所以1212122．4BAB2AC2BC21【解析】由余弦定理得，A，所以A120，2ABAC212所以△ABCABACsinA23．5Dy3x在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)fx3a2x在區(qū)間1,2y2xa在區(qū)a2，解得a4．故選D．間1,2單調(diào)遞減，所以26Cx22y22b22b2【解析】不妨設(shè)橢圓方程為ab0)，當(dāng)xc時(shí)，y，所以AB2c,BC，abaa2b2因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以2c，即b2，所以a2c2ac，所以ee10，解得2a1551e，所以e，因?yàn)閑0,1．227D【解析】設(shè)事件D,D,D分別為“此人來自甲、乙、丙三個(gè)地區(qū)，事件F,F,F分別為“此人患了流感，123123且分別來自甲、乙、丙地區(qū)，事件G為“此人患了流感．5x3x32x410x7,PGPF2F13由題可知，PF,PF,PF，12310001000100010005x3x32x410x7所以PDG,PDG,PDG12310x75x3x10x73大，所以解得x，故選D．5x2x28C【解析】因?yàn)間x2的圖象關(guān)于點(diǎn)2,0對(duì)稱，所以gx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即函數(shù)gx為奇函數(shù)，則g00，又g2xg2x1g12x，所以g2xg2x1g2x1，所以gt1gtgt10，所以gtgt1gt20，所以gt1gt2，所以gtgt3，即gxgx3，202420242025[g(0)gg(2)]0，故C正確；所以3是gx的一個(gè)周期；因?yàn)間(n)g(n)3n1n0x，則gxfx取符合題意的函數(shù)fxsinx，333g0，故2不是gx的一個(gè)周期，所以所以g00，又g02sin333gxgx2，排除B；12因?yàn)閒1不是函數(shù)fx的最值，所以函數(shù)fx的圖象不關(guān)于直線x1對(duì)稱，320242024n10，所以排除D．所以fxf2x，排除A；因?yàn)閒(n)3n1n13小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9ABC51a5a335，所以a37，又a24，【解析】假設(shè)an的公差為d，由S52nn1所以da1，所以anS．1nn212313選項(xiàng)A：nannn23n，故n1時(shí)nan的最小值為1，A正確；31312922,單3n2，令fxx3x，所以fx2x2x，可知fx在區(qū)間9選項(xiàng)B：nSnn222調(diào)遞增，所以n1時(shí)nSn取得最小值1，B正確；Snn312Snn選項(xiàng)C：選項(xiàng)D：n，故為遞增數(shù)列，C正確；2an2311a2an2，因?yàn)?，所以不是遞減數(shù)列，D錯(cuò)誤．n2n2n22n10BC【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，易知D0,0,0，A0,1，B2,0，B2,1，11C2,0，E0．，ABBC0,2,10，所以A錯(cuò)誤；111選項(xiàng)A，AB1,BC11選項(xiàng)B，顯然A∥BC，可得A∥平面EBC，所以B正確；1111，又AD，5AB255選項(xiàng)C，記直線AB的單位方向向量為u，則u1,115AB121551所以向量AD在直線AB上的投影向量為AQADuu,，11135522則有D到直線1B的距離為DQADAQ，故C正確；11選項(xiàng)D，設(shè)平面EBC的法向量為mx,y,z，由BC1,0,,BE，111DCm233可求得m1，又DC2,0，所以點(diǎn)D到平面EBC的距離d，1m故D錯(cuò)誤．11ACD【解析】選項(xiàng)A：滿足條件的數(shù)組共有C155個(gè)，故A正確；選項(xiàng)B：滿足條件的數(shù)組共有C5310個(gè)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)Cu,v中對(duì)應(yīng)項(xiàng)同時(shí)為0的共有m0mn1的共有s0snmnms，而一項(xiàng)為1與另一項(xiàng)為0的共有nms個(gè)，這里nms，從而du,vdu,wdv,w2snmsdu,v2sdu,v，故C正確，同理D正確．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。1212i【解析】依題意可知z2i，所以izi2i12i．13【解析】由已知可得圓臺(tái)的上底面半徑r1，下底面半徑r2，母線長(zhǎng)l2，則該圓臺(tái)的側(cè)面積為．rrl1226141,4或2,3【解析】因?yàn)橹本€,PB分別與C:(x2)2y24相切于,B兩點(diǎn)，且直線,PB分別與y軸交于M,N兩點(diǎn)，所以PAPB,AMOM,BNON，所以△PMN的周長(zhǎng)為PMMNPNPMOMONPNPMAMBNPNPAPB2PA2PC2|PC|4221，所以PC5，設(shè)Px,y,xy00，所以x02AC222y0225，因?yàn)镻為整點(diǎn)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為20001,4或2,3．備注：只寫出一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)不得分．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。151）由已知可得fsin0，884解得,kZ，84即2k,kZ，又03，可得2．4（2）由fxsin2x，可得8128yfxfx22xsinxcos2xsinx1xsinx2124982sinx，其中1sinx1，19則當(dāng)sinx時(shí)取得最小值,sinx1時(shí)取得最大值2，48812898故函數(shù)yfxfx的值域?yàn)?2．16（1）因?yàn)锽CAB,BCAE,AEABA，所以BC平面SAB，又SA平面SAB，所以BCSA，又AD，所以SAAD，又平面SAD平面ABCD，平面SAD平面AD,SA平面，所以SA平面ABCD（2）由（1）得BC平面SAB，又平面SAB，所以BCSB，因?yàn)锽FEF3，所以BE2，因?yàn)镾A平面ABCD,AB平面ABCD，所以AB，1又SAAB2，所以SB22，所以BESB，21,AD,ABAAB,AD,AS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0,S0,0,2,B2,0,0,E0,1,F0．所以AE0,1,AF0，顯然平面的一個(gè)法向量n1,0,0，12nAE,nAF,設(shè)平面AEF的法向量為nx,y,z，則2221，即取x1，則n2nAF2xy2162，所以n,n1662設(shè)平面AEF與平面的夾角為，則coscosn,n6，1266所以平面AEF與平面夾角的余弦值為．6【解法二】（1）因?yàn)锽CAB,BCAE,AEABA，所以BC平面SAB，又SA平面SAB，所以BCSA，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫鍭BCD平面SADAD,ABAD，AB平面ABCD，所以AB平面，又SA平面，所以AB，又BCABB,BC平面ABCD,AB平面ABCD，所以SA平面ABCD．（2）由（1）知,AD,AB兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB,AD,AS所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則S0,0,2,B2,0,0,F0．設(shè)SE，則AEASSE0,0,22,0,22,0,22，SB01所以EFAFAE2,0,2202222，13由EF3，得(22)21(22)23，解得，或22所以E0,1，0，所以AE0,1,AF1顯然平面的一個(gè)法向量n1,0,0，2nAE,nAF,設(shè)平面AEF的法向量為nx,y,z，則22nAExz2取x1，則n1，2即nAF2xy2nn1612則n,n2，1nn6612設(shè)平面AEF與平面的夾角為，則coscosn,n6，1266所以平面AEF與平面夾角的余弦值為17．632（143323生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的概率是．4則X的所有可能取值為0，1，2，3．122113111216012則PX,PXC，444343483323213122123382123PXC,PX，443443481121313所以EX0123．4864886（2）零假設(shè)為H0：這兩種性格特征與人的性別無關(guān)聯(lián)．由所獲得的所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來10倍，可知900(450100150200)2901326.9232.7060.1600300650250依據(jù)0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷這兩種性格特征與人的性別有關(guān)聯(lián)，與原來的結(jié)論不一致，原因是每個(gè)數(shù)據(jù)擴(kuò)大為原來的10倍，相當(dāng)于樣本量變大為原來的10倍，導(dǎo)致推斷結(jié)論發(fā)生了變化．【解法二】32（143323生中隨機(jī)抽取一人為外向型男生的概率是，從該校女生中隨機(jī)抽取一人為外向型女生的概率是．4從該校男生中隨機(jī)抽取2人，抽到性格外向型的人數(shù)記為1；從該校女生中隨機(jī)抽取1人，抽到性格外向型3423的人數(shù)記為Y，則YB,YB，21233222,EY所以E121，24333223136所以EXE1Y2E1E2．（2）略，同解法一．18y2（1l:xmy30與x軸交于點(diǎn)B3,0W:x21的右焦點(diǎn)為3,0B8為W的右焦點(diǎn)．設(shè)BCp,BDq，因?yàn)镃,D兩點(diǎn)位于y軸的同側(cè)，所以pq，2因?yàn)閠是BC,BD的等比中項(xiàng)，所以tBCBD，pqpqpq2pq141所以t2，當(dāng)且僅當(dāng)pq時(shí)取等號(hào)，所以t，2221當(dāng)t時(shí)pq，所以AC2p2qAD，所以lx軸，2x由解得y8，8x2y2所以BCBD8，所以16，由雙曲線的定義得AC10，所以ACAD10101636，即△的周長(zhǎng)為36（2）設(shè)Cx,y,Dx,y，2112xmy32由8x得m21ymy640，2y2因?yàn)橹本€l與W交于C,D兩點(diǎn)，2m1m64所以且yy,yy，1212m1Δ256m12m2122，1211my1my1myy2由t1，可得BCBD|2，故222又C,D兩點(diǎn)位于y軸的異側(cè)，所以yy0，所以yy2，即5yyyy，yy2121212121264m2254所以5，解得m2，m1m1264564yy11所以yy，所以||2BCBD1m216，122949所以4，BCAC4BDAC不妨設(shè)點(diǎn)C在第二象限，根據(jù)雙曲線定義，得，即ADBDADBD解得ACAD，所以△是等腰三角形．【解法二】（1）設(shè)Cx,y,Dx,y2112xmy32由8x得m21ymy640，2y2因?yàn)橹本€l與W交于C,D兩點(diǎn)，21mm64所以且yy,yy，12121Δ256m12m21m264m2118由C,D兩點(diǎn)位于y軸的同側(cè)，可得yy0，解得m2，12又t是BC,BD的等比中項(xiàng)，故可得BCBDt22，2故1my1myt2221myy2，121264m111m22即t21y2，2m2644m121y24m21m21111m2149又0m2，故t28，84m212m11111可得0t2，即t且t0，所以t，4222x1當(dāng)t即m0時(shí)，所以lx軸，由解得y8，28x2y2所以BCBD8，所以16，又AB6，所以AC82610，2所以ACAD10101636，即△的周長(zhǎng)為36．64m2118（2）因?yàn)镃,D兩點(diǎn)位于y軸的異側(cè)，故yy0，所以m2，1221m1211m且由（1）知t21，4m214m1255解得m當(dāng)m或m，2251y453x,y,y時(shí)，設(shè)的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為2，EEE22145554531xEyE33，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為,，2233354535231x，又的垂直平分線的斜率為，所以的垂直平分線方程為y25352即yx，2535上，所以ACAD，即△為等腰三角形．又點(diǎn)A3,0在直線yx225當(dāng)m時(shí)，同理可證，△為等腰三角形．2綜上所述，△為等腰三角形．19（1）fx的定義域?yàn)?，fxlnx2x1，112x記txfx,tx2，xx11當(dāng)x時(shí)，txtx單調(diào)遞增；當(dāng)x,時(shí)，txtx單調(diào)遞減221所以t(x)tln20，即fx0，2上單調(diào)遞減．所以fx在區(qū)間fxx1，則gxxlnxxxxlnxx1，（2）先證fxx1，記gx21記mxlnxx1，則mx1，所以x0,1時(shí)，mxmx遞增；xx時(shí)，mxmx遞減．，所以mx0，又x0，所以gx0，故fxx1．所以m(x)m10121212再證ex1x1，即證exx0，記hxexx，x