安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)秋季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題

姓名座位號(hào)

（在此卷上答題無效）

絕密★啟用前

安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023年秋季聯(lián)賽（高三）

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷第1至第3頁，第n卷第4至

第6頁。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

考生注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、座位號(hào)，并認(rèn)真核對(duì)答題卡上

所粘貼的條形碼中姓名、座位號(hào)與本人姓名、座位號(hào)是否一致。

2.答第I卷時(shí)，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。

3.答第n卷時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫，要求字體工整、筆跡清

晰。作圖題可先用鉛筆在答題卡規(guī)定的位置繪出，確認(rèn)后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清

楚。必須在題號(hào)所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答

題無效。

4.考試結(jié)束，務(wù)必將試題卷和答題卡一并上交。

第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。）

1.若a（2+i）+Z?（l—2i）=4—3i,其中beR,i是虛數(shù)單位，則+歷|=

A.2B.A/5C.3D.5

2.已知集合4=卜]（》+1）（4—2,）>0卜集合3=?xcos['x]<0>,則AB=

A.（-1,2）B.（0,2）C.（1,2）D.（2,3）

3.為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲T8歲的男生體重（kg）,

得到頻率分布直方圖如下：

根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在［56.5,64.5）的學(xué)生人數(shù)是

A.20B.30C.40D.50

4.若/（x）=（a+丁=］為偶函數(shù)，則。=

'711+3*J3x+l

,1

A.1B.0C.—1D.--

2

2222

5.若雙曲線「I：T—2r=1（a>0,b>0）的離心率為2,則雙曲線「2：與—［=1的離心率為

abba

A.!B.A/2C.A/3D.y/5

6.已知曲線尸靖在點(diǎn)A（a,e"）,B僅，a）處的切線分別為/r12,記與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

x,,x2,若％,+%2=—1，則a+b=

A.0B.1C.2D.3

7.設(shè)公差為2的等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，若對(duì)于任意正整數(shù)〃，都有反為定值，則品）=

S"

A.60B.80C.100D.120

8.已知sin5a=5sina-20sin3（z+16sin5a,則sin72。cos18。=

V5+1V5-15-V55+V5

A.-----B.-----C.———D.------

4488

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。）

9.在平面直角坐標(biāo)系x°y中，A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2,0）、（2,0）,則下列結(jié)論正確的是

A.若942_依2=2,則點(diǎn)尸的軌跡為直線B.若NAPB=45°,則點(diǎn)尸的軌跡為圓

C.若Q4+?B=4,則點(diǎn)p的軌跡為橢圓D.若P到=2,則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線

10.投資甲，乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表2所示.

表1股票甲收益的分布列

收益X（元）—102

概率0.10.30.6

表2股票乙收益的分布列

收益Y（元）012

概率0.30.40.3

關(guān)于兩種股票，下列結(jié)論正確的是

A.E（2X+1）=32B.￡＞（27+1）=22

C.投資股票甲的期望收益較大D.投資股票甲比投資股票乙風(fēng)險(xiǎn)高

11.已知函數(shù)/（x）=e8sx—*，，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則下列說法中正確的有

B./（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)0）對(duì)稱

A./（x）為周期函數(shù)

D.關(guān)于尤的方程“x）=e—L有實(shí)數(shù)解

C./（x）在區(qū)間上是減函數(shù)

e

12.在三棱錐尸-ABC中，與△ABC都是邊長為2百的正三角形，且二面角尸-A8-C為直角，則下列結(jié)

論正確的有

A.PCLABB.PC與平面ABC所成角為45°

C.上存在一點(diǎn)0,使得/PQC為鈍角D.三棱錐P-A8C的外接球表面積為20萬

（在此卷上答題無效）

第II卷（非選擇題共90分）

考生注意事項(xiàng)：

請(qǐng)用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分。）

13.已知向量a,人滿足卜-0=卜|,[2。-0=3,則.

14.一個(gè)正四棱臺(tái)形油槽可以裝煤油190L,假如它的上下底面邊長分別為60cm和40cm,則該油槽的深度為

15.函數(shù)/'（x）=sinx—cos2x的所有正零點(diǎn)從小到大依次記為％],x2,…，則為+々++x26=

16.已知一組圓G，。2,…，聶均與三個(gè)定圓三+產(chǎn)=4,必+/=64,（%—5丫+丫2=3相切，則圓G，

G，…，c*的面積和為.

四、解答題(本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。)

17.(10分)

20.

記△ABC的二個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=5,c=3,且cosB=—sinC.

9

B

(1)求tan—的值；

2

(2)求a的值.

18.(12分)

記Sn為等比數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和，幾=7&.

(1)若5口=12,求S24的值；

(2)若§6>0,求證：S6n+6>2S6?.

19.(12分)

甲和乙每人擲五枚硬幣，每個(gè)硬幣正面朝上或反面朝上的概率相等，且每個(gè)結(jié)果相互獨(dú)立，如果甲的硬幣正面

朝上的數(shù)量比乙的多，那么這個(gè)游戲甲獲勝.如果甲乙兩人正面朝上的硬幣數(shù)量相同，那么這個(gè)游戲就是平局.

(1)求甲乙兩人平局的概率P1；

(2)求甲獲勝的概率P2.

20.(12分)

如圖，設(shè)E-A8CZ)與廣ABC。為兩個(gè)正四棱錐，且NE4尸=90°,點(diǎn)P在線段AC上，且CCP=3PA.

第20題圖

一ccos(a+?)

(1)記二面角E-BC-A,P-BC-A的大小分別為a,夕，求一——V的值;

cos(cr-p)

(2)記取與尸5所成的角為6,求cos。的最大值.

21.（12分）

22](3、

已知橢圓r：=+3=1(。>>>0)的左右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn),,離心率為一，且經(jīng)過點(diǎn)1,—.

礦廳2V2J

第21題圖

(1)求橢圓r的方程;

(2)若經(jīng)過耳的直線人與橢圓「交于A,C,經(jīng)過歹2的直線4與橢圓「交于8,D,4與6交于點(diǎn)尸(點(diǎn)P在

橢圓r內(nèi))，求證：1—[-+-：—r=1—：+■；—：.

\PA\\PC\\PB\\PD\

22.(12分)

2

已知函數(shù)〃x)=—x+ax+ln(l-x),其中a>0.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，若點(diǎn)尸為函數(shù)/(x)圖像上的任意一點(diǎn)，求尸點(diǎn)處切線斜率的最大值;

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增.

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②證明：+—|^(n+l)lnn-n+2,neN*.

k=\\k)

培優(yōu)聯(lián)盟2023高三秋賽數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案BCCDABCDADACDABCABD

1.【答案】B

,,、/、2a+Z?=4口[a—\

【解析】：由（2a+〃）+（a-2Z?）i=4-3i,得《，解得《

I7v7[a-2b=-3[b=2

所以|l+2i|=君.

2.【答案】C

【解析】：A=(-1,2),5=(4左+1,4左+3),k&Z,所以AB=(l,2).

3.【答案】C

【解析】：(0.03+0.05x2+0.07)x2xl00=40.

4.【答案】D

【解析】：函數(shù)定義域?yàn)?/p>

因?yàn)楹瘮?shù)/(X)為偶函數(shù)，所以/■(_%)=/(X),

/3%、3x+l13x-l

即a-\-------InCL+In

3X+1J3x-l3V+13x+l

3X1

所以a+二-a—

3A+13A+1

可得a=_L

2

5.【答案】A

【解析】：因?yàn)殡p曲線「的離心率6=J—2=2,所以廿=3二,

Va

石

所以雙曲線「2的離心率02=血一丁

6.【答案】B

aa

【解析】：由題意知4：y—e—e^x—a）,l2：y—e"=/（%—/?）,

所以項(xiàng)=〃一1,x2=b-l,

所以a+〃=l.

7.【答案】C

3n（3n-l）

3na}H-------------x2嗎〃（〃）〃

【解析】：注12_3+33-1_9+3%-3

n（n-l]nan+a—l

na.H——------x2xx

12

設(shè)~^=9"+3’3_卜,可得（左_9）〃+（左一3）（q-1）=0,

S〃〃+4—1

>-9=0>=9

若等式對(duì)任意正整數(shù)"都成立，貝h可得《

（左—3）3-1）=0=1

所以%=100.

8.【答案】D

【解析】：由題意知sinl8°=^^,UZsin72°cos18°=cos218°=1-sin218°=.

48

9.【答案】AD

【解析】:

選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)P（x,y）,可得x=:,軌跡為直線；

選項(xiàng)氏點(diǎn)2軌跡為圓￡+（3；—2）2=8上的一段弧（y>0）；

選項(xiàng)C：點(diǎn)P軌跡為線段A8；

選項(xiàng)D：點(diǎn)尸軌跡為雙曲線，軌跡方程為必一乙=1.

3

10.【答案】ACD

【解析】：

E（x）=l.l,E（y）=l,O（x）=1.29,D（Y）=0.6,

E（2X+1）=2E（X）+1=3.2,

D（2r+l）=4D（y）=2.4.

11.【答案】ABC

【解析I

選項(xiàng)A：/（x+2?）=eO°s（A2"）—/n（x+2"）=e8sx—esmx=/G）,是周期函數(shù)；

選項(xiàng)B：—1=/H=esinx-ecosx=-/（%）,所以函數(shù)/（x）關(guān)于點(diǎn)\,01中心對(duì)稱；

選項(xiàng)C：4寸，尸（x）=—sinx/°s「cosx/mx=—kin_vec°”+cos;p/x）<0,所以函數(shù)/（x）

在區(qū)間上為減函數(shù)；

111

選項(xiàng)D：e8sx_,e,esiax-,e,當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)°"=6,e^'J—時(shí)方程有解，即cosx=l,sinx=—1同時(shí)

_e]Je

兀

成立時(shí)方程有解，但x=2Qr和x=2br—-無法同時(shí)滿足，所以方程沒有實(shí)數(shù)解.

2

12.【答案】ABD

【解析】：取48中點(diǎn)則A3,平面尸MC,

'-7--4---r----J

B

所以A8_LPC,且NPCM為直線PC與平面ABC所成的角，

因?yàn)?=CM,所以NPCM=45°.

故A、B選項(xiàng)正確.

在AB上任取一點(diǎn)。（不同于M）,則

PQ2^PM2+QM2,

CQ2CM2+QM2,

在△CPQ中，由余弦定理可得

PQ-+CQ2-PC2=2QM->0,

所以/PQC為銳角，故C選項(xiàng)不正確.

記H為△ABC的中心，在平面PMC內(nèi)，過H引CM的垂線與CP的中垂線交于點(diǎn)。，則。為三棱錐P-ABC

外接球的球心，易知CO=jMf2+CF/2=5所以三棱錐尸-ABC外接球表面積為20萬，故選項(xiàng)D正確.

13.【答案】3

a—2a-b=0.2-2

【解析】：由題意知《22，消去可得2〃+Z?=9,

4〃一4〃?/?+/?=9

I?I/?21.2I*2-2

所以〃+/?=#〃+2a-b+b=y2a+b=3.

14.【答案】75

【解析】：正四棱臺(tái)體積V=g(s上+Js上.S下+S下)/1,1L=1000ml=1000cm3,代入數(shù)據(jù)可得〃=75cm.

15.【答案】221萬

【解析】：4'/(x)=sinx-cos2x=2sin2x+sinx-l=(2sin%-l)(sinx+l)=0,

_.1,、.y廣廣,.二匚?sr兀57r37r13zr17TC77r

可付Zasm%=—或—1,所有的正差點(diǎn)為一，—，—，-----,------,—,…

2662662

則為+%2++々6=221〃.

16.【答案】136萬

【解析】：設(shè)C］：/+丁2=4,6：/+,2=64,G：(x—5了+/=3,

若圓與G，G內(nèi)切，與內(nèi)切時(shí)，設(shè)圓心為(加,〃)，半徑為「，可得

Jm2+"=r-2

<J(m-5)2+加?=r-C，由8—〃=〃-2可知，r=5,且有兩個(gè)；

y/m2+n2=8-r

同理，若圓與G，C3外切，與。2內(nèi)切時(shí)，可得〃=3,且有兩個(gè)；

若圓與G內(nèi)切，與。3外切，與。2內(nèi)切時(shí)，可得〃=5,且有兩個(gè)；

若圓與G內(nèi)切，與G外切，與G內(nèi)切時(shí)，可得〃=3,且有兩個(gè)；

綜上所述，共有8個(gè)圓滿足題意，面積和為136萬.

17.解：

(1)由正弦定理可得

sinBb_5

sinCc3

20

又因?yàn)閏os_B=—sinC，

9

3

所以tan8=一,且8為銳角,

4

34

所以sin8=—,cosB=—,

55

.Bsinj?1

所cri以tan—=-------

21+cosB3

(2)由余弦定理可知/+。2-2accosB=/，

24

所以。2——?！?6=0,

5

4(3+陰)4(3-后)

解得-------^或。二二-------(舍去)

55

4(3+庖)

故a=---------.

5

18.解:設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,則

由幾=7S6可得S6_6)=0,

所以4=0或^=2,

所以q=—1或/=2,

(1)因?yàn)楣?=12,所以qw—l,即/=2,

所以S24=Si2(l+/2)=5S12=60.

(2)因?yàn)?〉0,所以qw—l,即1=2,

6〃+6_1

所以S6“+6=§6?=E,?產(chǎn)6—$6=2(S6n+6-S6n)-S6<2(S6n+6-S6n),

q一1

故S6"+6〉2s6”.

19.解:

52

(l)甲乙兩人的硬幣正面朝上的數(shù)量相同共有Z(C)一=252等可能的情形，

1=0

每種情形發(fā)生的概率為

2525210

。二a

故甲乙兩人平局的概率Pi=f=——

2256

(2)注意到甲獲勝的概率與乙獲勝的概率相同,

所以Pi+20=1，

193

進(jìn)一步解得.2=近

20.

(1)解:記正方形ABCD的中心為。，則EF經(jīng)過點(diǎn)O,

所以有EFLOA,又因?yàn)镹E4F=90°,所以O(shè)E-OF=Q42,

記BC的中點(diǎn)為連結(jié)EM,FM,OM,則

EM±BC,FMLBC,OM±BC,

所以/EMO,NFMO分別為二面角E-BC-A,DBC-A的平面角,

OEOFOA2

所以tanatan/=絲?絲=2,

OMOMOM2OM2

cos(o+/?)_cosacosj3-sinasinf3_1-tancrtan/?￡

所以

cos(cif-/?)cosorcos/3+sinasin(31+tanitan/?3

(2)以。為空間坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,OB,OE方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)A(、&,0,0bB(0,V2a,0),E(0,0,e),尸(0,0"),則團(tuán)=2〃,

坐,(4

由CP=3PA可知產(chǎn)為AO的中點(diǎn)，則尸

I2J

,FB=(0,V2tz,-/j,

2

3

2

所以當(dāng)歷=2同時(shí)，cos。取到最大值丁

21.解：

(1)因?yàn)闄E圓「的禺心率為一，

2

b2

所以彳=3

a4

又因?yàn)闄E圓r經(jīng)過點(diǎn)

19

所以/+元=1'

解得Y=4,b2=3,

22

故橢圓「的方程為土+匕=1.

43

(2)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(5,%)，直線4的斜率為自(i=l，2),

則直線4的方程為y=kl(x-x0)+y0,

22

代入橢圓「的方程工+匕=1,

43

消去y得到—+MG-/)+%]=],

43

刖[(九一5)+%T[占(％一%)+%],

即-----------------1---------------------------------------二1，

43

整理可得3+牛卜/+2二+警卜―/)+4+0_1=0,

2+(VoJo)2

J_+J_=回=|(/fHx「xc)|=V4f-12-1

網(wǎng)+西—I叫尸丁口+弓(x°f)(%—%「i工C

43

因?yàn)?經(jīng)過片（一1,0）,所以%-左玉）=匕,

1

所以1---F+1---T

附因

43

11

同理可得---1---=

\PB\\PD\y；