舊教材適用2023高考數(shù)學一輪總復習 第四章三角函數(shù)解三角形第2講同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式

第2講同角三角函數(shù)的基本關系與誘導公式

冗礎知識整合I

□知識梳理

1.同角三角函數(shù)的基本關系式

(1)平方關系：^sin,CI+cos~々=1.

?ina

(2)商數(shù)關系：Sltana=-------=.

--------------CoSa

2.六組誘導公式

公式—"?二三四五六

24兀+JIπ

角π+σ—aJt-a~aT+

a(?∈Z)

正弦sinQ—sinCL—sinQsinQCOS4cosa

-??-cosa—cosacosQ-cosasina-sinQ

續(xù)表

公式—■二三四五八-1-

正切tanatanQ—tana—tan。一一

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限

知識拓展1

同角三角函數(shù)基本關系式的常用變形

(sina±cosα)'=l±2sinQCoSo；

(sina+cos^)2÷(sina-cos。)?=2；

(sina+cosa)2-(sina-cosa),=4sinarcosa；

sina=tan4cosa(a≠萬+A叮，A∈ZL

.2

Slnatar?a∣

si.n2o—a≠^~+?π,A∈Z

sina+cos”tan2α+1

cos-a1π

cos2a=q≠--?-kτι,A∈Z

sinJa+cos'atan'0+1

□雙基自測

1.cos(-1560o)的值為()

√311√3

A.-γB.--C.-D.?

答案B

解析cos(-1560o)=cos(-5×360o+240o)=cos240o=cos(180o+60°)=-

cos60o=-?

2.(2021?安徽六安聯(lián)考)已知Sin(Jl+")=—√‰s(2n—。)，∣θ?<y,則，等

于()

πJIjIjI

A.一-TB.---C.-D.-

6363

答案D

解析Vsin(兀+。)=-/cos(2π—θ),

Λ—sin6=一小COSO,/.tan0=y∣3.V|夕IV丁,/.。=刀.故選口.

乙O

Sin(0r-3H)+cos(Ji-。)

3.若tan(5π÷Q)=m,的值為（)

sin(—σ)—cos(Ji+。)

%+1加一1

A.B.C.-1D.1

m-?m+1

答案A

—sino—cosasina÷cosa

解析Vtan(5π+。)=ιn,ΛtanQ=m.原式='

-sina+cosasina—cosa

tanσ+lnι+?

故選A.

tana—1m-1

4.(2022?廣州天河區(qū)高三上綜合測試(一))若∣“J則Sin+cosa=

I-TCOSa2

)

7819

A.τB.τC.1D.~

5525

答案A

in222

解析?1f-------=G得coso=2sino-?f又sino+cos=1,/.sina+

1十CoSa2

(2Sina-1)』，解得Sina=M或Sina=O(舍去)，故cos°=于Sina+cos0下

故選?.

5.已知COS31o=a,則Sin239otan149°的值為()

2

1-ar-----2

A.~~~B.y∣1—a

2ι

Ca-]/------9

C.D.一?/1-a

aV

答案B

解析sin2390tan149o=sin(270o-31o)tan(180o-310)=-cos31o(-tan

31o)=sin31°=JFz?.故選B.

2

6.已知sinW，則cos

?

2

3

11兀

~L2

而sin

2

3

2

所以cos

3

核心看向突破I

考向一誘導公式的應用

例1(1)計算：sin(-1200o)cos1290°+

cos(-1020o)sin(-10500)=.

答案1

解析原式=-sinl200°cos1290o-cos1020o?sinl050o=-sin(3X360°+

120o)cos(3X360o+210o)-cos(2×360o+300o)sin(2×360o+330o)=-sin

120ocos210o-cos300osin330o=-sin(180o-60o)cos(1800+30o)-cos

?/??/?1?

(360o-60o)sin(360°-30°)=sin60°cos300+cos60o?sin30o?2X2+2X2

tan(π+￠7)CoS(2n+α)sin0

(2)化簡:

cos(—σ—3π)sin(—3π—σ

答案一1

tan°cosasin—2π+∣σ+yI

解析原式=------j,、「~：~……,]

cos(3n+α)L~sιn(3??+)J

tanQCOSasin[?r+Q]

__________________12)tan-cos4cosa

—cosasinQ—cosasinCI

tanɑcososinacoso

=---------:-----------=------------?---------=-1.

sinQcosasinQ

⑶已知cos(750+α)=R,。是第三象限角，則Sin(195°—。)+cos(。一15°)

的值為.

小自17

答案一右

?O

5

解析因為COS(75°+α)=X>0,。是第三象限角，所以750+。是第四象限角，

所以Sin(75o+ɑ)=~\/l—cos2(75o+a)=—γτ.

所以Sin(195°—。)+COS(。一15°)

=sin[180o+(15°-σ)]+cos(15°一。)

=—sin(15°—<2r)÷cos(15°—。)

=-sin[90o-(75o+α)]+cos[90°一(750+α)]

=—cos(75°+〃)+Sin(75°+。)

51217

觸類旁通

1.誘導公式的兩個應用方向與原則

(1)求值，化角的原則與方向：負化正，大化小，化到銳角為終了.

(2)化簡，化簡的原則與方向：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

2.含2n整數(shù)倍的誘導公式的應用

由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2"的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2"的

整數(shù)倍去掉后再進行運算，如CoS(5n—α)=CoS(n—a)=-COSa.

亍即時訓練1.計算：sin粵+cos學+tan;=()

634

1√3

A.-2B.-1C.0D.2~2

答案A

解析原式=Sin[2π——∣+cos[3π+—∣+tan[2π——1=—sin-—cos-—

tan?=~2~2~?=~2,故選A,

2.(2022?江西宜春中學診斷)已知cose一4=|，則sin(a-彳B=-

2

答案-5

解析因為e一α)+(0_*)=一：-,所以。一筌=一?-―*-一°),所以sin

(°Wrl[-?-(f-°)]=-cos管―a)=*.

COS(Q1--]

3.化簡--而二----\*sin(。一冗)CoS(2打一。)的結果為

s】n管+“)——

答案一sil?。

cos(Q~~2)

解析----τ∑---------\*sin(σ-π)cos(2π-σ)

Sin管+。)

sina2

=---------?(—sinα)cos。=—Sina.

cosCL

精準設計考向，多角度探究突破

考向二同角三角函數(shù)的基本關系

角度1切弦互化

例2(1)(2021?安徽合肥高三模擬)已知

(I+")=]且°e?,*'則tan

COS。=()

43

A.鼻B

?-4

3D

c?^4-4

答案B

33

解析因為COS=三，所以Sina——-,顯然。在第三象限，所以CoSa—

??

43

一彳故tanσ?-故選B.

⑵已知2tanOSina=3,―a<0,則SinQ的值為()

A.平B.一平C.?DT

答案B

2i2。

解析因為2tanasina=3,所以一—=3,所以2sin%=3cos。，即2—2COS,0

cosa

=3COS%所以COS或CoS。=—2(舍去)，又因為一^^-<a<0,所以Sina

故選B.

觸類旁通］同角三角函數(shù)的基本關系式的功能是根據(jù)角的一個三角函數(shù)值求其他三

角函數(shù)值,主要利用商數(shù)關系tan。=*和平方關系I=Sin2α+c°s%?

即時訓練4.（2021?山西大同高三質(zhì)量檢測）已知a為銳角，且tan（JT—0）+3

=0,則sin。等于（）

IB啦C4D童

a3,1075

答案B

解析因為tan（冗一ι）+3=0,所以tana=3,所以Sina=3cos。.因為Sin''ɑ

2

+cosa=If所以si??α=得.又因為ι為銳角，故Sin〃=今『.故選B.

5.已知tan(α-π)=-,

答案B

33Λπ3πA

解析由tan（Q-Jl）=a，得tan。=彳又因為a?l?*~b所以。為第三象限

44

的角，cos"=^?所以Sin=COS°=一守故選B.

角度2"1”的變換

例3（2022?云南保山模擬）已知黑法鬻:=5,貝IJSin%—Sinac。Sa的值

是（）

22

A-MB--5—2D.2

答案A

,sina+3cosatan。+3

解析由-----------得?=5,即tana=2.所以sir?4—sinacos

3cosa-sm3=5,3—tana

SiI?。一Sin^cosQtan2o-tano2

=己故選A

sin2Q+cos2atan2a+?.

觸類旁通J對于含有Sinj。，cos2a,sinαrcosa的三角函數(shù)求值題，一般可以考

慮添加分母1,再將1用“Sil?。+CoS24”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的

方式將其轉(zhuǎn)化為關于tanG的式子，從而求解.

3

即時訓練6.若tana=^,則cos?α+2sin2。=()

644816

A，25β?25c,1D，25

答案A

.3

sina=-,

sina3,..5

解析解法一：由tan4=---------=τ,cos2o+sin2σ=1,得《4或

cosa4

cosa=5

3

sina=一1

5,2416,4864

貝!∣sin2。=2sinαrcosa=77，貝IJcos2a+2sin2a25+加=云.故邊

4Zb

cos

5,

A.

cos2ci+4sin^cosα1+4tana1+364

解法二:cos2a+2sin2a^.故選A.

cos2o+sir?al÷tan,ici925

1+T6

角度3sina+coso,sino—cosa,sinOCOS。之間的關系例4(1)已知

15π。<弓~,則COSσ—sin。的值為（）

sinQCoSa且rl丁V

o4

_33

?.B.C.d

22^4?W

答案B

5π3π

解析..COSa<0,sin。<0且ICoSα∣V∣sinGI???COSQ—

、213a-Sina邛

sina>0.X(cosa—sina)=1-2sinαcosa=1—2×-=",..cos

o4

故選B.

7

⑵（2021?甘肅蘭州高三模擬）已知Sin“+cosa、，sinα>cos則tana

4

答案3

74924

解析??飛ino+coso=-,Λ1+2sinσcoscι=—,即2sinɑeosa=77.Xcos2a

?z?z?

÷sin2ɑ=1,且Sina>cos。，Λsina=-,cos。tana=-

??O

觸類旁通］

(1)己知asin。+6CoSα=c,可與Sin'。+cos,。=1聯(lián)立，求得Sin%cos

(2)sinO+coso,sino—cosa,sinICOS。之間的關系為

(sina+cos^)2=l+2sin4cosa,

(sina-cosσ)2=l-2sinacosa,

(sino+cosσ)2÷(sino-cos^)2=2.

因此，已知上述三個代數(shù)式中的任意一個代數(shù)式的值，便可求其余兩個代數(shù)式的值.

即時訓練7.若一—÷—?—=小,則SinQCoS。=()

sinacosQV

11

A?-§b?3

C.—；或1D.!或一1

JO

答案A

解析由一---÷---?----=/,可得Sina+cosa=yβsinacosa,兩邊平方，

sinacosovY

得1+2Sinαrcosa=3sin20rcos~a,解得SinqCoS。=—1或Sinαrcosα=l.由題意，

e

知一l<sinα<l,-Kcos〃<1,且sinα≠0,coso≠0,所以sinαcosL故選

A.

8.(2022?河南洛陽高三階段考試)若SinO1CoS。是方程4^+2/X+R=0的兩個根，

則"的值為()

A.l+√5B.l-√5

C.l+√5D.-l-√5

答案B

解析由題意得SinO+cos0=一￡SinOCOS8=：,又(Sin0+cos^)2=1+

Rm

2sin9cosO,所以??=ι+步解得力=1士4，又八=A必一16G0,解得卬Wo或加N4,

所以m=l-yβ.故選B.

課時作業(yè)I

1.sin210ocosl20o的值為()

13

B.

?-4fC2

答案A

解析sin210ocos120°sin(180o+30o)cos(180o-60°)=-sin30o(-

cos60o)=故選A.

2×2

卷L的值為（

2.COS,)

O

?1*D?

A.B-^2C.

22

答案B

26π=COsfπ-?π—?.故選B.

解析COS—-=-cos-=

3.（2021?湖北宜昌高三模擬）已知sin（π-α）=log?,且α∈一萬，θ）則tan（2

π

。）的值為（)

B.WC.

A._亞

3

答案B

Sin(九—a)=Sino=lg^=-?,Xa∈f-,

解析01y，θj,所以coso=Λ∕1-sin2o

sina???

~~ftan(2Ji—a)=tan(-o)=—tana=----

COSq3,

11

B

Λ.3-3-

C述D+≡

3-3

答案A

=；,所以sin

解析因為cosa

O

=J故選A.

?

5.(2022?天津西青區(qū)模擬)已知Sina÷cosa=-y∣29則tana+~~~?=()

Ytano

B.?C.-2D._1

A.2~2

答案A

,2

解析Vsina÷cosa=-y∣2f..(sina÷cosσ)=2,Λl÷2sinσcosa=2

ΛsinQCOSα=*tana41sincosasino+cos2o

=1=2.故選A.

tanQcosQsinQsinαcosa

2

6.??∕l+2sin~(π—3)cos~(π+3)化筒的結果是()

?.sin?-cos3B.eos?-sin3

C.÷(sin?-cos3)D.以上都不對

答案A

解析Vsin(??3)sin3，cos(π+3)cos3,

<l+2sin~(π-3)cos~(π+3)=Λjl-2sin3cos3=(sin3-cos3)2=∣sin3—

π

cos31.V-?-<3<π,Λsin3>0,cos3<0.；?原式=Sin3—cos3.故選A.

何O,5

7.已知sin夕+cos“4，則SinO—cos夕的值為（)

AW1

?d

B.C.?^3

?33

答案C

?θ[67

解析,/(sinO+cosO)*1Λl+2sin9cos。=勺，.*.2sin9cosO=-,貝Ij

夕=1—可得sinO—cosJ=±',又

(sinO—cosOp=1一2SinBcos

yy?

8∈(o,?l,O—cos夕=一平■.故選C.

Λsin"cos。，Λsin

八AyI+sina÷cos。+2Sinac∏?a

8.化簡-----------------?-----------------的結果是（）

l+sina+cosa

A.2sinQB.2cosa

C.sino+costD.sina-cosα

答案C

Sin'。+COS24+2SinaCOSo+sino+cosa

解析原式=

l+sina÷cosa

(sina+cosa)'+sino+cosa

l+sina+cosa

(sinci+coso)(sino+cos。+1)

l+sina+cosa

=sino+cos。.故選C.

9.(2021?新高考I卷)若tan夕=—2,則

Sin8(1+sin21)

sin夕+cos°

答案C

解析解法一：因為tan。=一2,所以

Sin0(1+sin2。)_Sin0(Sin〃+cos〃)’

夕(sinO+cos8)=

sinθ+cos°sin0+cos夕

sin23*50+sinJCOS0tan"+tan04—224

sin2^+cos2^-=l+tan2^=l+4=5,故選C-

Sin0(1+sin2〃)

解法二:

sin0+cos8

sin0(Sin"0+2sin〃CoS0+COSJ0)

=sin0(sin0+cos夕)=cos29(tan2。

sin+cos°

+tank由tan'=黑Sin詞O=-2,sin"+c。/"=1,解得cos"=弓i.所以

Sin0(1+sin2〃)?2

—cos2θ(tan26,+tanθ)=-×(4-2)=~.故選C.

sin0+cos8??

10.(2022?甘肅武威模擬)若sin￠+sin2Θ=?,則CoS'。+COS'〃+CoS'，的值為

()

Λ.0B.1C.-1D.鄧Jl

答案B

解析由sin9+sin'夕=1,得sin。=1—sin'J=Cos'，，.*.cos2夕+cos'夕+cos'0

=sin9+sin'e+sir?J=Sin÷sin20(sin+sin~J)=sin0+sin"。=1.故選B.

11.(2021?廣西柳州高三檢測)已知Sind+3COSσ+l=0,則tan。的值為()

3-4

b?-4^-3

Q44

C.I或一鼻D.一鼻或不存在

OO

答案D

解析由Sina=-3cosa-1,可得(-3COS。-1)'+CoS*。=1,即5cos"ι+3cos。

3

=0,解得CoS。=—三或CoSa=0,當COS。=0時，tan。的值不存在，當CoSa=—

5

?oi4sina4

7?時，sinCL=-3cosa—1=-,tanQ=------=一；；.故選D.

55cosa3

12.（2021?河南部分重點中學高三聯(lián)考）定義：角。與。都是任意角，若滿足夕+。

π1

=萬,則稱。與φ“廣義互余”.已知sin（n+。）=一『則下列角￡中，可能與角a“廣

義互余”的是（）

?/??1

A.sin^=~~*B.CoS（n+￡）=：

?4

C.tanβ=√T5D.tanβ

答案C

,11JIjl

解析Vsin（π+0r）=-sina=-7,Λsina=7,右a+B=F貝UB=-T■—Sin

44NN）

β=sin■-。)=CoS。=土當±故A不符合條件；CoS(n+￡)=-cos￡=-cos

土返

仟一。)=-Sin〃=一；,故B不符合條件；tan￡=Jn《=_故C符合

??)4cosP1V

4

條件，D不符合條件.故選C.

4π5冗/4π^

13.sin?cos?tan(--ξ-J的值是.

焚案一述

廠14

14.（2022?陜西千陽中學高三模擬（一））已知0是第四象限角，且sin“十

4

答案一可

πJTJIJI

解析：。是第四象限角，；.一萬+24n<0<2*n,A∈Z,則一彳+2%“<。+7〈丁+

15.已知cos

,.sin3(五一。)÷cos(。+n)

r川而S所1

5cosIa∣+3sinI-a

卜…3

口案35

解析因為CoS仔+α)=2sin一)，所以一sin。=-2cosa,則sina=2cos

a,代入sin%+cos2。=1,得cos%=1

5

sin3(JI-0r)+cos(α+JI)sin%-cosa

所以?

‘5no—3cosa

5cos--al+3sin

8COS3O—COSO81

'=一CO2Q——■—

7cosa7735,

1

的值

是

16.（2022?福建泉州模擬）已知l+s：n/一-

夕S

1

案

答2-

—sin'o=COS2a，cosa≠0,1—sino≠0,所以(l+sinσ)(1—sina)

1COS1

1+sinQCOSQCOSa-即-

=cosacosa,即.所以?2S?nσ2

cosa1—sina1-sina1-

17.（2021?陜西咸陽高三質(zhì)量檢測）已知α為第三象限角，Ka）=

in(。蘭｝os(?+

sintan(π—σ)

tan(—G—π)sin(-a——π)

⑴化簡A。）;

3π=1，求Ha）的值.

⑵若COSa

一^F?

sinTCoS

解⑴六。）=—

tan（一。一B）Sin（一。一冗）

(—cosa)sino(—tanQ)

cosa.