《探索三角形全等的條件（第2課時）》示范公開課教學設計【北師大版七年級數(shù)學下冊】

第四章三角形4.3探索三角形全等的條件第2課時一、教學目標1.探索三角形全等條件的方法；2.掌握判定三角形全等的方法，并能進行推理和判斷．二、教學重點及難點重點：三角形全等的條件ASA，AAS探索．難點：利用ASA，AAS進行簡單的推理和判斷．三、教學準備多媒體課件四、相關資源相關圖片，微課，動畫五、教學過程【問題情境】如圖所示，某同學把一塊三角形的玻璃不小心打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶哪塊去？學生活動：學生先自主探究出答案，然后再與同學進行交流．教師點撥：顯然僅僅帶①或②是無法配成完全一樣的玻璃的，而僅僅帶③則可以，為什么呢？本節(jié)課我們繼續(xù)研究三角形全等的判定方法．設計意圖：通過問題情境提出確定三角形的問題，明確探究方向，激發(fā)探究欲望．【探究新知】探究一：利用“角邊角”證明三角形全等1．先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B（即保證兩角和它們的夾邊對應相等）．把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它們全等嗎？學生活動：（1）學生自己動手，利用直尺、三角尺、量角器等工具畫出△ABC與△A′B′C′，將△A′B′C′剪下，與△ABC重疊，比較結果．（2）作好圖形后，與同伴交流作圖心得，討論發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律．教師活動：在學生作完圖后，由一個學生口述作圖方法，教師進行動畫演示，再次體會探究全等三角形條件的過程．操作結果展示：畫一個△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B．（1）畫A′B′＝AB；（2）在A′B′的同旁畫∠DA′B′＝∠A，∠EB′A′＝∠B，A′D，B′E相交于點C′．將△A′B′C′剪下，發(fā)現(xiàn)△ABC與△A′B′C′全等．由此得出判定方法：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）．2.幾何語言表示：如圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．設計意圖：類比“邊邊邊”和“邊角邊”探究得出“角邊角”的兩個三角形全等的判定方法，學生通過動手操作、自主探究、交流、獲得新知，進一步增強了動手能力，滲透類比思想．探究二：利用“角角邊”證明三角形全等在兩個三角形中，是不是只要有兩個角對應相等，一條邊對應相等，這兩個三角形就全等呢？下面，我們來看一個問題：1.如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF．求證：△ABC≌△DEF．證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°－∠A－∠B．同理∠F＝180°－∠D－∠E．又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F．在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（ASA）．由此得出：兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）．2.幾何語言表示：如圖，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）．設計意圖：用“角邊角”證明滿足兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等的正確性，得出“角角邊”的判定方法．【典型例題】例1．如圖，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，試說明：△ADF≌△CBE．分析：根據平行線的性質可得∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC，再根據等式的性質可得AF＝CE，然后利用“ASA”可得到△ADF≌△CBE．解：∵AD∥BC，BE∥DF，∴∠A＝∠C，∠DFE＝∠BEC．∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE．在△ADF和△CBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠C，,AF＝CE，,∠DFA＝∠BEC，))∴△ADF≌△CBE(ASA)．設計意圖：在“ASA”中，包含“邊”和“角”兩種元素，是兩角夾一邊而不是兩角及一角的對邊對應相等，應用時要注意區(qū)分；在“ASA”中，“邊”必須是“兩角的夾邊”．例2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于E．AD與BE交于F，若BF＝AC，試說明：△ADC≌△BDF．分析：先說明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根據“AAS”即可得出兩三角形全等．解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°．∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF．在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．設計意圖：鞏固學生對全等三角形判定中“AAS”的理解與應用，在證明過程中要注意條件的把握，明確對應性．例3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D，E．試說明：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE．分析：(1)由垂直的關系可以得到一對直角相等，利用“同角的余角相等”得到一組對應角相等，再由AB＝AC，利用“AAS”即可得出結論；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝CE，根據DE＝DA＋AE等量代換即可得出結論．解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°．∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE．在△BDA和△AEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE．設計意圖：利用全等三角形可以解決線段之間的關系，比如線段的相等關系、和差關系等，解決問題的關鍵是運用全等三角形的判定與性質進行線段之間的轉化．【課堂練習】1．（1）下列結論中，正確的是（）CA．有兩條邊對應相等的兩個三角形全等B．有一個角和兩條邊對應相等的兩個三角形全等C．有兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等D．任意兩個直角三角形全等（2）已知△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1，AB＝A1B1，再補充下列哪個條件可以根據“ASA”判斷△ABC和△A1B1C1全等（）AA．∠B＝∠B1B．∠C＝∠C1C．AC＝A1C1D．以上均不對2.（1）在△ABC和△DEF中，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，則△ABC≌△DEF，根據是_______．AAS（2）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分別過點B，C作過點A的直線的垂線BD，CE，垂足分別為D，E，若BD＝3，CE＝2，則DE＝．5設計意圖：考查運用全等三角形的判定方法和全等三角形的性質進行推理計算的能力．2．解決課前導入的問題：一張教學用的三角形硬紙板不小心被撕壞了，如下圖，你能制作一張與原來同樣大小的新教具嗎？能恢復原來三角形的原貌嗎？解：被撕壞的這塊三角形硬紙板保留了原三角形硬紙板的兩角及其夾邊，新制作的三角形硬紙板的兩角及其夾邊和被撕壞的這塊三角形硬紙板對應相等，新制作的三角形硬紙板和原三角形硬紙板滿足“角邊角”，自然就同樣大小了，所以能恢復原來三角形的原貌．設計意圖：運用“角邊角”和“角角邊”的判定方法證明兩個三角形全等，體會全等三角形判定方法的多樣性，鍛煉學生挖掘題目中隱含條件的能力．3.如圖，已知AD∥BC，AD=BC，AE⊥BD，垂足為E，CF⊥BD，垂足為F．（1）寫出圖中所有全等的三角形；（2）選擇（1）中的任意一對進行證明．AABCDEF解：圖中全等的三角形共有3對，分別是：①△ADE≌△CBF；②△ABE≌△CDF；③△ADB≌△CBD．（2）選擇①進行證明．證明：∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB=90°．又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF（AAS）．4.如圖，在△ABC中，AD＝BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD與BE相交于點H，則BH與AC相等嗎？為什么？解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠CAD＋∠C＝90°．∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°．∴∠CBE＋∠C＝90°．∴∠CBE＝∠CAD．在△BDH和△ADC中，∴△BDH≌△ADC（ASA）．∴BH＝AC．設計意圖：考查運用全等三角形的判定方法和全等三角形的性質進行推理論證的能力．5．如圖，點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點O，AB＝AC，∠B＝∠C．求證：BO＝CO．證明：在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE（ASA）．∴AD＝AE．∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE．即BD＝CE．在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE（AAS）．∴BO＝CO．設計意圖：充分利用題目中的條件證明三角形全等，提高觀察圖形，分析問題的能力.【課堂小結】1．兩角及其夾