線性代數課件第一行列式課件

關于線性代數課件第一行列式第一章行列式?行列式的定義?行列式的性質?克萊姆（Cramer）法則主要內容：?行列式按行（列）展開第2頁,共64頁，2024年2月25日，星期天§1·1行列式定義用消元法解二元一次方程組：一、二階和三階行列式

分母為的系數交叉相乘相減：第3頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定義二階行列式：主對角線元素圖示記憶法例第4頁,共64頁，2024年2月25日，星期天用消元法解三元線性方程組：可得的分母為(若不為零）：定義三階行列式：＋－圖示記憶法第5頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例

解例

計算三階行列式的例子：第6頁,共64頁，2024年2月25日，星期天對于數碼is和it：逆序數：一個排列中逆序的個數，例

求132、436512的逆序數解逆序數為偶數的排列稱為偶排列，n階（級）排列：由n個不同的數碼1,2,…n組成的有序數組132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列與逆序數大前小后叫逆序(反序)記為：為奇數的稱為奇排列?？梢姡航粨Q任何兩個元素（對換）改變了排列的奇偶性！第7頁,共64頁，2024年2月25日，星期天分析表1-1排列123132213231312321逆序無322121，3131，3232，31，21逆序數011223奇偶性偶偶偶奇奇奇?一個對換改變排列的奇偶性；?3!個排列中，奇、偶排列各占一半。第8頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理1

對換改變排列的奇偶性。證（1）設元素i,j相鄰：?若i<j,則新排列增加一個逆序;?若i>j,則新排列減少一個逆序?！淖兞似媾夹裕?）設元素i,j不相鄰：共作了2s+1次相鄰對換，由（1）知，排列改變了奇偶性。第9頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理2

n

個數碼構成n!

個n級排列，

奇偶排列各占一半（n!/2

個）。證設有p

個奇排列，q

個偶排列，p

個奇排列p

個偶排列q

個偶排列q個奇排列第10頁,共64頁，2024年2月25日，星期天（三）n階行列式定義2階：3階：n階：1階：

第11頁,共64頁，2024年2月25日，星期天幾種特殊行列式：例

解

由定義，只有左下三角形行列式第12頁,共64頁，2024年2月25日，星期天右上三角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.9)類似可得：特別：

對角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.10)OO第13頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例第14頁,共64頁，2024年2月25日，星期天的一般項還可記為一般形式列標按自然順序排列n階行列式的另外兩種表示(證明略）：第15頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例下列元素之積是否為四階行列式的項？否，因為第二行有兩個元素；是，因為四個元素取自不同行不同列，例

解第16頁,共64頁，2024年2月25日，星期天§1.2行列式的性質復習：第17頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定義：的轉置行列式行變列，列變行例第18頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證D的一般項：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的轉置中位于不同的列不同的行．所以這n個元素的乘積在Ｄ的轉置中應為性質1所以由此性質也知：行具有的性質．列也同樣具有．第19頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質2交換行列式的兩行（列）,行列式反號。證D的一般項：交換行以后，元素所處的列沒變，只是行標作了交換，即行標排列中，i和s作了對換，改變了排列的奇偶性，故反號。第20頁,共64頁，2024年2月25日，星期天推論：

n階行列式某兩行（列）對應元素全相等，則行列式等于零。證第21頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質3證記左邊的行列式為D1,有注：

該性質對列也成立。

第22頁,共64頁，2024年2月25日，星期天推論：

n階行列式某兩行（列）對應元成比例，則行列式等于零。證提出比例系數后，行列式有兩行（列）對應相等，由前面的推論知行列式為零。第23頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質4

注：

該性質對列也成立。

證左邊行列式的一般項為：

可推廣到

m

個數的情形。第24頁,共64頁，2024年2月25日，星期天性質5（保值變換）證成比例第25頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例計算行列式思路：用保值變換化成三角形行列式第26頁,共64頁，2024年2月25日，星期天將過程記在行列式符號的右邊，用“箭頭”表示。解第27頁,共64頁，2024年2月25日，星期天為對稱行列式例為反對稱行列式例是反對稱行列式不是反對稱行列式兩個重要概念第28頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例證明奇數階反對稱行列式的值為零。證當n為奇數時有

第29頁,共64頁，2024年2月25日，星期天用性質計算行列式=9第30頁,共64頁，2024年2月25日，星期天一般地，可以計算請牢記這種方法，這類題就這種做法。第31頁,共64頁，2024年2月25日，星期天關于范德蒙行列式注意以下三點第32頁,共64頁，2024年2月25日，星期天1.形式:按升冪排列,冪指數成等差數列.2.結果:可為正可為負可為零.3.共n(n-1)/2項的乘積.對于范德蒙行列式,我們的任務就是利用它計算行列式,因此要牢記范德蒙行列式的形式和結果.你能識別出范德蒙行列式嗎？你會用范德蒙行列式的結果做題嗎？第33頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例：第34頁,共64頁，2024年2月25日，星期天范德蒙行列式有幾種變形?第35頁,共64頁，2024年2月25日，星期天行列式按行（列）展開主要內容：1.代數余子式2.展開定理§1.3第36頁,共64頁，2024年2月25日，星期天余子式n-1階行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代數余子式（一）按某一行（列）展開第37頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理4

按行展開按列展開即：D

等于第

i

行（列）元素與對應的代數余子式相乘相加。第38頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證（下面就四階行列式給出證明，方法是從特殊到一般。）第39頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第40頁,共64頁，2024年2月25日，星期天(3)四階行列式按第三行展開的結果＃n階行列式按第i行展開：第41頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例2計算行列式解按第三列展開其中：第42頁,共64頁，2024年2月25日，星期天所以第43頁,共64頁，2024年2月25日，星期天解2按第二行展開按第一列展開第44頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例３討論當Ｋ為何值時解第45頁,共64頁，2024年2月25日，星期天所以，當第46頁,共64頁，2024年2月25日，星期天例4求證第47頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證按第1列展開第48頁,共64頁，2024年2月25日，星期天n-1階第49頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第50頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第51頁,共64頁，2024年2月25日，星期天第52頁,共64頁，2024年2月25日，星期天即：第i行元素與另一行元素的代數余子式相乘相加等于零。定理5

證0=i

行s

行第53頁,共64頁，2024年2月25日，星期天綜合定理4，定理5對于行：對于列：第54頁,共64頁，2024年2月25日，星期天克萊姆（Cramer）法則§1.4第55頁,共64頁，2024年2月25日，星期天其解：記系數行列式第56頁,共64頁，2024年2月25日，星期天討論

n個方程、n個未知量的線性方程組的解一、非齊次線性方程組系數行列式：第57頁,共64頁，2024年2月25日，星期天用常數項列替換D

的第

j

列，其余列不變。記6911第58頁,共64頁，2024年2月25日，星期天定理5（克萊姆法則）對于方程組（1），若有唯一解，且?第59頁,共64頁，2024年2月25日，星期天證明思路：1°

驗證滿足各方程（存在性）；2°（1）的

解定能表成形式（唯一性）。所用結果：證1°將

Dj

按第

j

列展開代入第1個方程的左端將4第60頁,共64頁，2024年2月25日，星期天左＝（證＝b1)()D按第1行展開＝0＝0滿足第1個方程第61頁,共64頁，2024年2月25日，星期天類似驗證第2，…，n個方程也滿足。是方程組（1）的解。2°由1°知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…