蘇科版八年級數學下冊?？键c微專題提分精練專題09正方形中的最值(原卷版+解析)

專題09正方形中的最值【例題講解】P為正方形對角線上一動點，若，則的最小值為_______【詳解】如解圖，將繞點A順時針旋轉得到，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴當E?F?P?C共線時，最小，作交的延長線于M，的延長線交的延長線于N，則四邊形是矩形，在中，∵，∴，∵，∴，∴．∴的最小值為．【綜合演練】1．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．52．如圖，為正方形內一動點，，為的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）A． B． C． D．4．如圖，正方形的對角線，相交于點，點是上任意一點，于點，于點，若，則的長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．5．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E是正方形內部一點，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點P是AB邊上一動點，連接

PD，PE，則PD+PE長度的最小值為（

）A． B．C． D．6．如圖，正方形與矩形在直線的同側，邊，在直線上，且，，．保持正方形不動，將矩形沿直線左右移動，連接，，則的最小值為______．7．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且DH＝CD．（1）連接CG，則∠DCG＝____________．（2）連接GH，GH的最小值為____________．8．如圖，是邊長為2的正方形的對角線，為邊上一動點，，為，的中點．當的值最小時，的值為______．9．如圖，點P為線段AB上的一個動點，AB＝6，以PA、PB為邊向同側作正方形APDC、正方形PBEF，兩正方形的對角線的交點分別記為O1、O2，連接O1O2，則O1O2的最小值為_____．10．如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD＝_____°．11．如圖，正方形中，，動點從點出發(fā)向點運動，同時動點從點出發(fā)向點運動，點、運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段、相交于點，是線段上任意一點，則的最小值為___．12．在正方形中，，點E、F分別為上一點，且，連接，則的最小值是________________．13．如圖，正方形ABCD的邊長是8，點E、F分別是邊AB、BC上的點，且，若點P是對角線AC上一個動點，則的最小值是______．14．如圖，在正方形中，，與交于點O，N是的中點，點M在邊上，且，P為對角線上一點，則的最大值為_____________．15．如圖，正方形ABCD邊長為4，P是正方形內一動點，且，則的最小值是______．16．如圖，正方形ABCD中，，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且，連接GH，則GH的最小值為______．17．如圖，正方形ABCD，邊長為7，點E在邊BC上，，點F是AB邊上一動點，連接EF，以EF為邊向右作等邊，連接CG，線段CG的最小值是___________．18．如圖，AC是邊長為2的正方形ABCD的對角線，P為BC邊上一動點，E，F為AB，AC的中點．當PE+PF的值最小時，CP的值為________．19．如圖，已知正方形的邊長為，點是邊上一動點，連接，將繞點順時針旋轉到連接，則的最小值是_____．20．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是_____．21．如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AC與BD相交于點O，M是AO的中點，P，Q為對角線BD上的兩點，若PQ=，則PM+CQ的最小值為___．22．如圖，正方形ABCD的邊長為4，∠DAC的平分線交DC于點E．若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則DQ＋PQ的最小值是________．專題09正方形中的最值【例題講解】P為正方形對角線上一動點，若，則的最小值為_______【詳解】如解圖，將繞點A順時針旋轉得到，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴當E?F?P?C共線時，最小，作交的延長線于M，的延長線交的延長線于N，則四邊形是矩形，在中，∵，∴，∵，∴，∴．∴的最小值為．【綜合演練】1．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（

）A．4 B． C． D．5【答案】D【分析】由正方形的對稱性可知點B與D關于直線AC對稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴點B與D關于直線AC對稱，∴DN=BN，連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，∴當B、N、M共線時，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，∴AC是線段BD的垂直平分線，又∵CD=4，DM=1∴CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM=故DN+MN的最小值是5．故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質，先作出D關于直線AC的對稱點，由軸對稱及正方形的性質判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關鍵．2．如圖，為正方形內一動點，，為的中點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點，連接MN，根據三角形中位線的性質可求出MN的長度，然后根據三角形三邊關系即可求出CM的最小值．【詳解】解：因為，為的中點，取的中點，連接MN，CN，易得，所以.在點的運動過程中，的值不變，因為，當，，三點在同一條直線上時，最小，此時．故選：D【點睛】此題考查了三角形中位線的性質和三角形三邊的關系，解題的關鍵是由題意作出輔助線．3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的動點，且BE＝CF，連接BF、DE，則BF＋DE的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接AE，利用△ABE≌△BCF轉化線段BF得到BF＋DE＝AE＋DE，則通過作A點關于BC對稱點H，連接DH交BC于E點，利用勾股定理求出DH長即可．【詳解】解：解：連接AE，如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．又BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS）．∴AE＝BF．所以BF＋DE最小值等于AE＋DE最小值．作點A關于BC的對稱點H點，如圖2，連接BH，則A、B、H三點共線，連接DH，DH與BC的交點即為所求的E點．根據對稱性可知AE＝HE，所以AE＋DE＝DH．在Rt△ADH中，DH2＝AH2＋AD2＝82＋42＝80∴DH＝4∴BF＋DE最小值為4故選：

D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、最短距離問題，一般求兩條線段最短距離問題，都轉化為一條線段．4．如圖，正方形的對角線，相交于點，點是上任意一點，于點，于點，若，則的長的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】如圖，連接OP、EF，根據已知條件和正方形的性質可以得到當EF最小就是OP最小，然后利用垂線段最短即可求解．【詳解】解：如圖，連接OP、EF，∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P是BC上任意一點，PE⊥BD于點E，PF⊥AC于點F，∴四邊形OEPF為矩形，∴EF=OP，∴EF最小時OP最小，當OP⊥BC于P的時候OP最小，而當OP⊥BC時，P為BC的中點，∴OP=BC，∵AC=，則BC=2，∴OP=1，∴EF的長的最小值為1．故選：B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，同時也利用了垂線段最短解決問題．5．如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E是正方形內部一點，連接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，點P是AB邊上一動點，連接

PD，PE，則PD+PE長度的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據正方形的性質得到∠ABC=90°，推出∠BEC=90°，得到點E在以BC為直徑的半圓上移動，設BC的中點為O，作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形AFGB，則點D的對應點是F，連接FO交AB于P，交⊙O于E，則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，根據勾股定理即可得到結論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵∠ABE=∠BCE，∴∠BCE+∠CBE=90°，∴∠BEC=90°，∴點E在以BC為直徑的半圓上移動，如圖，設BC的中點為O，作正方形ABCD關于直線AB對稱的正方形AFGB，則點D的對應點是F，連接FO交AB于P，交半圓O于E，則線段EF的長即為PD+PE的長度最小值，OE=4，∵∠G=90°，FG=BG=AB=8，∴OG=12，（勾股定理），∴，∴PD+PE的長度最小值為，故選D．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質，勾股定理的綜合運用．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題6．如圖，正方形與矩形在直線的同側，邊，在直線上，且，，．保持正方形不動，將矩形沿直線左右移動，連接，，則的最小值為______．【答案】【分析】作點關于的對稱點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，則，當，，三點共線時，的最小值為的長，過點作于，依據勾股定理即可得到中，，即可得出的最小值為．【詳解】解：如圖所示，作點關于的對稱點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，則，，，當，，三點共線時，的最小值為的長，過點作于，由題可得，，中，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形、矩形的性質以及最短距離問題，解決問題的關鍵是構造平行四邊形；凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．7．如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且DH＝CD．（1）連接CG，則∠DCG＝____________．（2）連接GH，GH的最小值為____________．【答案】

45°

【分析】（1）利用正方形的性質證明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到點G的運動軌跡是射線CG，根據垂線段最短，即可解答．【詳解】解：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案為：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴點G的運動軌跡是射線CG，根據垂線段最短可知，當GH⊥CG時，GH的值最小，∵DH＝CD，∵∴CH＝CD﹣DH＝CD＝，∴GH最小值＝CH?sin45°＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，點到直線垂線段最短，證得三角形全等和得到點G的運動軌跡是射線CG，是解題的關鍵．8．如圖，是邊長為2的正方形的對角線，為邊上一動點，，為，的中點．當的值最小時，的值為______．【答案】【分析】延長，作關于的對稱點，連接，交于點，此時值最小，再利用三角形的中位線性質即可求解．【詳解】解：延長，作關于的對稱點，連接，交于點，此時值最小.正方形邊長為，，.，為，的中點，，.為中點，為的中位線，.，．故答案為：．【點睛】本題考查了兩點間線段最短（將軍飲馬）的應用以及三角形中位線定理得運用，作出對稱點進行求解是解題的關鍵．9．如圖，點P為線段AB上的一個動點，AB＝6，以PA、PB為邊向同側作正方形APDC、正方形PBEF，兩正方形的對角線的交點分別記為O1、O2，連接O1O2，則O1O2的最小值為_____．【答案】3【分析】作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如圖，利用正方形的性質得△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，則AM＝PM，PN＝BN，所以MN＝AB＝3，再證明四邊形O1MNO2為矩形得到O1Q＝MN＝3，然后根據垂線段最短得到O1O2的最小值．【詳解】解：作O1M⊥AP于M，O2N⊥PB于N，O1Q⊥O2N于Q，如圖，∵四邊形APDC和四邊形PBEF都為正方形，,∴△AO1P和△PO2B都是等腰直角三角形，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，∴AM＝PM，PN＝BN，∴MN＝PM+PN＝AB＝3，∵O1M⊥AP，O2N⊥PB，O1Q⊥O2N，,∴四邊形O1MNO2為矩形，∴O1Q＝MN＝3，∵O1O2≥O1Q，∴O1O2的最小值為3．故答案為：3．【點睛】本題主要考查正方形的性質，等腰三角形的性質，垂線段最短，掌握正方形的性質，等腰三角形的性質，垂線段最短是解題的關鍵．10．如圖，MN是正方形ABCD的一條對稱軸，點P是直線MN上的一個動點，當PC+PD最小時，∠PCD＝_____°．【答案】45【詳解】解：∵當PC+PD最小時，作出D點關于MN的對稱點，正好是A點，連接AC，AC為正方形對角線，根據正方形的性質得出∠PCD=45°．11．如圖，正方形中，，動點從點出發(fā)向點運動，同時動點從點出發(fā)向點運動，點、運動的速度相同，當它們到達各自終點時停止運動，運動過程中線段、相交于點，是線段上任意一點，則的最小值為___．【答案】【分析】首先作出點D關于的對稱點，當點E與點D重合，點F與點C重合時，最短，然后由正方形的性質和軸對稱圖形的性質可知：，，最后由勾股定理即可求得的長，從而可求得的最小值．【詳解】解：如圖作點D關于的對稱點，連接，由軸對稱的性質可知：，∴，過點P作垂直，垂足為G，由題意得，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故可知P的軌跡為以為直徑的四分之一圓弧上，當點E與點D重合，點F與點C重合時，此時，最短．∵四邊形為正方形，∴，．∴．在中，由勾股定理得：．故答案為：．【點睛】本題主要考查的是最短路徑問題，由軸對稱圖形的性質和正方形的性質確定出點P的位置是解題的關鍵．12．在正方形中，，點E、F分別為上一點，且，連接，則的最小值是________________．【答案】【分析】首先利用正方形的性質可以證明和，然后利用全等三角形的性質得到的最小值就是的最小值，最后利用軸對稱即可求解．【詳解】解：如圖，連接，正方形中，，，，在和中，，和，，，的最小值就是的最小值，如圖，作關于的對稱點，連接交于，則即可滿足最小，，，，．的最小值是．故答案：．【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質，最短路徑問題，同時也利用了正方形的性質，有一定的綜合性．13．如圖，正方形ABCD的邊長是8，點E、F分別是邊AB、BC上的點，且，若點P是對角線AC上一個動點，則的最小值是______．【答案】10【分析】過E作AC的垂線交AD于點E′，連接E′F交AC于點P，過F作AD的垂線交AD于點G，則E′F即為所求，根據正方形的性質可知△AEE′是等腰三角形，AE′=1，GD=CF=1，由AD=10即可求出GE′的長，再由勾股定理即可求出E′F的長．【詳解】解：過E作AC的垂線交AD于點E′，連接E′F交AC于點P，過F作AD的垂線交AD于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC是正方形ABCD的一條對稱軸，∴點E、E′關于AC對稱，∴PE=PE′，∴PE+PF的最小值是E′F的長，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵EE′⊥AC，∴△AEE′是等腰三角形，∴AE=AE′=3，∵GF⊥AD，∴GD=CF=1，∴GE′=8-GD-AE′=8-1-1=6，在Rt△GFE′中，GE′=6，GF=8，∴E′F==10．故答案為：10．【點睛】本題考查的是最短路線問題及正方形的性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．14．如圖，在正方形中，，與交于點O，N是的中點，點M在邊上，且，P為對角線上一點，則的最大值為_____________．【答案】1【分析】作N關于BD的對稱點E，連接PE，ME，過點M作MQ⊥AC，垂足為Q，可判定當點P，E，M三點共線時，PM-PE的值最大，為ME的長，求出CE，CQ，得到EQ，利用垂直平分線的性質得到EM=CM=1即可．【詳解】解：如圖：作N關于BD的對稱點E，連接PE，ME，過點M作MQ⊥AC，垂足為Q，∴PN=PE，則PM-PN=PM-PE，∴當點P，E，M三點共線時，PM-PE的值最大，為ME的長，在正方形ABCD中，AB=4，∴AC=，∵N是AO的中點，點N和E關于BD成軸對稱，∴點E是OC中點，∴CE=AC=，∵BC=4，BM=3，∴CM=1=BC，∵∠BCQ=45°，∴△MCQ為等腰直角三角形，∴CQ==，∴EQ=，∴CM=EM=1，即PM-PN的最大值為1，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了正方形的性質以及最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質定理，結合軸對稱變換來解決，多數情況要作點關于某直線的對稱點．15．如圖，正方形ABCD邊長為4，P是正方形內一動點，且，則的最小值是______．【答案】【分析】過點P作，由可得，得PE=1，PF=3，過點P作MN//AB交AD于點M，交BC于點N，可得出四邊形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延長CB到K，使NK=CN=3，連接DK，根據兩點之間線段最短故可知的最小值為DK的長，根據勾股定理可求解【詳解】解：如圖，過點P作，交AB于點E，交CD于點F，∵四邊形是正方形，∴，，，，∴∵，，∴，∴∵∴，∴，，過點P作MN//AB交AD于點M，交BC于點N，則，∴∠∴四邊形是矩形，∴四邊形是矩形，∴，∵∠，延長CB到K，使NK=CN=3，則有：連接DK，當在一條直線上時，，當不在一條直線上時，，故當共線時，又N是CK的中點，，∴PN是CK的垂直平分線，∴CP=PK，所以的最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查正方形的性質，矩形的判斷與性質，勾股定理以及線段的垂直平分線的判斷與性質等知識，掌握正方形的性質，正確做出輔助線是解題的關鍵．16．如圖，正方形ABCD中，，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且，連接GH，則GH的最小值為______．【答案】【分析】連接．證明，推出，推出點的運動軌跡是射線，根據垂線段最短可知，當時，的值最?。驹斀狻拷猓哼B接．四邊形是正方形，四邊形是正方形，，，，，，，，點的運動軌跡是射線，根據垂線段最短可知，當時，的值最小，，，此時，即的最小值為．故答案為：．【點睛】此題考查正方形的性質，全等三角形三角形的判定與性質，垂線段最短，解決本題的關鍵得到，證明出點的運動軌跡是射線．17．如圖，正方形ABCD，邊長為7，點E在邊BC上，，點F是AB邊上一動點，連接EF，以EF為邊向右作等邊，連接CG，線段CG的最小值是___________．【答案】【分析】把△EBF繞點E順時針旋轉60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，根據旋轉的性質得∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，易得四邊形HEPQ為矩形，則PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，接著計算出CP，從而得到CQ的長，然后利用垂線段最短得到CG的最小值．【詳解】解：∵△EFG為等邊三角形，∴EF＝EG，把△EBF繞點E順時針旋轉60°得到△EHG，如圖，延長HG交CD于M，過C點作CQ⊥HM，過E點作EP⊥CQ，∴∠BEH＝60°，EB＝EH＝2，∠EHG＝∠EBF＝90°，即G點在過H點且垂直于EH的線段HM上，易得四邊形HEPQ為矩形，∴PQ＝EH＝2，∠HEP＝90°，∵∠CEP＝90°?∠BEH＝30°，∴CP＝CE＝＝，∴CQ＝CP＋PQ＝＋2＝．∴CG的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等，也考查了等邊三角形的判定與性質，比較綜合．18．如圖，AC是邊長為2的正方形ABCD的對角線，P為BC邊上一動點，E，F為AB，AC的中點．當PE+PF的值最小時，CP的值為________．【答案】【分析】作點E關于BC的對稱點Q，連接FQ，交BC于點P，此時PE+PF最小，再利用中位線的性質求解即可．【詳解】如圖，作點E關于BC的對稱點Q，連接FQ，交BC于點P，此時PE+PF最小，∵E，F為AB，AC的中點，BC=2，∴，，∵B為EQ中點，，∴BP為的中位線，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了最短路線問題-將軍飲馬模型，中位線的性質，熟練掌握將軍飲馬模型的作法是解題的關鍵．19．如圖，已知正方形的邊長為，點是邊上一動點，連接，將繞點順時針旋轉到連接，則的最小值是_____．【答案】【分析】如圖所示，根據題意構造出△AED和△GFE全等，分析出點F的軌跡，然后根據D、F、C三點共線時求出最小值即可．【詳解】解：連接BF，過點F作FG⊥AB交AB延長線于點G，∵將ED繞點E順時針旋轉90°到EF，∴EF⊥DE，且EF＝DE，∵，，∴∠EDA＝∠FEG，∴在△AED和△GFE中，∴△AED≌△GFE（AAS），∴FG＝AE，，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴BF是∠CBC′的角平分線，即F點在∠CBC′的角平分線上運動，過點C作BF的對稱點，則∴C點在AB的延長線上，是等腰直角三角形，∴當D、F、C三點共線時，DF+CF＝最小，∴在中，AD＝4，，∴，∴DF+CF的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，軸對稱求最短路徑，能夠將線段的和通過軸對稱轉化為共線線段是解題的關鍵．20．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是_____．【答案】【分析】分別作的中點連接，點在上運動，當時，有最小值，證明即可求得的最小值．【詳解】分別作的中點連接P為DF中點當點與點重合時，點與點重合，當點與點重合時，點與點重合，點在上運動當時，有最小值