2-5 功 動(dòng)能 勢(shì)能大學(xué)物理

§2-5功動(dòng)能勢(shì)能機(jī)械能守恒定律一.功功率

1.功定義：力在位移方向上的投影與該物體位移大小的乘積.

力沿路徑l的線積分直角坐標(biāo)系中1功值的圖示法0absFcosθdA說(shuō)明：(1)功是標(biāo)量，有正、負(fù)之分。(2)功是過(guò)程量，與初末位置及運(yùn)動(dòng)路徑有關(guān)。2.功率

單位時(shí)間內(nèi)所作的功稱為功率

功率的單位：在SI制中為瓦特（w）

2二、保守力的功1.重力的功物體m在重力作用下由a運(yùn)動(dòng)到b，取地面為坐標(biāo)原點(diǎn).0xyzabz1z2mg重力的功只由質(zhì)點(diǎn)始、末位置來(lái)決定，而與所通過(guò)的路徑無(wú)關(guān).32.萬(wàn)有引力的功兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間在引力作用下相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以M所在處為原點(diǎn),M指向m的方向?yàn)槭笍降恼较?。m受的引力方向與矢徑方向相反。Mm43.彈簧彈性力的功3.彈簧彈性力的功0xx保守力在這些力的作用下物體沿任一閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，它們之間的保守力做的功必然是零。5例:一地下蓄水池，面積S，蓄水深h，水面低于地面的深度為H，要將這些水全部抽到地面最少需做功多少？(設(shè)水的密度為

)解:以地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，建坐標(biāo)系如圖。向下取y處厚度dy的一層水為研究對(duì)象，則其質(zhì)量為

dm＝

sdy水勻速地抽上地面所需外力

F外＝dm·g＝

gsdy故有dA＝y(tǒng)F外＝

gsydyHhoyydy6例:質(zhì)點(diǎn)所受外力F＝(y2－x2)i＋3xyj，求質(zhì)點(diǎn)由點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,4)的過(guò)程中力F所做的功：(1)先沿x軸由點(diǎn)(0,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,0)，再平行y軸由點(diǎn)

(2,0)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(2,4)；(2)沿連接(0,0)，(2,4)兩點(diǎn)的直線；(3)沿拋物線y＝x2由點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(2,4)(SI單位制).解:(1)由點(diǎn)(0,0)沿x軸到(2,0).此時(shí)y＝0，dy＝0=-8/3J由點(diǎn)(2,0)平行y軸到點(diǎn)(2,4).此時(shí)x＝2，dx＝0＝48J7A=A1+A2=(2)因?yàn)橛稍c(diǎn)到點(diǎn)(2,4)的直線方程為y＝2x，則＝40J(3)因?yàn)閥＝x2，所以8三、動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理令Ek是狀態(tài)量，相對(duì)量，與參照系的選擇有關(guān)。合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量9四、勢(shì)能重力的功萬(wàn)有引力的功彈性力的功

保守力的功只與初、終態(tài)的相對(duì)位置有關(guān)，說(shuō)明系統(tǒng)存在一種只與相對(duì)位置有關(guān)的能量?？梢胍粋€(gè)由物體相對(duì)位置所決定而又具有能量性質(zhì)的函數(shù)，稱之為勢(shì)能函數(shù)。用Ep表示.10或保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值。若選定勢(shì)能零點(diǎn)為Ep2=0重力勢(shì)能：

選地球表面為勢(shì)能零點(diǎn)萬(wàn)有引力勢(shì)能:

通常選兩質(zhì)點(diǎn)相距無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)的勢(shì)能為零.11對(duì)彈性勢(shì)能:

通常選彈簧自然長(zhǎng)度時(shí)的勢(shì)能為零,則討論：1.勢(shì)能是相對(duì)量，其值與零勢(shì)能參考點(diǎn)的選擇有關(guān).2.勢(shì)能函數(shù)的形式與保守力的性質(zhì)密切相關(guān).3.勢(shì)能是以保守力形式相互作用的物體系統(tǒng)所共有.4.勢(shì)能物理意義可解釋為：一對(duì)保守力的功等于相關(guān)勢(shì)能增量的負(fù)值.12五、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理與功能原理1.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理iFi外fiji質(zhì)點(diǎn)

對(duì)i

求和

所有外力和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做功之和等于質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)能的增量?！|(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理13設(shè)一對(duì)力分別作用在兩個(gè)物體上，大小相等,方向相反。(通常是作用力與反作用力)0m2相對(duì)于m1的位移(1)一對(duì)內(nèi)力的元功之和一般不為零。(2)一對(duì)力的功與參考系的選取無(wú)關(guān)。注意：(1)內(nèi)力功之和不一定為零。14注意：(1)內(nèi)力功之和不一定為零。(2)內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量，但能改變系統(tǒng)的總動(dòng)能2.功能原理15若引入E=Ek+Ep(機(jī)械能）則可得

系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功與內(nèi)部非保守力功之和。運(yùn)用功能原理解題時(shí)，應(yīng)先指明系統(tǒng)的范圍，并確定勢(shì)能零點(diǎn).16例:一輕彈簧一端系于固定斜面的上端，另一端連著質(zhì)量為m的物塊，物塊與斜面的摩擦系數(shù)為

，彈簧的勁度系數(shù)為k，斜面傾角為

，今將物塊由彈簧的自然長(zhǎng)度拉伸l后由靜止釋放，物塊第一次靜止在什么位置上？取彈簧自然伸長(zhǎng)處為原點(diǎn)，且彈性勢(shì)能和重力勢(shì)能零點(diǎn)解:以彈簧、物塊和地球?yàn)橄到y(tǒng)功能原理物塊靜止位置與

＝0對(duì)應(yīng)，故有17解方程，得另一根x＝l，即初始位置，舍去18六.機(jī)械能守恒律對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)在只有保守內(nèi)力作功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能不變?；?若dA外=0且dA內(nèi)非=0時(shí)，E＝常量——稱機(jī)械能守恒律:系統(tǒng)與外界無(wú)機(jī)械能的交換:系統(tǒng)內(nèi)部無(wú)機(jī)械能與其他能量形式的轉(zhuǎn)換

若系統(tǒng)機(jī)械能守恒,則19EpEkA內(nèi)保>0A內(nèi)保

<0

保守內(nèi)力作功是系統(tǒng)勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化的手段和度量。20七.能量轉(zhuǎn)換與守恒在一個(gè)孤立系統(tǒng)內(nèi)，不論發(fā)生何種變化過(guò)程，各種形式的能量之間無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)換，但系統(tǒng)的總能量將保持不變.這就是能量轉(zhuǎn)換與守恒定律.意義:

能量守恒定律是自然界中的普遍規(guī)律.

運(yùn)動(dòng)既不能消失也不能創(chuàng)造，它只能由一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式.21例:在光滑的水平臺(tái)面上放有質(zhì)量為M的沙箱，一顆從左方飛來(lái)質(zhì)量為m的彈丸從箱左側(cè)擊入，在沙箱中前進(jìn)一段距離l后停止.在這段時(shí)間內(nèi)沙箱向右運(yùn)動(dòng)的距離為s，此后沙箱帶著彈丸以勻速運(yùn)動(dòng).求此過(guò)程中內(nèi)力所做的功.mMf/fsl解：一對(duì)內(nèi)力的功A內(nèi)=–f(s+l)+f

's所以A內(nèi)=–fl

0式中l(wèi)即為子彈對(duì)于木塊的相對(duì)位移。22第23頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy1）人造地球衛(wèi)星第一宇宙速度23第24頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy設(shè)地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

.``````解取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能E守恒.第一宇宙速度，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度.24第25頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy解得``````由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得25第26頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy``````地球表面附近故計(jì)算得第一宇宙速度26第27頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy我國(guó)1977年發(fā)射升空的東方紅三號(hào)通信衛(wèi)星27第28頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy2）人造行星第二宇宙速度``````設(shè)地球質(zhì)量,拋體質(zhì)量

,地球半徑

.

第二宇宙速度，是拋體脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度.

取拋體和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒.當(dāng)若此時(shí)則28第29頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy第二宇宙速度``````計(jì)算得29第30頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy

例1一質(zhì)量為m

的小球豎直落入水中，剛接觸水面時(shí)其速率為.設(shè)此球在水中所受的浮力與重力相等,水的阻力為,b為一常量.求阻力對(duì)球作的功與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.30第31頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy例2已知：m=0.2kg，M=2kg，v

=4.9m/s。求：hmax

=?

解：m+M+地球：W外=0，W內(nèi)非=0，當(dāng)h=hmax時(shí)，M與m有相同的水平速度。取地面Ep

=0，有：故機(jī)械能守恒。mvM光滑光滑hmax31第32頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy代入數(shù)據(jù)：由(1)、(2)得：m+M：水平方向F外=0，故水平方向動(dòng)量守恒

mv=（m+M）V(2)32第33頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy如圖的系統(tǒng)，物體A，B置于光滑的桌面上，物體A和C,B和D之間摩擦因數(shù)均不為零，首先用外力沿水平方向相向推壓A和B，使彈簧壓縮，后拆除外力，則A和B彈開(kāi)過(guò)程中，對(duì)A、B、C、D組成的系統(tǒng)討論（A）動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒.（B）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能守恒.（C）動(dòng)量不守恒，機(jī)械能不守恒.（D）動(dòng)量守恒，機(jī)械能不一定守恒.DBCADBCA33第34頁(yè)4/8/2024My博客http:///phy例3有一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P,另一端系一質(zhì)量為m的小球,小球