數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修二

復(fù)數(shù)的概念數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程.2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實(shí)數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算情境導(dǎo)入自然數(shù)（正整數(shù)與零）整數(shù)有理數(shù)實(shí)數(shù)？計(jì)數(shù)的需要表示相反意義的量解方程x+3=1測量、分配中的等分解方程3x=5度量的需要解方程x2=2解方程x2=－1思考：為什么要不斷地?cái)U(kuò)充數(shù)系？數(shù)系的每一次擴(kuò)充都是為了滿足社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐的需要另一方面，數(shù)集的每次擴(kuò)充都是為了解決數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾。①分?jǐn)?shù)解決了在整數(shù)集中不能整除的矛盾；②負(fù)數(shù)解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾；③無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾；到此，數(shù)系擴(kuò)充的腳步就能停止了嗎？我們解決了嗎？虛數(shù)的歷史1545年卡爾丹在解方程的過程中第一次大膽使用了負(fù)數(shù)平方根的概念。1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾率先提出“虛數(shù)”這個(gè)詞，并在很多方面得到了應(yīng)用，“虛數(shù)”被證明“不虛”了。1777年著名的數(shù)學(xué)家歐拉首次用ｉ表示-1的平方根，但認(rèn)為它們是虛幻的。1801年，高斯系統(tǒng)地使用這個(gè)符號，才使i通行于世。（1）i2=-1;叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：引入一個(gè)新數(shù)i，

（2）實(shí)數(shù)可以與i進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立．(注：0·i=0)概念形成現(xiàn)在我們就引入這樣一個(gè)新數(shù)

i

，并且規(guī)定：（3）我們把

i

叫做虛數(shù)單位。（1）i

2

1；即x=i是方程x2+1=0的解（2）實(shí)數(shù)可以與

i

進(jìn)行四則運(yùn)算，在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立。形如a+bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。

全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示。復(fù)數(shù)的概念實(shí)部復(fù)數(shù)的代數(shù)形式復(fù)數(shù)通常用字母

z表示，即虛部其中

稱為虛數(shù)單位。（a、b

R）復(fù)數(shù)的分類？討論當(dāng)a=___且b=____時(shí)，則z=0當(dāng)b=___時(shí)，則z為實(shí)數(shù)當(dāng)b___時(shí)，則z為虛數(shù)當(dāng)a=___且b___時(shí)，則z為純虛數(shù)000≠0≠00復(fù)數(shù)集虛數(shù)集實(shí)數(shù)集純虛數(shù)集（2）復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系復(fù)數(shù)的分類（1）復(fù)數(shù)z=a+bi實(shí)數(shù)（b=0）虛數(shù)（b≠0）純虛數(shù)(a=0,b≠0)非純虛數(shù)(a≠0,b≠0)復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等思考：兩個(gè)復(fù)數(shù)能不能比較大小呢？相等

a=cb=d?1、判斷下列命題是否正確：若a、b為實(shí)數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)若b為實(shí)數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)若a為實(shí)數(shù)，則Z=a

一定不是虛數(shù)思考：Z=a一定不是虛數(shù)？2、實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)

是（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？（3）純虛數(shù)？解:（1）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)，即時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)．（3）當(dāng)即時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)．3、已知，其中求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，得方程組說明:實(shí)數(shù)問題復(fù)數(shù)問題